NOTIONS PRÉLIMINAIRES

Moyen de mesurer une longueur quelconque *.

Pour mesurer une longueur quelconque , on la compare à celle d’une mesure connue. Ainsi l’on dit qu'une pièce de terre a 72 mètres de longueur quand cette longueur contient 72 fois celle du mètre, qui sert ici d'unité.

La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

Pour mesurer la distance qui sépare deux points, il faut tirer une ligne droite de l’un à l’autre et porter sur cette ligne la mesure connue, parce que toutes les autres, faisant nécessairement un détour plus ou moins grand , ront plus longues que la ligne droite, qui n’en fait aucun.

Une droite est perpendiculaire sur une autre quand elle ne penche sur celle-ci d’aucun côté.

On est souvent dans la nécessité de mesurer non plus la distance d’un point à un autre , mais la distance d’un

1 . Ce qu’il semble qu’on a dû mesurer d’abord , ce sont les longueurs et les distances.

Clairaut. Géométrie. t

point à une ligne. Un homme par exemple, placé en T) {fig. 1) , sur le bord d’une rivière, se propose de savoir Fig. 1. combien il y a du lieu où il est à

l'autre bord AB. 11 est clair que, dans ce cas, pour mesurer la distance cherchée, il faut prendre la plus courte de toutes les lignes droites DA, DB, etc., qu’on peut tirer du point D à la droite AB. On conçoit facilement que la plus courte distance est la ligne DC, qu’on suppose ne pencher ni vers A ni vers B. C’est donc sur cette ligne , à laquelle on a donné le nom d e perpendiculaire , qu’il faut porter la mesure connue pour avoir la distance DC du point D à la droite AB. Mais on voit aussi que, pour poser cette mesure sur la ligne DC , il faut que cette ligne soit préalablement tirée. Il est donc nécessaire d’avoir une méthode pour tracer des perpendiculaires.

Le rectangle est 'une figure de quatre côtés perpendiculaires les uns aux autres, et le carré est un rectangle dont les côtés sont égaux.

On a encore besoin de tracer des perpendiculaires dans une infinité d’autres cas. On sait, par exemple, que la régularité des ligures telles que ABCD, FGHI [fig. 2 et SJ,

Fig. 2 . Fig. 3 .

appelées rectangles, et composées de quatre côtés *per-

PBEMIÈfiE PABTIE. 3

pendiculaires les uns aux autres, engage à donner leurs formes aux maisons, aux jardins, aux chambres, aux pans de mur, etc.

^ La figure ABCD, dont les quatre côtés sont égaux , s appelle carré ; 1 autre FGHI, qui n’a que ses côtés opposés égaux , retient le nom de rectangle.

Procédé pour élever une perpendiculaire.

Dans les différentes opérations qui demandent qu’on mène des perpendiculaires, il s’agit, ou d’en abaisser sur une ligne d’un point pris au dehors, ou d’en élever d’un point placé sur la ligne même.

Pour élever du point C [fig. 4), pris sur la ligne AB, une perpendiculaire CD, il faut tracer cette ligne de manière qu’elle ne penche ni vers A ni vers B.

Supposons d’abord que C soit à égale distance de A et de B, et que la droite CD ne penche d’aucun côté ; a il est elair que chacun des points de / cette ligne est également éloigné de

jh A et de B : il ne s’agit doue plus que

0 de trouver un point quelconque D ,

tel que sa distance au point A soit égale à sa distance au point B; car alors, tirant par C et par ce point une ligne droite CD, cette ligne sera la perpendiculaire de» maudée.

On pourrait chercher le point D en tâtonnant; mai» on y arrive à coup sûr de la manière suivante :

On prend une commune mesure, une corde par exemple, ou un compas d’une ouverture déterminée, suivant qu’on opère sur le terrain ou sur le papier. On fixe au point A ou l’extrémité de la corde ou la pointe du compas, et, faisant tourner l’autre pointe ou l’autre

Fig. 4.

extrémité de la corde, on trace l’arc PDM; puis, sans changer de mesure , on opère de même par rapport au point B , et l’on décrit l’arc QDN , qui , coupant le premier au point D , donne le point cherché.

Car puisque le point D appartient également aux deux arcs PDM, QDN, décrits par le moyen d’une mesure commune, sa distance au point A égale sa distance au point B. Donc CD ne penche ni vers A ni vers B; donc cette ligne sera perpendiculaire sur AB.

Fia ' 5 ' Si le point C (fig. 5) ne se trouve

pas à égale distance de A et de B , il faut prendre deux autres points a et b, également éloignés de C, et s’en servir, à la place de A et de B, ■j - B pour décrire les arcs PDM, QDN.

La circonférence de cercle est la trace entière que décrit la pointe d’un compas qui tourne sur l’autre pointe ; le centre est le lieu de la pointe fixe; le rayon est l’intervalle des deux pointes; le diamètre est double du rayon.

Si une des traces, telle que PDM [fig. 4), était continuée en O , en E , en B , etc. , jusqu’à ce qu’elle revînt au même point P d’où elle commence , la trace entière s’appellerait circonférence de cercle.

Quand on ne trace qu’une partie PDM de la circon-férence, cette partie sera appelée arc de cercle; le point fixe A est le centre du cercle ; l’intervalle AD s’appelle rayon.

Toute ligne, telle que DAE , passant par le centre A et se terminant à la circonférence, est appelée diamètre. Il est évident que cette ligne est double du rayon, ce qui fait que le rayon est quelquefois nommé demi-diamètre.