LIVRE III

. ' Mais AO est plus grand que AI; donc, pour que cette proportion subsistât, il faudrait que le rectangle AEFD fftt plus grand que AlKD; or, au contraire, il . est plus petit; donc la proportion est impossible; donc ABCD ne peut être à AEFD comme AB est à une ligne plus grande que AE.

Par un raisonnement entièrement semblable, on prouverait que le quatrième terme de la proportion ne peut être plus petit que AE; donc il est égal à AE.

Donc, quel que soit le rapport des bases, deux rectangles de même hauteur ABCD, AEFD, sont entre eux comme leurs bases AB, AE.

THÉORÈME

Deux rectangles quelconques A EGF, fig i«i.

sont entre eux comme les produits des bases multipliées par les hauteurs, de sorte qu'on a ABCD : AEGF : : AB X AD : AE X AF.

Ayant dispose les deux rectangles de manière que les angles en A soient opposés au sommet, prolongez les côtés GE, CD, jusqu’à leur rencontre en H; les deux rectangles ABCD, AEHD, ont même hauteur AD ; ils sont donc entre eux comme leurs l>ases AB, AE : de même les deux rectangles AEHD, - AEGF, ont même hauteur AE, ils sont donc entre eux comme leurs base^ AD, AF ainsi on aura les deux proportions,