X 1 V H C III

pt-ndiculaire £1'' qui mesure la distance des deux côtés fî(. ' opposés AB, CD, pris pour bases.

V. La hauteur d'un triangle est la perpendiculaire . AD abaissée du sommet d’un angle A sur le côté op>

- posé BC pris pour base.

VI. La hauteur du trapèze est la perpendiculaire EF menée entre ses deux côtés parallèles AB, CD.

VII. Voire ou la surface d'une ligure ^nt des termes à-peu-près synonymes. L’aire désigne p/us particulièrement la quantité superficielle de la figure en tant qu’elle est mesurée ou comparée à d'autres sui^ faces.

N, B. Pour l'intelligence de ce lirre et des suivants, il -

faut avoir présente la théorie des proportions, pour laquelle nous renvoyons aux traités ordinaires d’arithmétique et d'algèbre. Nous ferons seulement une observation, qui est . ' : très-importante pour fixer' l^-vraf sens des propositions, et dissiper toute obscuri(g|.Aît dans l’énoncé , soit dans les démonstratigns..; '

Si on a la Proportion A:B:;C;D, on sait que le produit des extrême^ X U est égal au produit des moyens B XC.

Cette vérité êl( incQot£stablc pour les nombres; elle l’est aussi pour des grandeurs quelconques , pourvu qu’elles s’ex* ' ' . ' '

priment ou qu'on les imagine exprimées en nombres ; et c’est ' cc qu’on peut toujours supposer : par exemple , si A, B , C , D ,

, Sont des lignes, on peut imaginer qu’une de ces quatre lignes, ou une cinquième , si l’on veut , serve à toutes def commune mesure et soit prise pour unité ; alors A, B, C , D, représentent chacune un certain nombre d’unités , entier on rompu , commensurable ou incommensurable , et la proportion entre les lignes A, B , C, D, devient une proportion de nombres.

Le produit des lignes A et D, qu'on appelle aussi leur rectangle , n’ett donc autre chose que le nombre d’unités tinéaires contenues dans A , multiplié par le nombre d'unilés linéaires contenues dans B; et on conçoit facilement que ce produit peut et doit être égal à celui qui résulte sembla* lilciuent des lignes B et C. .

JP ^

dï " bioMBTllB.

l.e< gramleiirs A et B peuvent être d'une eapcce, par ‘ exemple, des lignes, et les grandeurs C et D d’une autre espèce , par exemple , des surfaces ; alors il faut toujours regarder ces grandeurs comme des nombres : A et B s'exprimeront en unités linéaires , C et D en unités superficielles, et le produit A X sera un nombre comme le produit B X C. ' En général , dans toutes les opérations qu'on fera snr les proportions , il faut toujours regarder les termes de ces proportions comme autant dénombres, chacnn de l’espèce qui lui convient , et on n'aura aucune peine à concevoir ces opérations et les conséquences qui en résultent.

Nous devons avertir aussi qne plusieurs de nos démonstrations sont fondées sur quelques-unes des règles les plus . simples de l'algèb'ft , lesquelles s'appuient elles-mêmes sur les axiomes connus : ainsi si l'on a A = B-f-C, et qu’on multiplie chaque membre par une même quantité M , on en conclut A X M = B X M C X M ; pareillement si l'on a A = B-4-C etO=E — C, et qu'on ajoute les quantités égales, . en effaçant Cet — C qui se détruisent , on en conclura A-l-D = B-f-£, et ainsi des a'utaes. Tout cela est assea évident par soi-méme; mais, en cas de difficulté, il sera bon de consulter les livres d’algèbre, et d’entre-mélcr ainsi

l'étude des deux sciences. ^

PROPOSITION PREMIÈRE

THioaiMK.

> Les parallélogrammes qui ont des bases égales et des hauteurs égales, sont équivalents.

I f t,f- Soit AB la base commune des deux parallélogram-

mes ABCD, ABEF, puisqu’ils sont supposés aroir la même hauteur, les bases supérieures DC, FE, seront . situées sur une même ligne parallèle à AB. Or on a par la nature des parallélogrammes AD = BC, et AF = BE; par la même raison oh a DC=AB,etFE =

AB; donc DC= FE; donc, retranchant DC et F£ de' la même ligne DE, les restes GE et DE’ seront égaux.

Diÿi' : by Gi" “île

L'IVBB 111. • . 63

il suit üe là que les triangles DAF^ CBE, sont équilatéraux entre eux, et par conséquent égaux.

Mais .si du quadrilatère ABED on retranche le tri- 6g. çfl. angle AUF, il reste le parallélogramme ABEF ; et si du même quadrilatère ABED on retranche le triangle CBE, il reste le parallélogramme ABCD; donc les deux parallélogrammes ABCD, ABEF, qui ont même ' '

base et même hauteur, sont équivalents.

Corollaire. Tout parallélogramme ABCD est équivalent au rectangle ABEF de même hase et de même 97 * hauteur.

PROPOSITION il. ^

THÉOIÂHE.

Tout triangle ABC est la moitié du parallélo- Sg. 9 ». gramme qui a meme base et même hauteur. .

Car les triangles ABC, ACD, sont égaux *. * *•

, CorùUairê I. Donc un triangle ABC est la moitié du rectangle BCEF qui a même base BC et même hauteur AO; car le rectangle BCEF est équivalent au parallélogramme ABCD.

Corollaire II. Tous les triangles qui ont des bases égales et des hauteurs égales, sont équivalents. . >

théorém b. ^

Deux rectangles de même hauteur sont entre eux' comme leurs bases.

Soient ABCD, AEFD , deux rectangles qui ont pour fiy. gy hauteur commune AD; je dis qu’ils sont entre eux .1

comme leurs bases AB, A£. < '

Supposons d'abord <{ue les bases AB, AE, soient

'64 GMOUÉTSLIK.

coiiimeiuurables entru elles, et quelles soient, par exemple, comme les nombres 7 et 4 : si on divise AB en 7 parties égales, AE contiendra 4 par-

ties, élevez à chaque point de division une perpen- <liculaire à la base, vous formerez ainsi sept rectangles partiels, qui seront . égaux entre eux, puisqu'ils auront même base et même hauteur. Le rectangle ABCD contiendra sept rectangles partiels,' tandis que AEFDen contiendra quatre ; donc le rectangle ABCD est au rectangle AEFD comme 7 est à 4 1 ou comme AB est à AE. Le même raisonnement peut être appliqué à tout autre rapport que celui de 7 à 4 ; donc , quel que soit ce rapport , pourvu qu’il soit commensurable, on aura,