LIVRE VI. l8g

des prismes intérieurs de la pyramide talc est plug petite que cette pyramide; donc par ces deux raisons la différence entre les deux sommes de prismes devra être 'plus grande que la différence entre les deux . pyramides. • ,

Or à partir des bases ABC,<réc, le second prisme extérieur DEFG est équivalent au premier prisme - .

intérieur puisque leurs bases DEF, def^ sont

équivalentes et qu’ils ont une même hauteur A' sont équivalents par la même raison le troisième prisme extérieur GHIK et le second intérieur gftid, le qua- . ^

trième extérieur et le troisième intérieur, ainsf de • ' . suite jusqu’au dernier des uns et des autres. Donc tous les prismes extérieurs de la pyramide SABC, à •

l'exception du premier ABCD, ont leurs équivalents . ■

dans les prismes intérieurs de la pyramide Donc " .

le prisme ABCD est la différence entre la somme des .

prismes extérieurs de la pyramide S.\BC et la somme des prismes intérieurs de la pyramide saie; mais la différence de ces deux sommes est plus grande que la différence des deux pyramides; donc il faudrait que le prisme ABCD fût plus gran<i que le prisme ABCX; or au contraire il est plus petit, puisqu’ils ont une même base .ABC, et que la hauteur X' du premier est moindre que la hauteur hx du second.

Donc l’hypothèse d’où l’oii est parti ne saurait avojr ’ lieu; donc les deux pyramides SABC, saie, de bases équivalentes et de hauteurs égales, sont équivalentes. '

PBOPOSITION XVIII. - '

THBORêME.' 'v'!

Toute pyramide triangulaire est le tiers du ' . ' ■ ■ prisme triangulaire de même base et de même ■ hauteur.

Soit SABC une pyramide triangulaire, ABCDES un fi«.

l86 fiBOHBTRIB. , '

prisme Iriangulaire de même base et de même batUeur,^je'dis que la pyramide est le tiers du prisme.

, Heirancliez du prisme la pyramide SABC, il restera le solide SACUj£, qu’on peut considérer comme une : pyramide quailrangulaire tloiil le sommet est S et qui a pour base le parallélograniiiie ACUE; tirez la diago-' iialeCE et conduisez le plan t»CE qui partagera la py*v,' ramidequadrangulaireendenxpyramidestriangulabes SAÇE SDCE. Ces deux pyramides ont pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée du sommet S sur le plan ACÜE ; elles ont des bases égales, puisque les triangles ACE, DCE, sont les deux moitiés du même parallélogramme; donc les 'deux pyramides SACE., SDCE, sont équivalentes entre elles ; mais la pyramide > SDCE et la pyramide SABC ont des bases égales ABC , DES pelles ont aussi même hauteur^ car cette hauteur • est la distance des' ]dans parallèles ABC, DES. Donc (es deux pyramides SABC, SDCE, sont équivalentes ; maison a démontré que la pyramide SDCE est équivalente à la pyramide SACE ; donc les trois pyramides SABC , SDCE, SACE, qui composent lu prisme ABD sont équivalentes entre elles. Donc la pyramide SABC est le tiers du prisme ABD qui a même base et même hauteur.

Corollaire. La solidité d'une pyramide triangulaire est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

' THÉomâlfB.

Toute pyramide SABCDE a pour mesure le tiers du produit de sa base ABCDE par sa hauteur A().

" Car eu faisant passer les plans SEB , SEC , par les

. ' ' tlT«K VI. - * l8^ . •

. tliagonalpA EB, F.C, on iliviseia la pyramide polygo» :

pale. SAB(iI)F. en plusieurs pyramide* triangulaires - '

qui auront toutes la même hauteur SO. Mais |»ar le théorème prérédent rhacune de res pyramide» se ' > t

mesure en multipliant chacune des bases ABE^, BCE., . '

(iOE, » par le tiers de sa hauteur SO; donc la somme lies pyramides triangulaires, ou la pyramide polygonale .SABliDK, aura pour mesure la somme des tri- , •

angles ABE, 'BCE, GDK , ou le polygone ABCDK, multiplié pàr^SO; dom; toute pyramide a pour mesure le tiers du pro<luit de sa base par sa hauteur. ■ '

Corollaire I. Toute pyramide est le tiers du prisme •

' de même base et <le même hauteur.

Corollaire Jl. Deux pyramides do même hauteur sont entre elles comme leurs bases , et deux pyramides de même base sont entre elles comnie leurs hauteurs. ' * . • ^ :

Seholie, Op peut évaluer la solidité de tout corps' ' polyèdre en le décomposant en pyramides, et cette décomposition peut se taire <le plusieurs manières; une des plus simples est de faire passer les plans de division par le sommet d’un même angle solide ; alors • -

on aura autant de pyramides partielles qu'il y a de faces tlaiis le polyèdre , excepté celles .qui forment l’angle solide d’où partent les plans de division. .

Deux polyèdres symétriques sont 'équivalents ■ entre eux ou égaux en solidité. , y- - -

Car 1“ deux pyramides triangulaires symétriques, fig. im. telles que SABC, TABC, ont pour mesure commune . ,

Digitize^ Cioo<;k

l88 ' CBOMBTBIS.

le produit de la base ABC par le tiers de la hauteur SO on TO; donc ces pyramides sont équivalentes entre elles.

a° Si on partage d'une manière quelconque l'un des polyètlres symétriques en pyramides triangulaires, on pourra partager de même l'autre polyèdre en pyramides trian^daires symétriques ; or les pyramides triangulaires symétriques sont équivalentes chacune à chacune ; donc les polyèdres entiers seront équivalents entre eux ou égaux en solidité.

Scholie. Cette proposition semblait résulter immédiatement de la proposition II , où l'on a fait voir que dans deux polyèdres symétriques, toutes les parties constituantes d'un solide sont égales aux parties constituantes de l’autre; mais il n'en était pas moins nécessaire de la démontrer d’une manière rigoureuse.