PROBLEME VI

Faire un quarré équivalent à un parallélogramme ou à un triangle donné.

fg. I4Î.

céOMÀTaia.

1° Soit ABCl) le parallélogramme donné, AB sa base, DE sa hauteur : entre AB et DE cherchez une ♦pr. î. moyenne proportionnelle XY*; je dis que le quarré fait sur XY sera équivalent au parallélogramme ABCD Car on a, par construction , AB:XY :: XY: DE ; donc

XY = AB X DE : or AB x DE est la mesure du parallélogramme, et XY celle du quairé, donc ils sont I équivalents.

r.g. 144. a" Soit ABC le triangle donné, BG sa base, AD sa hauteur : prenez une moyenne proportionnelle entre BC et la moitié de AD , et soit XY cette moyenne : je dis que le quarré fait sur XY sera équivalent au triangle ABC.

Car, puisqu’on a BC:XY .: XY : 7 AD, U en résulte XY=BC X rAD, donc le quarré fait sur XY est équivalent au triangle ABC.

PHOBLÂME VII.

fig. 145. Faire su/ la ligne donnée AD un rectangle ADEX équivalent au rectangle donné ABFG.

Cherchez une quatrième proportionnelle aux trois lignes AD, AB, AC, et soit AX cette quatrième proportionnelle, je dis que le rectangle fait sur AD et AX sera cquivalent au rectangle ABFC.

Car, puisqu'on a AD; AB AG: AX , il en résulte ADx AX = .ABx AC; donc le rectanglé APEX est , équivalent gu r^tangle ABKC. . ■ ‘ . •

P ko BLÈHB VIII. .

tg; ni.. Trouver eh lignes^ le rapport du rectangle des deux lignes données A ef B au rectangle des deux lignes données C et \).

Soit X urie quatrième proportionnelle aux trois * lignes B, C, Dj je d/s que le rapport des deux lignes

tlVR£ Ul. ÿy

A et K sera égal à celui des deux rectangles A X B ,

CxD.

Car, pubqu'on a B:C::D:X, il en résulte CxO = BxX; donc AxB;CxD:;AxB:BxX;:A:X.

Corollaire. Donc, pour avoir le rapport des quarrés faits sur les lignes données A et C , cherchez une troisième proportionnelle X aux lignes A et C, en sorte qu'on ait A:C::G:X, et vous aurez A’:C*.::

• PHOBLâMB IX. -

Trouver en lignes le rapport du produit des ug. trois lignes données A , B , C , au produit des trois lignes données P, Q, tt. ,

Aux trois lignes données P, A, B, cherchez une quatrième proportionnelle X : aux trois ligues don. nées C, Q, il, cherchez une quatrième proportionnelle Y. Les deux ligues X, Y, seront entre elles comiiie les produits AxBxC, PxQxH.

Car, puisqim P;A:;B:X , on a AxB = PxXi et, en multipliant de part et d’autre par C, AxB xC=CxPxX. D*e même, puisque G:Q::ll:Y,.

il en résulte Q X R=G X Y ; et , multipliant de part et d’autre par P , on a P x Q X IL=P X C x Y , donc le produit A X B X C est au produit P X Q X B comme CxPxX estàPxCxY,ou comme X est à Y.

PEOBLâME X.

Faire uri triangle équivalent à un polygone “ - donné «<«•

Soit ABCDE le polygone donné. Tirez d'abord la' diagonale CE , qui retranche le triangle GDEj pac le point D menez DE parallèle à CE fusqll'à la rencontre de AE prolongé';^ joignez CF , et le polygone ABCQE sera équivalent au polygone ABCF qui a un côté de moins. . * ..

lOO

CBOMÉTHIB.

Car les triangles CDE, CFE, ont la base commune' CE ; ils ont aussi même hauteur , puisque leurs som* mets D , F , sont situés sur une ligne DF parallèle à la base; donc ces triangles sont équivalents. Ajoutant de part et d'autre la figure ABCE , on aura d’un côté le polygone AUCDE, et de l’autre le polygone ABCF, qui seront équivalents.

On peut pareillement retrancher l’angle B en substituant au triangle ABC le triangle équivalent AGC, et ainsi le pentagone ABDE sera changé en un triangle équivalent GCF.

Le même procédé s’appliquera à toute autre figure; car en diminuant d’un à chaque fois le nombre des côtés , on finira par tomber sur le triangle équivalent.

Scholie. On a déjà vu que tout triangle peut être fi- changé en un quarré équivalent * , ainsi on trouvera toujours un quarré équivalent à une figure rectiligne donnée; c’est ce qu’on appelle quarrer la figure rectiligne, ou en trouver la quadrature.

Le problème de la quadrature du cercle consiste à trouver un quarré équivalent à un cercle dont le <liamètre est donné.