Supposons le point m (fig. 160) pris quelconque

sur la ligne ab; soit tmt^ la droite tangente à la courbe en ce point ; prenons sur ab, de part et d'autre du point m , deux points n et N^ Tun N (lu côté de mt, l'autre n' du côté de mt'; menons les cordes mn et mn' ; soit ms le prolongement de la seconde aii-delà du point M. Si les points n et n' se rapprochent indéfiniment du point m, les angles mmt et n'mt' tendent indéfiniment vers zéro ; et , comme l'angle n'mt' est égal à l'angle tms, on peut dire encore que les directions mn

240 TRANSF, ENTRE MOUV. RECTlL ET MOOV. CIRCUL.

et MS approchent de plus en plus de se confondre avec mt, à mesure que les points n et n' approchent de se confondre avec le point m.

30tf. Cette remarque faite , supposons que le point M soit un point maximum. Les points N et n^ étant situés audessous du plan horizontal du point M , la droite MN est au-dessous de ce plan et la droite ms au-dessus ; par conséquent la droite mt, dont elles se rapprochent indéfiniment quand les points N et n^ se rapprochent indéfiniment du point M, ne peut être que située dans le plan horlzotntal lui-même.

On arrive au même résultat quand le point M est un point minimum.

30V. Ainsi, pour les points maiima et pour les points minima des courbes , la tangente est horizontale : ce qui conduit à rechercher si une courbe possède de pareils points , en recherchant d*abord si elle possède des tangentes horizontales.

309. Condition pour qu'il existe des tangentes hori-^ zontales sur une hélice dont L'axe est incliné. — Soit » l'angle aigu que Taxe CD de Thélice (fig. \lx\.) forme avec le plan de Thorizon ; soit z l'angle aigu constant que forme avec Taxe une tangente à l'hélice. Considérons seulement sur l'hélice le premier tour de spire befg , à partir de la base inférieure bjd du cvlindre.

Menons à l'hélice, par l'un quelconque m de ses points, une tangente mt, prolongée d'un seul côté du point m, vers la base bjd. Pour une figure d'homme placée sur CD,

VIS d'archibiède.

les pieds vers d , la tête Ters c , et regardinl le potoc ii , cette tangente mt est , on le voit , située à droite ; elle forme l'angle z avec la parallèle mj à CD , menée du c6té

delà base. Si le point m se déplace sur l'hélice et la parcourt 60 allant de B en g , la tangente mt change de di« rection dans l'espace , mais elle forme toujours avec l'axe le même angle Zy et reprend au point G la direction qu'elle avait au point b.

Il en résulte que, si Ton mène, par le point s choisi arbitrairement sur le prolongement de Taxe DG, une droite su parallèle à la tangente mobile mt , de même sens et de longueur constante , cette droite su décrit • autour de la droite se prise pour axe, la surface d'un cône circulaire droit de sommet s, et dont la base, de centre L, est engendrée par la perpendiculaire ul abaissée du point u sur se.

2ft2 TRANSF. ENTRE MOUY. RECTIL. ET MOUV. CIRCUL.

u A une tangente horizontale de Thélice correspond une génératrice horizontale du cône, et réciproquement. Cherchons donc si le cône possède des génératrices horizontales.

Ces génératrices horizontales, s'il en existe, sont situées dans le plan horizontal mené par le point s; elles sont également situées sur le cône ; elles sont donc à Tinterscction du cône a?ec le plan. Il faut donc que le plan horizontal mené par le point s rencontre le cône , pour qu'il existe sur rhélice des tangentes horizontales ; et cette condition d'ailleurs est suffisante.

Quand le plan rencontre le cône , il le coupe généralement suivant deux génératrices distinctes SH et SK : ainsi, un même tour de spire de l'hélice,' befg, possède généralement deux tangentes horizontales de directions différentes, ou il n'en, possède point.

310. Concevons que Ton mène suivant l'axe se (fig. 162 ei 6g. 143 ) un plan vertical ; puis, dans ce plan vertical et par le point s , d'une part y l'horizontale si qui

forme avec se un angle égal à t^ de l'autre, les deux droites SP et SQ qui forment avec se , au-dessus et au-dessous de se , un angle égal à z, et appartiennent par conséquent à la surface convexe

Figl 142. ^ ^" *^^"®* ^' ^'^ingle i est moindre que z (fig. 142), la droite SP est située au-dessus du plan horizontal du point s ; et , comme la droite SQ est située au-dessous, on est assuré

VIS D*ARGHIIIÈDE. ikZ

qtie ce plan coupe le cône snivant deux droites placées symétriquement de part et d*autre du plan vertical mené

par Taxe. Si , au contraire »

I ^ Tangle i est plus grand que

z (fig. 1^3), les deux droites

6P et SQ sont situées Tune

Fig, idZ. /J / et l'autre au-dessous du plan

horizontal du point s ; et , par suite , il en est de même de toutes les génératrices du cône, lequel ne possède alors que le point s de commun avec le plan horizontal.

Ainsi , laissant de côté le cas particulier de t égal à z ^ on voit que , pour x<Zi il existe sur Thélice deux tan* gentes horizontales, et que , pour x^Zy il n'en existe point.

311. Recherche des tangentes horizoniales de l'hélice. — Proposons-nous d'abord de déterminer le point de l'hélice où la tangente est parallèle à une génératrice su donnée sur le cône (fig. 1^1). Il suffit pour cela de faire tourner d'un angle droit le triangle slu autour de SL,dans le sens f, ce qui l'amène à la position slm ; et de déterminer le point M d'intersection de l'hélice avec le plan du triangle slu, en ayant soin, pour éviter toute ambiguïté , de ne point prolonger ce plan de l'autre côté de l'axe.

Menons , en effet , par le point m ainsi obtenu, la droite MT parallèle à su et de même sens, et la génératrice mj du cylindre , parallèle à sl et de même sens. L'angle jmt est égal à l'angle tsu , et les plans de ces deux angles sont parallèles ; mais le plan slu est perpendiculaire au plan

2kU TRAKSF. ENTKE MOCY. RECTIL. ET MOUT. GIRCUL.

slm; ii en est donc de même du plan jmt. D'ailieors, le plan SLti n'est autre que le plan des droites sl et iiJ ; par conséquent le plan jmt, qui lui est perpendiculaire, touche le cylindre suivant la droite mj. La droite mt de ce plan JMT, inclinée sur mj de Tangle z, est donc bien la tangente à rhélice au point m (n^ 28).

319. On n'a considéré sur Thélice qu'un seul tour de spire; mais il est évident que , si l'on conçoit l'hélice indéfiniment prolongée , tous les points de cette hélice qui sont situés sur la droite MJ prolongée elle-même indéfiniment, ont leurs tangentes parallèles à mt (n^ 29); et il n'y en a pas d'autres.

318. La construction indiquée pour trouver, sur l'arc d*hélice befg, la tangente mt de direction su, est applicable à la recherche des tangentes parallèles à sh et à SR, c'està-dire, à la recherche des tangentes horizontales, quand ii en existe. Elle fournit le point n de contact de la tangente parallèle à SH , et le point x de contact de la tangente parallèle à SK , après que ces droites sh et SK ont été obtenues comme on l'a vu plus haut

314. Recherche des points maxima et des points minitna de l'hélice. — On peut démontrer que , dans le cas de la fignrc, le point n est un point minimum et le point x un point maximum.

Remarquons pour cela que le point M, en allant de B en G sur l'hélice , parcourt des éléments successifs dont la direction est donnée à chaque instant par celle de la droite su parallèle à mt , et qu'il parcourt ces éléments dans le sens us ; d'où il résulte que le point m monte quand la

VIS d'arghimëde. 2kS

droite su est shaée au-dessous du plaa horizontal du point 9^ et qu'il descend lorsque la droite su est située au-dessus de ce plan. Remarquons ensuite que su , dans son monvepsent de rotation autour de se, traverse la position SH pour passer au-dessous du plan , et qu'il traverse la position SK pour passer au-dessus. Nous apercevrons facilement alors que le point m descend pour atteindre le point n, et qu'il monte en le dépassant; tandis que, tout au contraire . il monte pour atteindre le point x et descend au-delà. Ainsi, le point N est un point minimum et le point x un point maximum.

315. Si, au lieu de considérer un seul tour de spire de rhélice, on en considère un nombre indéfini (fig. Ii!i5), on obtient une série de points minima situés tous , avec le point N , sur une même génératrice nn du cylindre ; et une série de points maxima situés tous , avec le point x , sur une autre génératrice xx.

810. Du déplacement des maxima et des minima quand L'hélice tourne autour de son axe, — Soit b'e'f'G^ (fig. 1/i/i) une autre position de l'hélice befg tournant autour de Taxe CD, dans tel sens que Ton voudra supposer. Cette rotation, pendant laquelle l'hélice reste toujours située sur le cylindre , ne change en rien la grandeur de Taugle que chacune des tangentes forme avec CD ; d'où il résulte que les parallèles à ces tangentes , menées par le point s, appartiennent encore au même cône auxiliaire dont SH et SK sont les génératrices horizontales.

Gela posé , menons sur le cylindre la génératrice nn qui passe au point n de rhélice bg, et rencontre l'hélice B 'o' en

3fl6 TBANSF. ENTHEHODV. BECTIL. ETMOUV. CIRCt».

»'. les tangentes ii ces deui courbes, menées respectiremeot par les pointa n et m', sont parallèles, comme étant situées toutes deui dans le plan tangent au cylindre suivant

la droite nn.el formantavec celte droiie'des angles correspondants ^anx h z. La tangente au point n' a donc la directiou SH qui caractérise les points minima, et le point n' est un point minimum de la seconde hélice.

De rnSme, le point x', situé avec x sur une même génératrice XX du cylindre , a sa ungeute parallèle i la tangente du point X, et, par conséquent, â SK : en sorte que x' estjin point maximum de la seconde hélice.

On voit donc que , si l'bélice tourne autour de l'axe CD, le point rainiiDum n et le point maximum x se déplacent sur l'hélice , en décrivaut dans l'espace des droites paraîtras il cet aie.

SIT. Cas d'une teule molécule liquide glimuu dans

VIS d'archimèoe. 2^7

Cxmirieur du tube, — Ce cas peut être assimilé à celui dans lequel uo point pesant m serait assujetti à glisser contre une hélice.

Si Ton a i>£ ( fig. 1&3 ) , la tangente mt est située audessous du plan horizontal du point m, pour toutes les positions du mobile. Ce point m, en conséquence, glisse contre l'hélice, dans le sens mt; et il en parcourt ainsi successivement tous les éléments , jusqu'à ce qu'il arrive en B , au point le plus bas.

31 S. Si Ton a t<2 (ûg. \k1) , l'hélice possède des points minima ; et le mobile , placé en l'un de ces points , y demeure. Pour toute autre position, il glisse contre l'hélice ^t vient se placer au point minimum le plus proche, où il reste en équilibre (si toutefois sa vitesse acquise est négligeable, comme nous l'admettrons dans tout ce qui va suivre).

319. Supposons le mobile en n (fig. \hU)^ au premier point minimum à partir de la base ; puis , faisons tourner infiniment peu l'hélice befg autour de l'axe gd du cylindre, en sens contraire de fy et de manière à l'amener à la position B'E^F'G^ Le mobile, au lieu de participer à ce mouvement de rotation , glissera contre l'hélice et viendra se placer au point n' le plus bas : c'est-à-dire qu'il décrira dans l'espace l'élément rectiligne nn^ parallèle à DG et de sens og.

Si le mouvement de rotation de l'hélice continue dans le sens assigné bb'' , le mouvement de translation rectiligne du point H continuera suivant la même direction Nf^', et dans le même sens, jusqu'à ce que le mobile arrive à l'extrémité supérieure de l'hélice.

2^8 TRANSF. ENTBE MOU Y. BECTIL. £T IfOUV. GIRCUL.

Ainsi «e trouvera réalisée, à Taide do tabe hélicolde et de l'action incessante de la pesanteur , la transfomiation d'un mouTement circulaire continu dans un mouveineot rectiligne continu de direction parallèle à l'axe de rotation.

m%0> Si Ton veut avoir le rapport - des vitesses des deux

mouvements, il faut se rappeler les conditions établies

au n**. 34 , pour le glissement d'une hélice et d'un point

l'un contre l'autre. On en conclura aisément que ce rapport

ne peut , à aucun instant , différer de celui du pas A à 2k.

M%1. Cas d'une colonne liquide placée dans l'intérieur du tube; arc hydrophore. — L'angle t étant moindre que z, supposons une colonne liquide on^r (fîg. 145) intro-

Fig. 145.

dnite d'une manière quelconque dans le tube héllcoïde. Cette colonne ne peut être en équilibre que si elle se ter- Hiine , par ses deux eitrémités o et r , à un même pim horizontal au-dessous duquel elle est située tout entière.

TIS n*ARCHIMËOE. 269

Il existe donc sur Thélice , entre les points o et r , un point minimum N|. Si le tube tourne sur son axe , la cokNine liquide se déplace dans le tube et vient chercher la position qui convient à son équilibre.

Pour connaître la nature de son déplacement , considérons celui du point N| le plus bas. Ce point, on le sait, se meut parallèlement à oc , dans le sens DC, lorsque Thélice tourne sur son axe en sens contraire de f; et la vitesse i; de translation est à la vitesse a de rotation dans le rap* port de A à 2n. Or , on peut remarquer que ce mouvement de translation est commun à tous les points de la colonne ONjB. C'est, en elTet, dans Thypothèse d'un pareil déplacement, que l'arc liquide on^r conserve ses extrémités o et r à la même hauteur, et qu'il glisse contre l'hélice sans cesser de se confondre avec elle : comme on l'a vu au n^ 35, en étudiant le mouvement de deux hélices Tune contre l'autre.

Z%%, Il est , pour l'équilibre , une limite à la longueur de l'arc ON|R , résultant de ce que l'extrémité o de la colonne liquide ne peut dépasser le point maximum x sans se déverser. Si le point o coïncide avec le point x (auquel cas le point r est situé avec le point x dans un même plan horizontal ) , la colonne occupe alors sur l'hélice le plus grand arc possible. Ce plus grand arc porte le nom û^arc hydrophore; et il varie, pour une même hélice, avec l'inclinaison de l'axe de cette hélice à l'horizon.

9%9. De l'introduction du liquide dans le tube héli" caide. — Si l'on continue à supposer l'angle t moindre que2(^on aperçoit que, pendant la rotation du tube autour de sou axe , la tangente à l'hélice au point b , menée

250 TRANSF. ENTRE MOUV. RECTIL. ET MOUV. GIRCUL.

de manière à prolonger le tube , est située alternativement au-dessus et au-dessous du plan horizontal du point b ; d'où il résulte que le tube tourne alternativement par en haut et par en bas son ouverture B.

3*4. Imaginons que cette ouverture soit plongée dans intérieur d'une masse liquide en équilibre. Une portion du liquide occupe alors l'intérieur du tube sans dépasser le niveau général ; et si , lorsque l'on fait tourner le tube autour de son axe , l'extrémité b reste toujours immergée, le niveau reste aussi toujours le même dans le tube et hors du tube. Aucun phénomène particulier ne se manifeste donc.

Bits. Concevons maintenant que , pendant le mouvement de rotation du tube , en sens contraire de f, l'extrémité B se trouve alternativement placée dans le liquide et hors du liquide ; et que le tube émerge, à chaque tour,

l'ouverture tournée par en haut. It ar- Fig. 146. // rive alors qu'au moment de l'émergence,

^ // une certaine longueur by du tube ( fis.

^'.^v^^ *^^) ^^* située au-dessous du niveau,

et que le fait même de la rotation isole du reste de la masse la colonne liquide qui s'y trouve renfermée. Celle-ci prend donc, dans le tube, un mouvement de translation parallèle à l'axe.

Après un tour entier, l'extrémité B émerge de nouveau, en séparant de la masse liquide une seconde colonne, qui se meut comme la première ; un nouveau tour détermine l'ascension d'une troisième colonne, etc. ; et toutes ces colonnes sont de même longueur : ou du moins elles le seraient si la présence de l'air ne venait compliquer les phénomènes.

TIS d'archlmède.

Les principes que Ton vient d'exposer peuvent être considérés, approximativement, comme applicables au cas d'un tube hélicoïde de section très-petite. C'est dans ce tube que consiste la vis (VArchimède des anciens , au moyen de laquelle on puise l'eau par l'extrémité inférieure, pour la déverser par l'extrémité supérieure.

m. Du mouvenneiit d'un liquide pesant, dans un eanal béUeoïde de dimensions queleonques*

8tv. Dans le cas où l'axe dg (Gg. ilxl) de ce canal hélicoïde forme avec Thorizon un angle assez petit, il existe à sa surface des points minima. n est l'un de ces points , si le plan horizontal hh , que l'on y fait passer, laisse audessus de lui tous les points de la surface qui avoisineut le point N. On peut donc concevoir qu'une certaine quantité de liquide^ logée dans la portion de canal dont m est le point le plus bas , y trouve une position ONR d'équilibre.

Fig. U7.

399. Cet équilibre est troublé si l'on fait tourner le canal autourde l'axe co ; et, toute vitesse acquise étant supposée négligeable, le liquide qu'il renferme se déplace en venant prendre successivement les différentes positions d'équilibre qui correspondent à chacune des positions du canal.

252 TRANSr. ENTRE IIOUV. R£€TIL. ET MOUV. CIRCDL.

Or» pendant que la rotation du canal s^effectue avec la vitesse a , imaginons que les points dn lîqoide se meuTent parallèlement à Taxe , dans un sens convenable , avec la vitesse t; , et de telle sorte que Ton ait toujours

a ~~ 2ir "

Dans ces conditions, la surface plane or du liquide restera toujours horizontale ; de plus » sa surface convexe onr restera toujours en contact avec la surface intérieure du canal et glissera contre elle : comme on Ta vu au n^ ^1 , en étudiant le mouvement de deux surfaces hélicoîdes l'une contre l'autre. Le mouvement supposé est donc bien celui que doit prendre la masse liquide , pour occuper , dans l'intérieur du canal en mouvement , les positions successives d'équilibre : c'est donc bien aussi le mouvement effectif

' 81^9. On peut faire une inGnité d'hypothèses sur le , volume du liquide maintenu en équilibre autour du point N. Toutefois , il est une certaine limite de grandeur que ce volume ne peut dépasser sans que le liquide déborde et se déverse. L'espace occupé par ce volume maximum porte le nom d'espace kydrophore,

La figure de cet espace hydrophore peut offrir deux

Fig. ih%.

caractères qu'il importe de distinguer* Ou bien , comme

VIS D*ABGHIMÈDE. 253

dans le cas de la figure l/i8 , Tcspace bydrophore obstrue le canal , c'est-à-dire qu^un point mobile doit traverser l'espace bydrophore pour aller d'une extrémité du canal à l'autre ; oa bien la continuité du canal n'est pas interrompue , comme dans le cas de la figure \ k9,

330. Dans tous les cas , que l'on considère cet espace comme rempli de liquide , ou qu'on le considère comme nn solide purement géométrique et indépendant du canal , il est évident qu'un mouvement de rotation du canal sur son axe détermine un mouvement de translation de l'espace bydrophore parallèlement .à l'axe , et dans , un sens qui dépend de celui de la rotation. Nous pourrons, en conséquence , par une rotation convenable , amener sa surface plane et horizontale OR à coïncider avec celle d'un bain liquide où resterait plongée, dans toutes ses positions , l'ouverture inférieure du canal. L'espace bydrophore étant alors plein de liquide, faisons tourner le canal sur son axe , de manière à élever la surface OB audessus du niveau du bain.

9Si. Si, comme dans te cas de la figure 150, l'espace F/fll50. 19^ bydrophore n'interrompt

pas la continuité du canal, le fait même de la rotation Isolera du reste de la masse la portion de liquide qu'il renferme, et lui communiquera un mouvement de translation parallèle à l'axe.

S3tt. Mais si, comme dans le cas de la figure 151 , le

256 TRAMSF. ENTRE MOUV. RECTIL. ET MOUV. GIRGUL.

liquide reofermé dans l'espace hydropbore obstrue le

canal , ce mouvement d'ascension ne se produira pas, parce que , s'il avait lieu , |A il faudrait que la colonne liquide OONRR entraînât après elle, le liquide situé au-dessus de la surface oo , ou qu'elle s'en séparât : ce que ne permettent point les lois relatives à l'équilibre d'an liquide soumis à la pression de l'atmosphère.

333. Si donc on veut employer le canal hélicoïde au puisage et à l'ascension d'une masse liquide en repos ; si l'on veut , en outre , que , pour une même inclinaison de l'axe, ce canal élève, à chaque tour, le plus grand volume possible de liquide; il ne suffit pas que son ouverture reste toujours plongée dans le bain , il faut encore que l'espace hydropbore n'obstrue pas son intérieur. Or, on peut toujours, comme on va le voir, faire en sorteque cette condition soit remplie , en choisissant convenablement le canal.

334. Soit en effet G (fig. 152) l'axe de rotation, supposé perpendiculaire au plan de la figure; gik une

Fig. 152.

ligne fermée , située dans ce plan , et dont le mouvement engendre le canal hélicoïde de pas h. Imaginons que l'on mène , dans l'intérieur de la Ggure GIK, une infinité de lignes L, qui, par leurs intersections mutuelles, y déterminent des aires élémentaires telles que s. Pendant que le contour gik engendre le canal bé-

TIS D*ABCH»IÈDE. 255

]ico!de« les lignes L engendrent, dans l'intérieur du canal, autant de cloisons idéales , qui le décomposent en canaux hélicoîdes élémentaires, correspondant à chacun des éléments s de Taire gik. Tous ces canaux ont même pas h et ne diffèrent les uns des autres que par la grandeur r de leur distance à Taxe commun. L'espace hydrophore relatif au canal gik étant rempli de liquide en équilibre, solidifions par la pensée toutes ces cloisons sans épaisseur. L'équili* bre ne sera pas ti*oublé ; en soKe que le liquide renfermé dans l'an quelconque des canaux élémentaires, et consi-* déré isolément du reste de la masse , doit se trouver en équilibre. Or , cette condition ne peut être remplie , pour un canal élémentaire, que s'il possède des points minima , c'est-à-dire si l'angle z que ses génératrices forment avec Taxe satisfait à l'inégalité t<2 {n°. 318). Dans le cas contraire , ce canal est nécessairement vide.

Rappelons maintenant la construction indiquée au n^ 28 pour obtenir l'angle z , lorsque l'on connaît le pas h de l'hélice et le rayon r du cylindre sur lequel elle

Fig. 153.

2 Tir

est tracée. Il faut , avons-nous vu , construire un triangle rectangle (Gg. 153) , dont les côtés de l'angle droit soient respectivement égaux à A et à 27rr, et déterminer, dans ce triangle, l'angle opposé au côté 27rr. Cet angle est égal à z;

256 TRANSF. ENTRE HODV. RECTIL. ETHOUV. CIRCDL.

et il suffit de le comparer >i l'angle i pour savoir à le canal hélicolde considéré peut , on non , retenir do liquide en équilibre dans son iniérienr.

D'ailleurs on aperçoit que l'angle z du triangle diininuit avec r, et que l'on rend x aussi petit que l'on veut en prenant r suffisamment peiit.

3Se. Si donc )a ligne GIK , génératrice du canal , a été choisie assez voiune de l'aie g , il existe toujours dans son intérieur des éléments s dont la distance r k l'axe c est assez petite , pour que l'angle z qui y eorrespond soit moindre que l'angle t. Par conséquent aussi, il existe, dans l'intérieur du canal, des canaux élémentaires qai ne peuT«it renfermer de liquide. On est donc assuré que, dans ces conditions, l'espace hydrophore n'obstrue point le canal, ou qu'il n'en interrompt point la continuité : en sorte qu'un pareil canal, tournant autour de' son axe sans qoe son extrémité cesse d'être plongée dans le bain. élève , ï chaque tour, une portion de liquide égale ï celle que peut contenir un de ses espaces hydropfaores. Ce liquide , après' avoir parcouru toute la longueur du canal , se déverse par sa partie supérieure.

S3T. Tel est le principe de la vis d'Arekiméde des modernes, qui transforme un mouvement continu de rotation autour d'un axe, dans un mouvement continu de translation parallèlement â cet axe.