Livre ili

Problèmes relatifs au Livre II L'

PROBLânB PRBIIIBI.

Diviser une ligne droite donnée en tant de parties égales qu'on voudra , ou en parties pro- ^ portionneles à des lignes données.

i’ Soit proposé de diviser la ligne AB en cinq 6g. i 3 -, parties égales ; par l’extrémité A on mènera la droite indéfinie AG, et prenant AC d'une grandeur quel» conque , on portera AC cinq fois sur AG. On joindra le dernier point de division G et l'extrémité B par la ligne GB, puis on mènera Cl parallèle à GB ; je dis que AJ sera la cinquième partie de b ligne AB , et qu’ainsi en portant AI cinq fuis sur AB, b ligne AB sera divisée en cinq parties égales.

Car, puisque Cl est parallèle à GB, les c6tés AG,

AB, sont coupés proportionnellement en C et 1 *. Mais *

AC est b cinquième partie de AG ; donc Al est b cinquième partie de AB.

a° Soit proposé de diviser b ligne AB en parties 6g. i38. proportionnelles aux lignes données P, Q, R. Par l’extrémité A on tirera l’indéfinie AG, on prendra AC=P, CD = Q, DE = R, on joindra les extrémités E et B, et par les points C, D, on mènera CI, DK, parallèles à EB j je dis que b ligne .AB sera divisée en parties Al , IK, KB, proportionnelles aux lignes données P, Q, R.

Car, à cause des parallèles Cl, DK, EB, les paities Al, IK, KB, sont proportionnelles aux parties AC,

CD, DE et par construction celles «ci sont égales * tS. aux lignes données P, Q, R. <

VROBLillE 11.

Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données A , B| G. ^

Gg. i 3 <>

fig.Uo.

• ïî.

fig. 141.

Tirez les deux lignes indéfinies DE, DF, sous un angle quelconque. Sur DE prenez DA^ A et DB=B, sur DF prenez DC = C, joignez AC, et par le point B menez BX parallèle à AC ; je dis que DX sera la quatrième proportionnelle demandée : car, puisque BX est parallèle à AC, on a la proportion DA:DB;: DC:DX; or, les trois premiers termes de cette proportion sont égaux aux trois lignes données ; donc DX est la quatrième proportionnelle demandée.

Corollaire. On trouvera de même une troisième proportionnelle aux deux lignes données A, B, car elle sera la même que la quatrième proportionnelle aux trois lignes A, B, B.

PROB1.BMS III.

Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données A ef B.

Sur la ligne indéfinie DF prenez DE-r-.A, et EF=B; sur la ligne totale DF comme diamètre, décrivez la demi - circonférence DGF ; au point E élevez sur le diamètre la perpendiculaire EG, qui rencontre la circonférence en G J je dis que EG sera la moyenne proportionnelle cherchée.

Car la perpendiculaire GË, abaissée d'un point de la circonférence sur le diamètre , est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre DE, EF * : or, ces segments sont égaux aux lignes données A et B.