ID ID

ou les suivantes

MH = rf.a.f , M'H = rf.a'.f, dans lesquelles d représente la longueur de la normale ID.

Si l'on subslilae ces valeurs de mh et de m'h dans la valeur deti.r, on obtient

ou y en divisant par c les deux membres de l'égalité , et mettant d en facteur commun dans le second ,

1S4. On arriverait au même résultat pour toute autre position du point i^ , qu*il fût situé entre les points M et M' ou au-delà da point m'. Dans ces deux cas, en effet, mm' représenterait encore le glissement élémentaire.

1S5. On a, dans ce qui précède, supposé tacitement

que la normale ID ren- Fig. 63. / / contre la droite ce'

entre les points c et c'.

Supposons, maintenant, que la rencontre ait lieu au-delà de l'on de ces points, pai* exemple (6g.

63 } au-delà du point c^ On aperçoit alors, par la position des arcs élémentaires im et IM' , que , le cylindre ab continuant à tourner dans le même sens f, le cvlindre a'b' doit se déplacer en tournant dans un sens f', contraire à celui dans lequel il tournait

106 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

d'abord. D'ailleurs , on établit , comme précédemment , la proportion

a'~~CD

laquelle entraîne llnégalité des vitesses a et a'.

Gomme précédemment , la droite mm' représente le glissement élémentaire; mais, ici, cette droite est la différence des longueurs hm' et hm : en sorte qu'on a la relation

u.t = m'h — mh ,

qui conduit à la formule

ise. Observant que, dans le premier cas, les rotations sont de sens contraires , et qu'elles sont de même sens dans le second, on pourra énoncer de la manière suivante les propriétés que nous venons d'établir :

Si jes deux lignes âb et a'b^ tournent respectivement autour des centres c et r/, en restant toujours eu contact, 1°. les vitesses de rotation a et a' sont inversement proportionnelles aux distances CD et g^d; 2°. la vitesse de glissement de ces deux lignes, l'une contre l'autre, est égale au produit de la longueur d de la normale commune , par la somme ou par la différence des vitesses de rotation , selon que ces vitesses de rotation sont de sens contraires ou de même sens.

Il est facile de tirer de là les deux conséquences suivantes.

ISS", i'^, conséquence : Pour que le rapport des vitesse;^ de rotation ne varie point pendant toute la durée du

mouvement , il faut et il suffit que , dans toutes les positions du système , la normale commune rencontre toujours en un même point la droite qui joint les centres de rotation ; la position de ce point déterminant la valeur constante du rapport.

139. 2^ conséquence ; Le glissement est d'autant moindre que d conserve une valeur plus petite pendant le mouvement du système; et les deux lignes ne peuvent rouler sans glisser, Tune contre Tautre, que si d est constamment nul, c'est-à-dire si le point de contact reste toujours situé sur la droite qui joint les centres.

139. Les théorèmes qui précèdent, s'étendent au cas particulier où la ligne a^b^ consiste dans une circonférence d'un rayon très-petit, quelque petit qu'il soit. On est donc assuré qu'ils subsistent encore, lorsque le rayon est infiniment petit, ou lorsque la circonférence se réduit à

un point; c'est-à-dire que, si une ligne AB et un point i (fig. 64), mobiles dans un même plan et toujours en contact , tournent respectivement autour des points c et c^ de ce plan , 1°. les sens relatifs des rotations dépendent de la position , par rapport aux points c et c', du point D de rencontre de ce' avec la normale menée à la ligne ab par le point i; et l'on a, pour les vitesses de ces rotations ,