LIVRE IV. IIJ

e«t plus gi-aml que cire. OD; donc il est impossible ■ ' que GA soit à OB comme cûv. CA est à luie circonférence plus petite que cire. OB, ou, en ternies plus généraux, il est impossible qu’un rayon soit à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite que la circonférence décrite du second rayon.

De là je conclus qu’on ne peut avoir non plus, GA est à OB comme cire. CA est à une circonférence plus grande que cire. OB ; car si ccla était, on aurait, en renversant les ^rapports : OB est à CA comme une circonférence plus grande que cire. OB est à cire. CA, ou , ce qui est la même chose , comme cire. OB est A une circonférence plus petite que cire, CA; donc un rayon serait à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite que la circonférence décrite du second rayon, ce qui a été démontré impossible.

Puisque le quatrième terme de la proportion CA:

OB::«rc. CA:X ne peut être ni plus petit ni plus grand que cite. OB, il faut qu’il soit égal à circ. OB; -.«• , donc les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons. - '

Un raisonnement et une construction entièrement semblables serviront à démontrer que les surfaces des cercles sont comme les quarrés de leurs rayons.

Nous n’entrerons pas tians d'autres détails sur cette proposition , qui d'ailleurs est un corollaire de la suivante.

Corollaire. Les arcs semblables AB , DE , sont 6g. t«6. comme leurs rayons AC, DO, et les secteurs semblables ACB , DOE , sont comme les quai rés de ces mêmes . ..

rayons. »

Car, puisque les arcs sont semblables, l’angle C est égal à l’angle O*; or l'angle C est à quatre angles • iH.3, droits comme l’arc AB est à la circonférence entière .

laO, ' ' CKOMBTKIK.

* * 7 * a* décrite du rayon AC *, et l'angle O est à quatre angles droits comme l’arc DE est à la circonférence décrité du rayon OD; donc les arcs AB, DE, sont entre eux comme les circonféiences dont ils font partie : ces cir*^ conférences sont comme les rayons AC, DO, donc arc AB : arc DE : : AC : DO.

Par la même raison les secteurs ACB, DOE, sont comme les cercles entiers , ceux-ci sont comme les quarrés des rayons ; donc sect. ACB : sect. DOE :

Âc‘:DO.

PROPOSITION Xll.

THKORBMB.

Vcùre du cercle est égale au produit de sa circonférence par^la moitié du rayon.- , .* î-c Désignons par surf. CA la surface du cercle dont le rayon est CA; je dis qu’on aura stuj. CA=7CAx . «TC. CA. '

*s- *78 Car si 7 CA X cùc. CA n’ést pas l’aire du cercle dont ' GA est le rayon, cette quantité sera la mesure d'un cercle plus grand ou plus petit. Supposons d’abord, qu’elle est la mesure d’un cercle plus grand, et soit, s’il est possible, 7 CA x cire. Ck=sur/. CB. " ' Au cercle dont le rayon est CA circonscrivez un polygone régulier DEFG, etc. , dont les côtés ne ren- * 10. contrent pas la circonférence qui a CB pour rayon*;

]a surface de ce polygone sera égale à son contour •>’7* DE -H EF -f- FG -h etc. multiplié par^AC’tmais le contour du polygone est plus grand que la circon-' férence inscrite, puisqu’il l'enveloppe de toutes parts ; donc la surface du polygone DEFG, 'etc., est plus grande que AC X cire. AC , qui, par hypothèse , est la ' mesure du cercle dont CB est le rayon ; donc le poly- • gone serait plus grand que le cercle. Or au contrairey, 1

LtVmE IV.

lai

U e«t plus petit , puisqu’il y est contenu j donc il est impossible que CA X cire. CA soit plus grand que surf. CA, ou, en d'autres termes, il est impossible que la circonférence d’un cercle midtipliée par la moitié de son rayon soit la mesure d’un cercle plus grand.

Je dis en second lieu que le même produit ne peut être la mesure d’uii cercle plus petit; et, pour ne pas changer de figure, je supposerai qu’il s’agit du cercle dont CB est le rayon ; il faut donc prouver que { CB X cire. CB ne peut être la mesure d’un cercle plus petit, par exemple, du cercle dont le rayon est CA- En effet, soit, s’il est possible, ^CBxciirc. CB =:= sur/. CA.

Ayant fait la même construction que ci-dessus, la surface du polygone DEFG , etc. y aura pour mesure (DE -h EF -f- FG -4- etc.) X -;CA; mais le contour DE + EF FG + etc., est moindre que cire. CB qui l’enveloppe de toutes parts; donc l'aire, du polygone est moindre que 7 CA X c/rc. CB , et à plus forte raison moindre que 7 CB x cire. CB. Cette derniere • quantité est, par hypothèse, la mesure du cercle dont CA est le rayon ; donc le polygone serait moindre ^ que le cercle inscrit, ce qui est absurde; donc il est impossible que la circonférence d'un cercle, multipliée par la moitié de son rayon , soit la mesure d’un cercle plus petit.

Donc enfin la circonférence d’un cercle multipliée par lu moitié de son rayon est la mesure de ce même • cercle.

Corollaire 1 . La surface d'un secteur est égale à l'arc fîg. iM. de ce secteur multiplié par la moitié du rayon.

Car le secteur ACB est au cercle entier comme l’arc A 3 IB est à la circonférence entière .ABD”, ou *17,1. comme AMBxiAG est à ABDX7AC. Mais le cercle enlier=ABD X 7AC; donc le secteur ACB a pour mestu-e AMBX7 AC. '

Bg. <65.

* pr. 6, Jir. 3^

tay CKOMBfKtK.

< -Corollaire il. Appelons la circônlerence dont te diamètre est lunité; puisque les circonfërencM sofi comme tes rayons ou comme les diamètres, on pourra faire cette proportion : le diamètre i est à sa ciccbnf» rence « comme le diamètre aCA est à la circonfé* renee qui a pour rayon CA; de sorte qu’on aura . I aCA : cm. GA; donc cire. GA = a tr X GA.

AfuUipliant de part et d’autre par { CA, on aura

7CA X cire. CA = ff X CA, ou sur/. C\ = v. CA; donc la surface d'un cercle est égale au produit du quarrè de son rayon par le nombre constant tz, qui représente la circonférence dont le diamètre est i ou le rapport de la circonférence au diamètre.

' Pa rcillement la .surface du cercle qui a pour rayon

OB sera égale à X OB ; or x x CA : n X OB : ;

CA : OB ; donc Tes surjaces des cercles sont entre elles Comme les quarrès de leurs rayons , ce qui s'accorde avec le théorie précédent,

SehoUe. Nous avons déjà dit que le problème delà quadrature du cercle consiste àtronver un quarré égal en surface à un cercle dont le rayon est connu ; or ôn vient de prouver que le cercle est équivalent au rectangle fait sur la circonférence et la moitié du rayon , et ce rectangle se change en qnarré en prenant une moyenne proportionnelle entre ses deux dimensions*: ain.si le problème de la quadrature du cercle se réduit à trouver la circonférence quand on connaît le rayon , et pour cela il suffit de connaître le rapport do la circonférence au rayon ou au diamètre.

Jusqu’à présent on n’a pu déterminer ce rapport que d'une manière .'approchée; mais l’approximation a été poussée si loin, que la connaissance du rapport exact n’aurait aucun avantage réel sur celle du rapport approché. Aussi cette question , qui a beaucoup occupé les géomètres lorsque les méthodes d’approxi-

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