CV'— I

. - n-AeC'"-

Prenant les logarithmes de chaque membre et développant

^ aa ^

tAieoiioMÉtBlË. Hi(j

e second en série d’après la formule connue L(a — ■z')=: X x‘ x’

f,a — r — etc., on aura

O a«’ 3 fl’

a Bv/ — i = -I- 4- '-i-etc.

Donc en divisant par av/ — i , et observant que ' '

« mc\^ ' — av” — 1 «a a» C , on aura

■b b fc* b*

B=s- finC-i -fwa C -|-- — -stn 3 CH -râiè C+etc.

C'est la valeur de l'angle B , exprimée en parties du rayon par une suite dont la loi est très-simple , et qui sera d’au, tant plus convergente que b sera plus petit par rapport à a La valeur qu’on vient de trouver doit satisfaire aiusi 4 O ù

l’équation B H- i C )= tangX C , qui est la même

que tang~ (A — B ) = co/ 7 C , et qui ne diffère que par

, , , „ , . sin B ' bsinC

la forme, de 1 équation — .

car B a—bcotC

Cl. L’angle B étant connu, on aura le troisième angle A=aoo” — B— C, Quant au troisième cèté c , il dépend de l’équation c’=:a*— anicor C-J-A*, laquelle donne par l’extraction de la racine,

c=za — é cor CH sin' C-| rnt* C cor C— etc.

20 aa*-

Mais cette série n’a pas une marche régulière , et ne peut pas être continuée à volonté. Au contraire, on peut trouver une série fort simple pour la valeur du logarithme hyperbolique de c. En effet, il est facile de voir que la quantité a*>—aa6 corC-|-é’ = (a — *) (a— ée *); car le produit

développé de ces deux facteurs donne a‘—ab (e^'^-^+e~^'^-')+b' ,oua’ — iabcosC+b'. On a donc c‘=(a — ée ®'^~0 (a — ie— 0 > prenant les logarithmes de chaque membre , il viendra

< 4*0 VKIGOROMBTEtB.

»Lc=Lg-£^''- '-elc.

aa* 3 a*

-SCv'-i ete,

Donc en réduisant de nouveau à l’aide de la formule

rmCv' — I , ^ — mCV — 1 f,

-f-e = a cox ai C, on aura

Le=La — cox C — coxaC — — rcox 3 C — etc.

au* - 3 a*

série non moins élégante que celle qui donne la valeur de B: il faudra multiplier les termes algébriques par le module 0.434*9448 1 *i 00 vrut que les logarithmes soient ceux des . tables ordinaires.

III. Résolution du troisième cas des triangles sphériques par la voie des séries.

di. On a fait voir dans le paragraphe précédent que la

valeur de æ tirée de I équation tang r= tang j C ,

tn — n

peut s’exprimer par cette série

x=.tC-|- — xàiC-l-

rn a ar*

sim C + i — rxi'a 3 C-|-elc.

Or dans un triangle spheriquè où l'on connaît les deux côtés a et ô et l’angle compris C, on a paries analogies de txxxTi. Néper

cot-

xin(.‘ a— iô) sin-^ac0S’^b-{ sin ^acos^b- A-f-B cox( 7 a-f--jô)

tang\ C

sin^acoslib-\-eos^asin-{b

sinl-acos^b — cot^attn^b

coi

long'. C

cox(}a— cosÿ aci<s ^b—sinjasinÿb

tang.iC

*'■ cosjacos-^brt-tt't-înstn^b

Donc, en vertu de la formule précédente et supposant toujours 6>a, on aura

Dig.ii^.^ by Googlc

VKlGONOIléTmlB.

izS = .o«-ic- ,»c-

a. tangua %tang'^a

4 ax

tin a C

tang* I h 3 tang* ■; a

sin 3 C — etc.

A+B „ tang- b tang' b

-^E=ioo“ — iCH ÎLl«nC

a cotîa a cot' ^ a

fin aC

tang’ T b 3 eot* 7 a

sin 3 C — etc.

Suite* dont la loi e*t trèa-eimple, et qui seront d’autant plu* conTergente* que b sera plu* petit. La première est tou-, jours convergente , puisqu’on suppose b < a; la seconde 1« sera aussi , si on a tang ^ b< cot-^ o , on a -f- 6 < aoo**. Elle serait divergente et fausse si on avait aoo", mais ce

cas peut toujours s’éviter ; car la résolution du triangle BCA dans lequel on aurait CA CB > aoo°, se réduit ton~ £g. ii. jours à celle du triangle A'C B' dans lequel on a CA'-f- CB'<aoo*’. Au reste, la seconde série est dans ta plus grande convergence , lorsque a et b sont tous deux trèspetits; alors le troisième côté c est, très-. petit aussi, puisqu’on doit avoir c<a-^-b , et le triangle sphérique difTère très-peu d’un triangle plan ; dans ce cas l’excès de la somme des trois angles sur deux angles droits , s’exprime ainsi : A-i-B-l-C— iOo®=:Ÿ tang- a tang 4 b linC— V tang* ~ a tang* i ô xù* a G -i- y tang* a tang* ^ b finie — etc.

ciii. Pour trouver le troisième côté c du triangle proposé, on a l’équation cos cz:scot a cos b sin a sin b cos C , de laquelle il est aisé de déduire les deux suivantes :

stn‘^czzsin‘^acos'ÿb—iksinyacofybcos^asin\bcosC-\-cos*ya fin'^i

cos' ^=cof'-^aas'yb+^cos^cos‘bsmÿasmybcosC-^-sifi"%a sùl'-^b Par la forme de ces valeurs on voit que sin 7 <; peut être regardé comme le troisième côté d’un triangle rectiligne dans lequel on aurait les deux côtés connus sin 7 a cor 7 b, oof 7 a sin 7 ô et l’angle compris C ; de même cor 7 c est le troisième coté d’un triangle rectiligne , dont deux côtés seraient cos 7 a cos ^b,sia {a sin ÿ b et l’angle compris aoo"

— C. Donc on a par la formule trouvée pour le* triangles rectilignes*. **

TBIGOROM BTHIB.

tog sm>;e-=log{sm\acos^b) - cosC- eo.t àC — etc.

tang\a %tang'\a r

logeas \e—logicos\a cos\ 6)+ ^ co.f C-i- — ‘ ^ cos aC + etc.

cot-<l icot'^a

Il est à remarquer ultérieurement que comme chacun des triangles rectilignes dont nous venons de parler peut se résoudre par le moyen d’un triangle rectiligne rectangle ,

on peut directement réduire la résolution du triangle sphérique proposé i celle d’un triai^le rectiligne rectangle.

On trouve par ce moyen que sin i c est l'hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont sin^ («,-4-ô) sm^C et sin ^ (a-— b) cos i C. De même cos 7 c est l'hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés seraient èor 4 (»—ô)cd.vfC et ros j (o-f-ô) sin 4 C.

De plus , si on appelle M l'angle qui dans le premier triangle est opposé au côté 4 (a — ô)cos4C, et dans le second, K l’angle opposé an côté cos 4 {a— b) «w 4C , il résulte des

\ I ■ J -Kji t ^ ® « A-i-B

eualogies de Néper qn on aura =M, et — r- =: N ou

=200® — N; savoir; =N si a-|-ô< 3 oo®, et^^~

— 200® — N si a-l-ô>20o“. Donc dans tout triangle sphé- • rique où l’on connaît deux côtés a et ô et l'angle compris C, on peut trouver directement chacune des quantités 4 c, A-t-B A— B

' , — - — , par la résolution d’un triangle rectiligne

rectangle où l’on connaît les deux côtés de l'angle droit.

Il résulte aussi de là qu’apres avoir trouvé l'angle M ou

A — R si/l ^ (a — b)

par la formule rang M = — cot - C , on

peut calculer le troisième côté par la formule sin 4c=s

sm 4 (0 — b) cos 4 c sin 4 (n -f- ô) stn 4 C

sin M COT M

IV. B. Le» fononles Iruavées dans ce paragraphe a’appliqueroBI 'siaessent à la résointion rln cinquième cas des triangles apbériquea, puisque celni-ci peut sr rapporter au troisième par la propriété dn .{riangle polaire.

*«I001«0MKTRIX.

^ IV. Késolution d'un triangle sphérique dont deux eUtét sont peu différents de ioo“.

ciT. Soient a et 6 le* denx cdté* donné* peu dînèrent* de 100 °, on propnie de déterminer l'ange C par le moyen de* troi* cété* a ,b, c.

' Si le* côtés a et b étaient exactement égaux i 100 °, on aurait C=c ; donc a et b dinérant très-peu de 100 °, l’angle C aura pour mesure un arc très-peu dînèrent de c. Soit a = ioo“-|-», ô = ioo®-|-6, C = c-I-jr ; si on substitue ces xa- eos e — cos a cos b

leurs dans I équation cos C = . : — ; , on aura

stn a sut b '

cos c — sin K stn 6 .

cos (c-I-*) z= . Mat* puisque « et 6 sont

cos « cos i

supposés très-petits , on peut en négligeant seulement les termes où a et 6 montent au quatrième degré, faire

sin a sin 6 = s6, eos % cos 6c= i — — — — , ce qui donnera

COS iC ^ a 6

COf(c-|-*)= ; =(j-+-i,*-|-ig*)corc — a€

Or, en négligeant le qnarrédex, on a cos (e+x)—cosc — X sin c ; donc ,

. . ' «6 — ï CO/ e

Et puisque x est du second ordre par rapport à a et g, on Toit qu'il n’y a de négligées dan* cette xalenr que les quantités du quatrième ordre. .Soit i(a-|-6) z=.p,-~ («— 6) = g ^ on a^^p+q, t—p—gj on aura sous une forme plus simple

( I — cojc\ , /i+co/cN , ...

)=/i‘to/igfc-g*co/ic.

sine J \ sine J

Cette râleur est exprimée en parties du rayon ; mais conune dans la pratique p et g sont données en secondes , si l'on reut que x soit exprimé aussi en secondes , il faudra fairé

^ = ^ tangue — — cot\c.

R étant le nombre de secondes contenues dans le rayon,

4^4 TMIGOROMÉT &1B.

nombre dont le logarithme = 5 . 8o388oi. Coiintissaut jr, on aura l’angle cherché C =c-{-x.

La formule que nous venons de trouver est ntile dans les operations géodésiques pour réduire à riiorizon les angles observés dans des plans inclinés ; elle est plus expéditive demande des tables moins étendues que la formule du cas premier des triangles sphériques , dont nous avons donné un exemple (n° 93 ). Cependant, si les élévations ou dépressions a et 6 étaient de plus de a ou 3 degrés , il serait plus sûr de se servir de la méthode générale.

$ V. Résolution des triangles sphériques dont les côtés sont très-petits par rapport au rayon de ta sphère.

■ 'cv. Lorsque les côtes < 1 , 6 , c, sont très-petits par rapport au rayon de la sphère , le triangle proposé est peu difTèrent d*un triangle rectiligne ; et , en le considérant comme tel', on peut en avoir une première solution approchée , mais on néglige de cette manière l’excès de la somme des angles sur aoo". Pour avoir une solution plus approchée, il faut tenir compte de cet excès, et c'est ce qu’on peut faire très-aisément , au moyen d’un principe général que nous allons démontrer. ■ * '

Soit r le rayon de la sphère sur laquelle est situé le triangle proposé , si l’on imagine un triangle semblable tracé sur la sphère dont le rayon est 1 , les côtés de ce triangle seront

, cos cos-cos-

et on aura cof A = : . Mais puisque

b c stn-stn r r

r est fort grand par rapport à a, ô, c, on aura d’une

maniéré très - approchée * cos 1 — h — —

r ar* a.3.4r*

cos-t — t r— cos- —t --I — —

ar* a.3.^r* r a.3.4r*

sin - — - — ■ , un =:■: Substituant ces

«siGONOiiivaiB. 4aS

valeur* dan* l'éipiation précédente , et négligeant le* terme* de plu* de quatre dimen*ion* en a , é , c , on aura

cot h.

ar*

bc/ b' c* \

Multipliant le* deux tenue* de cette ftactiou par i -f-

et rëdui*ant , on aura

co/A=:

a«*é*— a «*c*— ai*c*

aée t^ber'

Soit maintenant A' l’angle oppoaé an c6té a , dan* le triangle rectiligne dont le* cAté* *eraient égaux en longueur aux ' b‘-^-e‘~~a'

arc» a.b.c; on aura cotK — ■ et 4 6‘c’«/i'A'

a oc

= aa* fc*-|-aa’c*-|-a6*c*— — b* — c*.Oonc “ '

bc ■

cotA.^cotA ' — — awt’A'.

or*

Soit A = A'+ a; , on' aura en rejetant le quarré de ri

bc

eot Kz^eos K ’ — x xtnA',d*où l’on voit quer=i- — «oA';

; •. Or*

et puisque x e*t du *econd ordre par rapport à - et - , il

*'«n*uit que ce ré*ultat e*t exact aux quantité* près du quatrième ordre. On aura donc

A = A -J- - — sin A .

Mais 7 bc sin A' est l’aire du triangle rectiligne dont a, b, c sont les trois cété» , laquelle ne diffère pas sensiblement de celle du triangle sphérique proposé. Donc , si Tune on l’autre

aire e*t appelées, onanra A=A'-|- , ou A'=A — r^.

On aurait semblablement B'=B— , C' = C — . et

il en résulte A'-l-B'-4-C' ou aoO“ = A-f-B-l-C On

4a(i TBieORO

peut donc considérer comme étant l'excès de la somme

des trois angles da triangle sphérique proposé sur deux angles droits. Cela posé , on a ce théorème remarquable qui réduit la résolution des tritingles sphériques très-petits , à celle des triangles rectilignes.

Etant proposé un tn'angie sphérique dont les c6tés sont très-petits par raj^ort au rayon de la sphère , si de ckacim de ses angles on retranche le tiers de l'excès de la somme des trois' angles sur deux droits , les angles ainsi diminués pourront Are pris pour les angles d'un triangle rectiligne , donles câtés sont égaux en longueur à ceux du triangle sphe rique proposé , ou eu d’autres termes :

Le triangle sphénque très-peu eourée dont les angles sont A , B , C , ef /er cétés opposés a , b , c , répond toujours à un triangk rectiligne qui a les c6tés de mAne longueur u,h , c, et dont les angles opposés sont A— r B — -î > C T e > e étant l'excès de la somme des angles du tnangle Sphérique proposé, sur deux anf^s droits.

cvi. L’excès e on — , qui est proportionnel à l’aire du

triangle , peut toujours se calculer a priori par les données du triangle sphérique considéré comme rectiligne. Si deux cètés b,c, sont donnés arec l’angle compris A, on aura' l'aire tt—t^bc sin A ; si on donne un c 6 té a et les deux

, V .. . rin B sin C

angles adjacents B , C , on aura 1 aire a = 7 a*

SM

Enniite on aura ez=z-^ R , R étant le nombre de secondes r*

comprises dans le rayon , et de cette manière t sera exprimé en secondes.

Pour appliquer ces formules aux triangles tracés sur la surface de la terre, considérée comme sphérique (i), il

( I ) Dans les opérations géodésiqaes les triangles sont 1a pins son- ▼eut formes entre trois stations inégalement éloignées da centre de la terre; mais , par des rédactions couTenahles , oa sobstitne aax triangles observés les triangles qni lésalttnl de la projection dea stations sor ane même surface sphsriqna perpendicolaite à la direetioa de la pesanteur.

TSIGOirOMSTB IS. 4^7

faudra supposer que les côtés a, b, c, ainsi que le rayon de la terre r sont exprimés en mètres. Or, puisque le quart du méridien -j- 1T rest égal à looooooo mètres, on en conclut logr— 6. 8 o 388 oi ; d’un autre côté le rayon R exprimé en secondes, a pour logarithme 5 , 8 o 386 oi . Donc si au logarithme de l'aire « exprimée en mètres quarrés , on ajoute le logarithme constant 3.196119, et qu’on retranche dix unités de la somme, on aura le logarithme de l’excès t exprimé en secondes.

Connaissant i on retranchera ou on supposera retranché de chaque angle du triangle sphérique proposé, et alors dans le triangle rectiligne formé par les côtés a , ô, c, et les angles A'=A' — ■î-e,B'r=B — je, C'=C — je, on aura les données nécessaires pour en déterminer toutes les parties. Ainsi on connaîtra en même temps celles du triangle sphérique proposé.

cvii. Exempte, Soient donnés l’angle C et les deux côtés a et ô, savoir:

C= ia3' 19' 99' . »3 tog a = 4 - 5891 So 3 log é = 4. 5319371

la quantité \ a b tin C qni représente l’aire de triangle, aura pour logarithme 8.78065, à quoi ajoutant 3. 19613, on aura log e=i 0.97667 , paHant 8=9". 48 et •je = 3 ‘’. 16, Cela posé, il faut résoudre le triangle rectiligne dans lequel (XI a les deux côtés a et ô comme ci-dessus, et l’angle compris C'= 133 “ 19' 96'' . 07. Pour cet effet, nous suivrons la méthode du n“ 56 ,

tang (9 — 5 o “ ) .

co/i C . ...

tang 9 . • ■

A' — BT

jC =38

4a8 TR1CONOMBTHI8.

I) reste à déterminer le troisième c6té c, ce ([ui te fera par a sin C

réquatton e=— 7— iin A

différence 4’8o366io 4 *80386 10

sin C • • • 9*97o5oo8 tinV • " 9*7189661

logc=z.. 4‘774i8i8 lagb:=i 4*8319971

Donc dans le triangle sphérique proposé , les éléments qu'il fallait trouTer sont :

/og c =4*774*6*8 , ouc=5945i“ 356.

A. S, La méthode donnée dene ce paragraphe peut acnrir aoMi i * 8 * .réeoodie le» triangle» dan» leaqnel» deux côté» aeraienl trè»-pca diflë* rent» de 300° et le troisième très-petit. Car en prolongeant le» grands cèté» A'C, A'B,on anra nn triangle sphérique BCA,dont le» troi» côté» seront très- petits.

§. VI. Det îrian^t sphériques dont deux angUs sont très-aigus.

^* >7* cviii. Soit ABC le triangle sphérique proposé dans lequel A et B sont deux angles très-aigus , soit LMN son triangle polaire , de sorte qu’on ait MTV = 90o‘ — A et LN = aoo'— B. , Si on prolonge les nrcs NM , NL, jusqu'à leur rencontre en K, il est cla'tr qu’on aura KM=Â , et KL=B, le triangle , LKM aura donc ses côtés très-petits , et il sera dans le cas d'étre résolu par la méthode du paragraphe précédent. Soient A', B', C, les trois angles et b\ d les trois côtés du triangle LKM , on aura

A' = MLK = a a' = KM = A

B' = LMK = Ô 4’=LK = B

C' = LK.M = 900®— t d = LM = 900' — C.

Donc trois cléments connus dans le triangle ABC en donneront trois dans le triangle LKM , et par conséquent trois aussi dans le triangle rectiligne auquel le triangle LKM

-i l-.y Googk

THIGOROMBTalB.

peut être ramené : or celni-ci étant réiola , on aura la aoludon da triangle LKM , et de lii celle dn triangle proposé ABC.

crx. Soit par exemple, A=3“, Bz=a" et le cAté adjacent e=i5o®, les données da triangle LKM, ou plntAt A'B'C', feront a' =3®, A et l’angle compris C' =5o® Par le moyen de ces données , on trouve l’excès sphériqne t ^

4 a' b' stn C '

= — ^ = 333 '.ai , et le tiers de tétant retranché

de C', le reste sera 49° 98' 88'.93. Il fant donc résoudre un triangle rectiligne dans lequel on a les deux cAtés a'= 3oooo', A'= aoooo* , et l’angle compris €"=49® 98' 88' .93.

On trouvera les deux autres angles A'=io3® 64' 86'. 33, B'=46° 36' a4' .76 , et le troisième cAtéc'=aia44'. 36 j ajoutant donc js aux angles A" et B" du triangle rectiligne, afin d’avoir les angles A', B' du triangle sphérique, on aura pour la solution cherchée

A' =n= io3® 65'97'. 40 B' =A= 46 37 35 .8a C = aoo® — c'= 197 87 55 .64

j. VU. Du polygone régulier de dLe-sept côtés.

ex. Nous terminerons ces applications dn calcul trigonométriqne en donnant , d’après l’excellent ouvrage de Gauss cité page iia, la manière d’inscrire le polygone régulier de 17 cAtes par la simple résolution des équations dn second degré. . . '

, aoo®

Soit l’arc — — = 9 , je dis d’abord qu’on aura l’équation . cor<p+cor3<p+«w59-Kftr7'P-Hw»99+cor 1 19+cof i 39 +com 59 =s 4.

Car si on appelle le premier membre P , et qu’on multiplie tous ses termes par a cor 9 ; qu’ensnite on change chaque produit de deux cosinus en cosinus d’arcs simples d’après la formule :

a co/AcorB=«w(A-|-B)-i-co/(A — B)

on aura

aPco#9=x-f-aco#a9+aeox49-f-ac<w69 +acori49+co«iS49

4^0 tBlbUMOMBTàliU

Orpuisquei7 9=*oo’» onacot a9 = fo»( »oo* — 169 )=^

— co« >5 9> 4 9 = (>oo*— i3 9)=^ — «M i39»**

ainsi de suite jusqu’à rof 16 9 = — rof9'Do»c •

a P COJ 9=i-a cos 159 — aco* 1 3 9— a COJ 1 1 9 — — acoj39~^o*9 oua Pcoj9 = 1 -|-coj 9 — a P,ou a P(i+coj9)=i+coj 9- DoncP=T-

^ Cela posé, je partage la somme des termes qui composent P en deux parties, savoir:

X = COJ 39 + COJ 59 + ^os 79 + 119

X — cos 9 + co s 99 + > 3 9 + COJ i5 9.

J'aurai donc d’abord x -f-/ =ï^j j« multiplie ensuite les quatre termes de x par les quatre termes de 7 ', et changeant les produits de cosinus en cosinus d’arcs simples, j’obtiens, toutes réductions faites,

X x= a ( COJ a 9 -I- COJ 4 9 -9 COJ 6 9 ... -I- COJ 169 ) ou X — a ( COJ i59 +COJ i3 9 + coj ii ?••• + COJ 9 ) ou enfin x ^ = — * •

Au moyen de ces équations on trouve

*=7+ii/‘7; r=; — ,- 1 / 17 -

Maintenant si l’on partage de nouveau les sommes x et y chacune en deux parties, savoir;

J .= COJ 3 9 + COJ 5 9 « = cos 9 + COJ i3 9

f=coj79+coj II 9 *=coJ9 9 +COJ i5 9 ,

on trouvera sembablement

De sorte qu’on pourra déterminer 1^ quatre nombres s,i,

U, Z, à l'aide de deux nouvelles équations du second degré Enfin connaissant coj 9 + coj i3 9 = « et cos 9 cos i3 9 *

= i(coj la 9+co^ i4 9)=“î(‘^‘’* ^ 9-l-coj 59 )=» —

on obtiendra , par une quatrième équation du second dégré, la valeur de cos 9 , et de là celle du côte du polygone proposé , laquelle est a j//j 9 ( • — coj * 9 ).

Quant à la méthode qui a dirigé le partage de ces diverses étjuations, elle tient à une théorie très - délicate , fondée sur l'analyse indéterminée , et dont il faut voir le développement dans l'ouvrage même de Gauss, ou dans

taicoMoiiÀtaifi. 4^^

V Essai sur la théorie des nombres, deuxième édition. On y trouvera la démonalration complète de ce théorème trèsbeau et très-général :

. Si le 'nombre n est premier , et ^e n — i résulte du < produit des facteurs premiers a“ 3° 5 . etc, la division « du cercle en n parties égales pourra toujours sc réduire • à la résolution de a équations du deuxième degré , S du ■ troisième , y cinquième , et ainsi de suite. •