LIVRE V
Menez , dans le plan MN^ une droite fiC qui coupe les trois droites PB, PQ, PC; prolongez AP d'une longueur PA'= AP, et joignez les points A, A' aux .points B , Q, C
La ligne PC étant perpendiculaire sur le milieu de AA', les obliques CA, CA' sont égales; par la même raison BA=BA'. On conclut de là que les triangles BCA , BCA' sont égaux comme ayant le côté BC commun , et les autres côtés égaux chacun à chacun. Si donc on fait tourner le triangle BCA' autour de BC pour rappliquer sur son égal BCA , le point A' tombera en A> et comme le point Q ne change pas, la ligne QA' s'appliquera exactement sur QA.
La droite PQ est donc perpendiculaire sur AA', puisque deux de ses points P et Q sont également distants des extrémités de cette droite.
PROPOSITION V
TnOBSMS*
Par un point donné on peut mener une perpetuUculaire àun pUmy et on n^en peut mener qu^ une.
Supposons d*abord que le point donné O soit situé dans le plan MN.
Menez dans ce plan une ligne quelconque AB, et abaissez 01 perpendiculaire sur cette droite ; par la ligne AB concevez un plan quelconque , et menez dans ce plan CI perpendiculaire sur AB; enfin, dans le plan OIC, élevez OG
l5o GEOMETRIE.
perpendiculaire sur OL OC aéra perpendiculaire au plan
Pour le démontrer^ tirons , parle point O, une droite quelconque OB dans le plan MN; prolongeons GO d'iine longueur OC'= OC , et menons les lignes CB, CB, CI.
La ligne AB ëtant perpendicutaire aux deux droites IC , lO est perpendiculaii*e au plan CIO , et par suite à la droite iC^ qui est située dans ce plan. Les triangles Cfil, C'BI sont done rectangles, et sont égaux; car BI est Commun, et les «côtés CI , CI sont éganx comme obliques égtilement éloignées du pied de la perpendiculaire OI.
On II donc CBrnC'B; donc aussi BO est perpèndtcukire «ur le itiilreu de CC ; et cette dernière ligne étant perpendiculaire aux deux droites^ OB, OI, est perpendiculaire au plan MN.
Supposons, en second lieu, que le point donné C soit situé hors du plan MN (même figure).
Menez, dans le plan, une droite quelconque AB, abaissez CI perpendiculaire sur AB ; puis élevez dans le plan MM^, lO perpendiculaire sur AB; enfin abaisse^ OO perpendiciitttire sur 01 ; GO^era perpendiculaire au plan.
(La démonstration est absolument la même que pour le premier cas.)
Par un point O donné sur le plan MN , on ne peut élerer qu nue seule pérpendiotiUiire à ce plan ; on* «i on pouvait en élever deux OA, OB, conduisez par ces deux droites un plan doot Tintersection avec leplattMNsoit OC. ^ors les deux droites OA, OB seraîent p«rpen«licnlaiires sur OC au même point «t dans le mdmeplan, ce qui est ih^ssible.
