I. Propriétés g^énérales) eonstruetion du profil de

l'engrenag^e extérieur.

141. Soient s et s^ deux roues situées dans le même plan , pouvant tourner respectivement autour des centres c et c' ( fig. 65 et fig. 66 ) , et dont on veut déterminer

les profils AB et k^B\ de telle sorte qae, si ab conduit

a'b^ en lui restant toujours Fig. 65. tangent, le rapportdes vitesses angulaires , a et a^, des deux roues s et s' consenre une valeur constante donnée.

léi%- Si à n [tours de la première correspondent n^ tours de la seconde , on doit avoir à chaque instant

14S. Prenons sur la droite cc^, entre les points c et C^, quand les rotations données sont de sens contraires ( fig. 65 ) , en dehors de ces deux points^, quand elles sont de noiême sens (fig. 66), un point d tel que Ton ait la proportion

CD

Les contours ab et a^b' doivent (n^ 137) satisfaire à cette condition, que, pour toutes les positions du système, la normale commune du point i aille constamment passer par le point D.

144. Décrivons les circonférences de centres c et c^ et de rayons CD et c^d, qui sont tangentes Tune à Tautre , extérieurement ou intérieurement. Concevons que la pre-

110 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

Fig. 66

mière participe au mouvemeot de la roae s, et la seconde,

à celui de la roue s^ Les vitesses de rotalioa de ces circonférences sont inverses de leurs rayons; et, par conséquent, elles roulent Tune contre l'autre (n°.

58). Réciproquement, on peut apercevoir que, si les deux circonférences roulent Tune contre Tautre en tournant sur leurs centres , les lignes ab et A^B^ se déplacent en restant toujours en contact.

Ces deux circonférences sont dites les circonférences primitives de V engrenage s lequel est constitué par Tensemble des deux roues , dont Tune transmet à Tautre le mouvement

145. Considérons le cas particulier de V engrenage extérieur, c'est-à-dire celui dans lequel les circonférences primitives sont extérieures Tune à Tautre. Supposons que la figureùl représente la position initiale de ces circonférences, qui roulent Tune contre Tautre. Joignons le point Dau point i. Prenons, à partir du point d, sur les deux circonférences, et en sens contraire du mouvement, des arcs Dl et or, d2 et dV \ d3 et d3', ... égaux deux à deux. Abaissons, des points 1,2,3,..., sur Tare ab, les normales II,, 2I2, Sig, ...; et, des points T, 2^ 3', ..., sur Tare A^B^ les normales Ti,', 2'I2^ 3^13/ ...

Les deux circonférences roulant Tune contre Tautre les points 1 et l^ 2 et 2^ 3 et 3', .... viennent, deu^ à

EKGRENACES CYLINDRIQUES. 111

deux et successivemem , passer par le point d du coniaci;

et, comme , à chaque insiaiii, les normales abaissées du point D sur les lignes ab et a'b' se confondent en une seule et même droite Dl, il en résullc : 1°. que les normales II,, 2(2, 3I3,... sont respectifement égales aux normales l'i,/, S'i^'t 3'V> ■■■■ '• ^°- 1"^ '^^ premières forment, avec les rayons In, 2c, 3c, .... , des angles respeclivemeot égaux i ceux que forment les secondes avec les prolongements des rayons c'I', c'2', c'3' , ... ; 3°. que les

TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL

lignes AB et a^b' Tiennent se toucher saccessÎTeaient {>ar les points i^ et l^^^ i^ et ij', I3 et I3' , ...

146. À des points ip ij , I3 de ab , intérieurs à la circonférence c , correspondent nécessairement des points ii'i '2'' '3' ^^ A^B^, extérieurs à la circonférence c'. Â des points I4/, 15/de a'b', intérieurs à la circonférence c', correspondent de même des points I4, ig de ab, extérieurs à la circonférence c. Au point o de ab , situé sur la circonférence G , correspond le point o^ de a^b^, situé sur la circonférence c^. Ces deux points et 0^ passent simultanément au point D : en sorte que do est égal à DO^.

149. Les]^1ignes ab et a^b' sont les profils de deux dents de l'engrenage. Elles sont en prise au point i ; et , lorsque la prise est en d , c'est-à-dire au moment du passage simultané des deux points o et o' au point de contact des circonférences primitives ( fig. 68 ) , on dit que

les dents sont en pleine prise.

Les parties intérieures, OA et

Fig. 68.

o^A^, des dents portent le nom de flancs , et les parties extérieures, OB et o'b\ le nom de faces : en sorte qu'un flanc est toujours en prise avec une face , le flanc oa conduisant la face o^B^ avant la pleine prise, et la face OB conduisant le flanc o^A^ après la pleine prise.

148* Le flanc oa de Tune des dents étant donné d'une

manière arbitraire, on peut déduire de ce qui précède, un procédé graphique pour construire la face o^b' de l'autre dent Pour cela, écartant préalablement les deux circonfé-

renoes, aôn d'éviter toute confusion des lignes, on prend sur la circonférence g (fig. 69) , des points 1,2,3,..., aussi nombreux et aussi rapprochés que Ton veut ; on mesure, sur la circonférence c^, des arcs o^i', 0^2^ , 0^3', ... , respectivement égaux aux arcs ol, o2, o3, ... ; des points l^ 2', 3^, ... , comme centres, avec des rayons respecli?ement égaux^ux longueurs des normales li^ , 2i^ , 3I3 , ... abaissées des points 1 , 2 , 3 , ... sur OA , on décrit, extérieurement à la circonférence c', des arcs de cercle ; on détermine enfin les points respectifs de ren-