LE MM B

Deux circonférences concentriques étatit àonnées, on peut toujours inscrire dans laplus grande un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la plus petite y et on peut aussi circonscrire à laplus petite un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la grande ; de sorte que dans l’un et dans l’autre cas les côtés du ^Ijrgone décrit seront renfermés entre les deux circonférences.

Se t*\. Soient CA, CB , les rayons des deux circonférences données. Au point A menez la Ungente DE terminée à la grande circonference en U et E : inscrivez

LIVBB IV. Iiy

dans la grande circonférence l’un des polygones réguliers qu'on peut inscrire par les problèmes précédents, divisez ensuite les arcs soits-tendus par les côtés en deux parties égales , et menez les cordes des demi-arcs ; vous aurez un polygone régulier d’un nombre de côtés double. Continuez la bissection des arcs jusqu’à ce que vous parveniez à un arc plus petit que DBE. Soit MBN cet arc ( dont le milieu est siippo.sé en B); il est clair que la corde MN sera plus éloignée du centre que DE, et qu’ainsi le polygone régulier dont MN est le côté ne saurait rencontrer la circonférence dont CA est le rayon.

Les mêmes choses étant posées, joignez CM et CN qui rencontrent la tangente DE en P et Q; PQ sera le côté d’un polygone circonscrit à la petite circonfé- . rence, semblable au polygone inscrit dans la grande, dont le côté est MN. Or il est clair que le polygone circonscrit qui a pour côté PQ, ne saurait rencontrer la grande circonférence, puisque CP est moindre que CM.

Donc , par la même construction , on peut décrire un polygone régulier inscrit dans la grande circon-' férence, et un polygone semblable circonscrit à la petite, lesquels auront leurs côtés compris entre les deux circonférences.

.Scholie. Si on a deux secteurs concentriques FCG, ICH, on pourra de même inscrire dans le plus grand , une portion de polygone régulier, ou circonscrire au plus petit une portion de polygone semblable, de sorte que les contours des deux polygones soient compris entre les deux circonférences : il suffira de diviser l’arc FBG successivement en 2, 4 ^ 8 , 16, etc., partie^ égales, jusqu’à ce qu'on parvienne à une partie plus petite que DBE.

Nous appelons ici portion de polygone régulier la figure terminée par une suite de cordes égales inscrites

Il8 * GÉOMBTBIE.

dans l'arc FG d’une extrémité à l’autre. Cette portion a les propriétés principales des polygones réguliers, elle a les angles égaux et les côtés égaux , elle est à la fois inscriptible et circonscriptible au cercle; cependant elle ne ferait partie d’un polygone régulier proprement dit, qu’autant que l’arc sous-tendu par un'" de ses côtés serait une partie aliquote de la circonférence".

... . THéo BBMB. s

Les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons', et leurs suif aces comme les quarrés des rayons.

t|. itfs. Désignons, pour abréger, par eirc. C.\ la circonférence qui a pour rayon CA; je dis qu’on aura , f/rc. CA :c/re. OB :: CA : OB.

Car, St cette proportion n’a pas lieu, CA sera à OB comme cire. CA est à un quatrième terme plus grand ou plus petit que este. OB : supposons-lc plus petit, et soit, s’il est possible, CA:OB;;wrr. CA: cire. OD.

Inscrivez dans la circonférence dont OB est le rayon un polygone régulier EFGKLE, dont, les côtés ne rencontrent point la circonférence dont OD est le

♦ ,o. rayon *; inscrivez un polygone semblable MNPTSM

dans la circonférence dont CA est le rayon.

^ Cela posé, puisque ces polygones sont semblables,

leurs périmètres MNPSM, EFGKE sont entre eux

• 8. comme les rayons CA , OB , des cercles circonscrits *,

et on aura MNPSM : EFGKE :: CA : OB ; mais, par hypothèse, CA : OB .: cire. CA : cire. OD; donc MNPSM : EFGKE :: cire. CA ; cire. OD. Or, cette proportion est impossible, car le contour MNPSM est moindre que cire, CA *, et au contraire EFGKE