V:p:: OM :0I, d'où P— /> : P : : OM--OI ou iM : OM
On tire de là
^ PxIM
Or IM est plus petit que M^.; M£ est plus petit que T^rc qu'il sous-tend ; et les arcs sous-tendus peuvent décroître indéfiniment, icar ils suivent les termes de la progression décroissante i ^ ï i hî* * '9 d'ailleurs P va en diminuant , et OM est constant; donc P — p tend indéfiniment vers zéro ; donc, etc. . . , . .
2'* Soient S et ^ les surfaces des mêmes polygones , on ferait voir, comme précédemment, que S et j vont en s approchant de Taire du cercle quand on multiplie le nombre des côtés des polygones , et Ton aura prouvé que les aires de ces polygones ont pour limite le cercle, si Top &it voir que S-^-s peut être rendue plus petite que toute quantité donnée.
Or on a* ' *?'*•
S:*::5M':Ôi', d'où S— 5:S::QM— OÎ" ou U:6S. On tire de là
^ SxU
OM
et il est évident que cette différence tend indéfiniment vers '/éro; car, en multipliant le nombre des cotés ^ S diminue ;
1 aO GÉOMETRIK.
16, moindre que M^, peut devenir aussi petit qu*on veut, et OM est constant; donc, etc.
Remarque, Les apothèmes des polygones inscrits suc* cessifs ont pour limite le rayon du cercle.
PROPOSITION XIII
THBOBÈMB.
i"* Les circonférences sont entre elles comme leiu^s rayons,
a" Les surfaces des cercles sont comme les carrés des rayons.
fig. i65. i^ Inscrivons dans les circonférences dont les rayons sont OB et GA , deux polygones réguliers semblables.
Soient P eXp les périmètres de ces polygones ; désignons parR et ries rayons OBetCA, et par G et c leurs circon- ♦pr.8. férences, on aura*
Il~r* Si Ion double indéfiniment le nombre des cotés des polygones inscrits, les périmètres P et/; s approchent in-
*i>r.ix. dëfiniment de G et c\ les quotients ^9 - tendront donc^
vers les limites —9 -; or, de 1 égalité des variables, on con<
♦ pr. 10. dut celle de leurs limites* ; donc
2° Soient G', c , les surfaces des mentes cercles ; S et ^, les surfaces de deux polygones réguliers semblables ins-
pr. 8.
