U TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIR<:UL

contre, i^/, i^\ I3', .^ , de ces arcs de cercle avec des droites menées par les points 1', 2', 3', ... , et formant avec lès prolongements des rayons c'l^ c'2^ c/3', ...» les mômes angles que forment les normales li}, Si^, 3I3 ... avec les rayons le, 2c, 3c, .... La ligne o'b' doit passer par les points l^f, i^', I3', ... et y toucher les arcs décrits des centres l^ 2\ 3',... (n^ 145). On peut alors tracer à la main cette ligne o'b', et l'on en obtient un dessin d'autant plus exact que l'on a pris sur ab un plus grand nombre de points auxiliaires.

149. La marche à suivre serait la même, si une face OB ( Gg. 68 ) était donnée , et si l'on demandait de construire le flanc o'a' qui lui correspond.

1 50. Soit donc mn (fig. 70) une dent donnée arbitrairement, et supposons construite la dent m'n^ qui lui correspond. Soient mp et nq les normales extrêmes pour la dent MN ; p et Q leurs points de rencontre avec la circonférence c. Soient, de même, m'p' et n'q' les normales extrêmes pour Ta dent m'n'; p' et q' leurs points de rencontre avec la circonférence c'.. Les arcs dp, do et dq sont respectivement égaux aux arcs dp', do' etDQ'. Si l'on conçoit que les deux circonférences roulent Tune contre l'autre , la prise des dents mn et m'n^ commencera lorsque les points p et P^ viendront passer en d ; elle cessera lorsque les points Q et q' y viendront passer à leur tour. Les chemins angulaires que les dents mn et m'n^ peuvent parcourir en se conduisant Tune l'autre, sont donc limités ; ces chemins , mesurés sur les circonférences primitives , sont respectivement égaux aux arcs pq et p'q'.

ISl. Or, il importe d'établir, entre les deux systèmes de rotation , une liaison telle que le premier , en tournant

Fig 70.

indéfiniment dans le même sens , transmette indéfiniment au second le mouvement de rotation.

116 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRGUL.

Poar cela » oq diTisera la circonférence c , è partir du

point 0, en n' parties égales chacune à — '- — ; on divisera

la circonférence c', à partir du point o^ en n parties

égales chacune à -^ Toutes tes parties de l'une seront

égales aux parties de Tautre : car on a

Stt.CD Stt.C'D

eu vertu de la proportion

CD n

à laquelle satisfont ( n^ 1/|3 ) les rayons des circonférences.

Par les points de division , o , 0| , O2 ,...., de la première circonférence , on fera passer des lignes mn, M^fi^ , MjNj, ..., égales entre elles, et disposées de telle sorte que la première puisse venir coïncider successivement avec chacune des autres, lorsqu'on la fait tourner autour da point G. Ces lignes mn , m^n^ , M2N2 «... représenteront les dents de la roue s. On tracera ensuite les dents correspondantes, m'n', m',n',, m'jN'j» ... f de la roue s', lesquelles passeront par les points de division, o', o\t o^2> ... , de la circonférence c'.

Si , alors , Tare pp^ , égal à Tare oo^ qui mesure la dislance de deux dents consécutives, est moindre que Tare PQ , les dents MjNj et f/L\^\ entreront en prise avant que les dents mn et M^N'se soient séparées; et, en général, la prise de deux dents quelconques commencera avant que

les deux dents qai les précèdent aient eessé d*étre en prise^ Le mouTeaient se transmettra donc indéfiniment.

Or, il est tonjoors permis de supposer l'arc 00| plus petit que l'arc pq : car l'arc 00| est d'autant moindre que n^ e$t plus grand, et rien n'cmpéche d'accroître n' autant que l'on veut, pourvu que n croisse dans le même rapport, puisque n et n^ représentent les nombres de tours simultanés des deux roues.

La longueur commune aux deux arcs 00| et o^o^i, qui mesurent, sur les circonférences primitives, la distance de deux dents consécutives, est appelée le pas de V engrenage. Ce pas est donc nécessairement une partie aliquote de l'une et de l'autre des circonférences primitives.

1S9. Il resterait maintenant à voir comment on peut compléter les profils des deux roues , de manière que la roue s conduise au besoin la roue s' en sens contraire. C'est ce que nous examinerons dans des cas particuliers. D'ailleurs, on conçoit que , ces conditions étant remplies , la roue s^, à son tour, pourra conduire la roue s dans l'un ou dans l'autre sens. L'engrenage, alors, sera dit réciproque.

n* Engrenage à épleyeloïdes et à lianes droits.

4S4. Supposons (Gg. 71 ) que le flanc de la roue s soit une droite oa dirigée vers le centre c, et cherchons, pour la roue s^ la face o^B^ correspondante.

Les deux circonférences c et c^ roulant l'une contre l'autre en tournant sur leurs centres^ soient 1 et 1 ^ 2 et 2'^

118 T:raNSF0RMAT10NS £NTRE MOUV. CIRCUL.

Fxg. 71.

3 et 3^, ... les points de ces circonférences qui viennent

passer , deux à deux et sucd! cessivement, par le point D

de contact.

Concevons , maintenant , que la circonférence c' reste fixe , et faisons rouler contre elle la circonférence G, de manière qu'elle vienne la toucher successivement par les points 1, 2, 3, .. , aux points \\ 2'. 3', ... Dans cette nouvelle hypothèse, le mouvement relatif des deux circonférences sera le même que dans Vhypothèse primitive :

c'est-à-dire que, dans les à^xxx cas , les deux circonférences G et G^ prendront successivement les mêmes positions relatives. Mais , dans le premier , la normale abaissée du point D de contact des deux circonférences primitives sur le flanc OA , rencontre ce flanc en un point M qui appartient nécessairement à la face o'B^. Il en est donc encore de même dans le second^ où la face o^B^ reste fixe avec la roue S'', et où le iH)int d de contact des circonférences primitives se déplace en prenant les positions successives l^ 2^ 3^ .... Ainsi , la face o^B^ est le lieu géométrique du pied M de la perpendiculaire abaissée, du point mobile D, sur le rayon GO, pendant que le cercle G roule contre le cercle c\ Or, on a vu (n°. 69) que ce lieu géométrique est une épicycloïde dont le cercle générateur , roulant contre le cercle G^, a pour diamètre le rayon go. TeUe est donc aussi la face o^B^ qui correspond au flanc oa.

De même, si le flanc o^a^ de la roue s^ est une droite dirigée vers le centre c', la face OB qui lui correspond sur la roue s, est un arc d'épicycloîde^ dont le cercle générateur , roulant contre le cercle c , a pour diamètre le rayon c'o'.

AOB et a^o^b' sont alors les proGls des deux dents de Fengrenage à épicydoïdes et à flancs droits,

t57. Ces profils une fois construits, ceux des roues s et s^ s'obtiennent de la manière suivante :

On divise la circonférence primitive c ( fig. 72) en n' parties égales, aux points o, 0|, Oj, ... (dont le second coïncide avec le point d) ; on divise la circonférence primitive c' en w parties égales, aux points o', o'p o'j,... ( dont le second coïncide avec le point o) ; par les points o, o^, 02« ... I ou mène les dents aob, a^o^Bj , a^o^b^, ... , à faces épicycloïdales et à flancs droits; par les points o', o'i» o'j, ... , on mène les dents a'o'b', a^jO'iB'^, k\o^<^\y ... , qui correspondent aux premières.

158. I^es dents Kfifi^ et a'^o'^b'^ arrivant en pleine prise , le point i de contact des dents aob et a^o'b^ qui les précèdent, est situé (n*'. 1^3) au pied de la perpendiculaire abaissée du point D sur le rayon G^o^; et, si l'on veut que la prise de ces dents cesse au-delà du point i, il faut qu'en ce point arrivent simultanément l'extrémité B de la face OB et l'extrémité a' du flanc o^a' : en sorte qu'on doit limiter tous les flancs de la roue s^ à la circonférence de centre c' et de rayon c'i, et toutes les faces de la roues à la circonférence de centre cet de rayon ci, qui rencontre ce' en K.

120 TBANSFOBMATIONS ENTRE MOUV. CIRGUL.

Fig. 72.

ti" -^,'

£a même temps que les dents A|OiB| et a'^o^^b^i sont en pldae prise*, le point jj de contact des dents k^o^b^ et a\o'^^\ qui les suivent, est situé (n^ li!i3) au pied de la perpendiculaire abaissée du point D sur le rayon cOj ; et , si Ton veut qu'en ce point J seulement la prise commence , il faut limiter tons les flancs de la roue s à la circonférence*de centre c et de rayon CJ , et tontes les faces de la roue s' à la circonférence de centre c' et de rayon c'j , laquelle rencontre GC^ en l.

159. Dans'ces conditions de longueur des dents, on est assuré que deux dents de l'une des roues sont toujours en prise avec deux dents de l'autre roue : en sorte que la continuité de la transmission de la rotation est assurée , soit que la roue s conduise la roue s' dans le sens des flèches fet f ^ soit que la roue s' conduise la roue s en sens*contraire.

flSO. On prend ensuite les milieux z, Z| , ... des arcs 00| , Ofi^ , ... de la circonférence primitive c ; par ces milieux on mène les dents ezf, e^z^f^^ ... égales aux dents AOB, Jifi^B^ , ... , mais pour lesquelles le cercle générateur de l'épicycloîde a roulé en sens contraire ; on limite ces dents comme les premières. On prend les milieux z\ z\,.. des arcs o^o'p o'fi'^, ... de la circonférence primitive c'; par ces milieux on mène les dents e'z'p', e^^z'jF'j, ... égales aux dents a'o'b', a'jO\b'j, ... , mais inversement tournées ; on les limite de même. On obtient alors de nouveaux'profils à l'aide desquels on peut faire conduire la roue s par la roue s', dans le sens desflèchesf et f'; ou , la roue s' par la roue s , en sens contraire.

122^ TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

flet. Ainsi, les dents ab , ... et les dents ef, ... étant construites , et le sens du mouTement étant assigné à l'avance , l'une quelconque des deux roues peut conduire l'autre : ce qui constitue précisément la réciprocité de l'engrenage.

ie«. Pour compléter le proGl de la roue s, on réunit les points B et F, B^ et Fp ... par des arcs de cercle ayant au point c leur centre commun; on réunit les points e et A(, £j et A^, ... par des lignes ega^ e^g^Aj, ... , qui déterminent , entre les dents de la roue s , des creux dans lesquels Tiennent se loger les dents de la roue s', un peu avant et un peu après leur passage au point D. La profondeur de ces creux , dont nous ne rechercherons pas d'ailleurs la figure, doit être calculée de telle sorte que chacune des dents de la roue s^ puisse , à son tour , atteindre librement le point L : ce qui exige que la roue s soit évidée jusqu'à la circonférence de centre c et de rayon €L. ^

On complète de même le proûl de la roue s\ en réunissant les points f' et ^\ , f'j et b'j . •• • par des arcs de cercle de centre c'; et en réunissant les points a' et e', a\ et e'j, ... par des lignes a^g'e', iL'fi\E\, ... qui déler mirent les creux ménages entre les dents de la roue s^, pour livrer passage aux dents de la roue s. Ces creux doivent venir affleurer la circonférence de centrée^ et de rayon g'k , aûn que chacune des dents de la roue s puisse, à son tour, atteindre librement le point K.

les. On a trouvé précédemment (n''. 133) la formule

u = d (a -i- a')y qui exprime la vitesse u du glissement de deux dents l'une

contre l'autce , au moyen des vitesses de rotation a et a' des deux roues s et s', et de ]a distance d du point D au point de contact des deux dents. Cette valeur de (/n'excède jamais dj avant la pleine prise ; et , après la pleine prise , elle n'excède jamais Di. La vitesse u est donc toujours moindre que le plus grand des deux produits

Di X fa -f- a'J et dj x fa + a') :

d'où il résulte que l'on rend le glissement aussi petit que l'on veut , en prenant un pas d'engrenage suffisamment petit, puisque Di et dj sont les moitiés de cordes qui soustendent , dans chacune des circonférences primitives, un arc double du pas.

m* Eng^enag^e à développante» de eerele.

lOA. Soient G et c' (fig. 73) les centres dedeux roues ou cercles s et s', de rayons CR et c'r' égaux à t- et r'. Soit menée , entre ces deux cercles , extérieurs l'un à Tautre, la tangente ^commune rr', qui rencontre en d la ligne des centres. Soit ab une dent de la première roue , ayant pour profil une développante du cercle s; a^b' une dent de la seconde roue , ayant pour profil une développante du cercle s^ Si Ton fait tourner convenablement les deux roues sur leurs centres , on peut toujours amener les deux arcs ab et a'b' à passer par le point d, comme dans le cas de la figure ; et ces deux arcs se touchent en ce point d , puisqu'ils y rencontrent normalement la tangente RR' (n^ 72).

lOft. Décrivons les circonférences de centres c et c^ , de rayons CD et c^d; faisons-les tourner sur leurs centres,

TRANSFORMATIONS ENTRE MOCV. CIRCUL.

et rouler l'aue contre Taatre; supposons qu'elles entraînent dans leurs mouvements respectifs les roues set s^

Fig. 73.

Soient dm et dm' les arcs , nécessairement égaux entre eux, qui passent simultanément au point d. Si l'on prend sur la roue s , à partir du point r et en sens contraire du mouvement , un arc ru tel que l'on ait

RU DM