PROBLÈME IV

Diviser la ligne donnée AB en deux parties, de manière que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et l’autre partie.

A l’extrémité B de la ligne AB élevez la perpendiculaire BC égale à la moitié de AB •, du point C

tIVREIII.

comme centre , et du rayou CB décrivez une circonférence, tirez AC, qui coupera la circonférence en ü« et prenez AF=AD; je dis que la ligne AB sera divisée au point F de la manière demandée, c’est-à-dire qu'on aura AB: AF :: AF:FB.

Car AB étant perpendiculaire à l’extrémité du rayon CB, est une tangente ; et si on prolonge AC jusqu’à ce qu’elle rencontre de nouveau la eirconférence en E , on aura * AE: AB AB: Aü; donc, dwidendo, AE * — AB:AB::AB — AD:AD. Mais, puisque le rayon BC est la moitié de AB, le diamètre DE est égal à AB, et par conséquent AE — AB=:AD=AF j on a aussi, à cause de AF=AD, AB — AD=FB; donc ^ AF:AB::FB:AD ou AF ; donc, im>ertendo , AB:AF :: AF:FB.

ücholie. Cette sorte de division de la ligne AB s’apjielle division en moyenne et extrême raison : on en verra des usages. On peut remarquer que la sécante AE est divisée en moyenne et extrême raison au point D; car, puisque AB=DE, on a AE;DE::