ABCD : AEHD:: AB :AE

AEHD: AEGF:: AD: AF.

Multipliant ces proportions par onlre, et observant que le moyen terme AEHD peut être omis

' 66 oià'nixh.it,

comme multiplicateur commun à l’antécédènt et au conséquent, on ‘aura, ' '

AiîCD:AEGF::AB X AD.-AE X AF.

Seholie. Donc on peut prendre pour mesure d’un ' rectangle le produit de sa base par sa hai;teur, pourvu .

' qu’on entende par ce produit celui de deux nombres , qui sont le nombre d’unités linéaiies contenues dans la base, et le nombre d'unités linéaires contenues dans la hauteur. -

Cette niesiire, d'ailleurs, n’est pas absolue, mais seulement relative; elle suppose qu’on évalué semblablement un autre rectangle en mesurant ses côtés par la même unité linéaire ; on obtient ainsi un second produit, et le rapport des deux produits est égal à celui des rectangles, conformément à la proposition qu’on vient de démontrer.

Par exemple, si la base du rectangle A est de trois unités et sa hauteur de dix , le rectangle sera représenté ' par le nombre 3 X lo, ou 3o, nombre qui ainsi isolé ne signifie rien ; mais si on a un second rectangle B dont la base soit de douze unités et la' hauteur de sept, le second rectangle sera représenté par le nombre 7 X la, ou 84 : de -là ou conclura que les deux rectangles A et B sont entre eux comme 3o est à 84 ; ' ' donc , si on convenait de prendre le rectangle A pour l’unité de mesure dans les surfaces , le rectangle B aurait alors pour mesure absolue * 4 , c’est-à-dire qu’il -'Serait égal à *4 d’unités superQciellès.

11 est plus ordinaire et plus simple de prendre le quarré pour l'unité de surface, et ou choisit le quarre dont le côté est l'anité de longueur; alors la mesure que nous avons regardée simplement comme relative J devient absolne : par exemple le nombre 3o, par lequel nous avons mesuré le rectangle A, représente 3o io«; unités superficielles , ou 3o de ces quarrés dont le côté est égal à l’unité : c’est ce que la fig. loa rend sensible.

Mvbb III. 6}'

On confond assez souvent en géométrie le produit de deux lignes avec leur rectangle, et cette exprès* sion a même passé en arithmétique pour désigner le produit de deux nombres inégaux, comme on emploie celle de ^«a/répour exprimer le produit d’un nombre multiplié par lui*mâme. ■

Les quarrés des nombres i , a , .3 , etc., sont i , 4,

9 , etc. Aussi voit-on que le quarré fait sur une ligne double est quadruple; sur une ligne triple , il est neuf 6g lois plus gran<| , et ainsi de suite. > .

' TRBORBHB.

L’aire d’un parallélogramme quelconque est

égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car le parallélogramme AIjCD est équivalent au ‘‘S rectangle ABEF , qui a même base Aü et même hauteur BE*; or celui-ci a pour mesure ABxBE^*, *'■ donc ABxBË est égal à l’aire du parallélogramme ABCD. - ,

Corollaire. Les parallélogrammes de inépie basé sont entre eux comme leurs hauteurs , et les parallélogrammes de même hauteur sont entre euit comme eurs basés; car A, B, C, étant trois grandeurs quelconques , on a généralement A X O : B X G : : A : B.

THBOABllB.

L’aire duri triangle est égale au produit de. sa base par la moitié de sa hauteur.

Car le triangle ABC est la moitié du parallélo- fg. gramme ABCE , qui a même base BC et même hauteur AD”: or, la surface du parallélogramme •»

G< io5.