LIVRE V

PJU VU^V ET D£ lA UGNE DftOITfi/ CONSIDÉRÉS DANS VESJ^ACE.

DEFINITIOirS.

I. Une ligne droite est perpendiculaire à un plan, lorsquelle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan*. Réciproquement le plan est

P'* ^' perpendiculaire à la ligne.

"Le pied de la perpendiculaire est le point où cette ligne rencontre le plan,

II. Une ligne est parallèle à un plan , lorsqu'elle ne peut le rencontrer à quelque distance qu on les prolonge Tun et l'autre. Réciproquement le plan est parallèle à la ligne.

III. jyeux plans sont parallèles entre eux, lorsqu'ils ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'un et l'autre.

lY. Pour représenter les plans dans les figures , on est obligé de leur donner des limites, mais il faut toujours les concevoir indéfinis.

PROPOSITION PREMIÈRE

THSORBME.

Une ligne droite ne peut être en partie d/ms un plan , en partie au^hors.

Car, suivant la définition du plan, dès qu'une ligne

dfoile fi d^ux points communs avec v^n plan , eUe e»x toul entière dans ce plan.

Scolie. Pour reconnaître si un^ saif^e e^t plan^, il faut

appliquer vn/e ligne droite ^a ^i^^^i^^nts sens sur ce^e

surface , et voir, si die touche la surface dans topte spn

étendue. . i..

PROPOSITION il

TKSOMlftE.

Par deux (JbvUes qui se coupent^on peut faire plisser un plan y et on n en peut faire passer quun s^euL.

Soient AB, AC, deux droites qui se coupent : on peut concevoir un plan où se trouve la ligne AB ; si ensuite on fait tourner ce plan autour de AB, jusqu'à ce qu'il passe par le point C, alors la ligne AC, qui a deux de ses points dans ce plan, y sera tout entière, et la position du plan sera ddteritiinëe dans ^espace.

Je dis en second Ueu que par tes droites AB, AC, il né peut pa^r qu qn seul plan;

En eflîçity ^uppoaona quil existe deux plans contenant ces droites, et soit M un point de Tun d^ ces deux plans; on peut toujours par le point M , et dans le plan qui contient ce point et les deux droites AB, AC, mener une ligne qui rencontre AB et AC aux points D et E ; or la ligne DEM ayant deux de ses points sur les droites AB, AC sera tout entière dans les deux plans passant par ces deux droites; donc aussi le point M y sera contenu, et les deux

lO.

l48 GÉOMérRIE.

plans ayant tous leurs points communs n'en formeront qu'un seul.

Corollaire I. Un triangle ABC , ou trois points A, B, C/ non en ligne droite, déterminent la position d'un plan. fis- «8a, Corollaire IL Deux parallèles AB, CD, déterminent aussi la position d'un plan ; car on sait déjà que deux parallèle^ sont dans un même plan; et on ne peut pas supposer que deux plans différents renferment ces deux droites, puisque chacun d'eux devrait contenir deux points de AB , et un point de CD, c*est*à-dire trois points non en ligne droite.

PROPOSITION IIL

THSORBMB.

V intersection de deux plans est une ligne droite.

Car, si dans les points communs aux deux plans on en

trouvait trois qui ne fussent pas en ligne droite , les deux

plans dont il s'agit, passant chacun par ces trois points ,

» ^ ne feraient qu'un seul et même plan% ce qui est contre la

supposition.

PROPOSITION ly.

THiOBÈMS.

si une droite AP est perpendiculaire à deux autres PB, PC, qui se croisent à son pied dans le plan MN, elle sera perpendiculaire à une droite quelconque PQ menée jmr son pied dans le même plan ^ et ainsi elle sera perpendiculaire au plan.