V a E VI

côté est 3 , la solidité sera 3 X 3 X 3 , ou 27, et ainsi de suite; ainsi les côtés des cubes étantconirae les nombres 1,2, 3, etc., les cubes eux-mêmes ou leurs solidités sont comme les nombres i, 8, 27, etc. De là vient qu'on appelle en arithmétique cuie d’un nombre le produit qui résulte de trois facteurs égaux à ce nombre. >

Si on proposait de faire un cube double d’un cubg donné, il faudrait que le côté du cube cherché fût au côté do cube donné comme la racine cube de 2 est à l’unité. Or on trouve facilement, par une construction géométrique, la racine quarrée de a; mais on ne peut pas trouver de même sa racine cube, du moins par les simples opérations de la géométrie élémentaire , lesquelles consistent à n’employer que des lignes droites dont on connaît deux points, et des cercles dont les centres et les rayons sont déterminés A raison de cette dilHiculté le problème de la duplication du cube a été célèbre parmi les anciens géomètres, comme celui de la trisection de Pangle\ qui est à-peu-près du même ordre. Mais on connaît depuis long -temps les solutions dont ces sortes de problèmes sont susceptibles , lesquelles , quoique moins simples que les constructions de la géométrie élémentaire, ne sont cependant ni moins exactes» ni moins rigoureuses. .

THÉOHÊMB. .

La solidité d’un paràllélipipède , et en gé.

nèral la solidité d’un prisme quelconque , est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car 1° un parallélipipède quelconque est équivalent à un parallélipipède rectangle de même hauteur et de base équivalente*. Or la solidité de celui-ci est

"iSî • GÉOMéTIlIE.''.

égale !l sa base multipliée par sa hatitenr; donc la soirdité du premier est pareillement égale au produit de sa base par .sa hauteur.

2 " Tout prisme trianguhûre est la moitié du parai* élij)ip<'de « onstruit de manière ^u’il ait la même hau^ teur et une base double*. Or la solidité de celui-ci est égale à sa base mukipliée ]>ar sa hauteur; donc <-elle du prisme triangidaire est égale au produit de sa liasé,moitié de celle du parallélipipède, multipliée par sa. hauteur. - v

■■"3” Un prisme ({Uelconque peut être partagé en autant de prismes triangidaires de même hauteur qu’on ' ■ peut former de triangles <laus le polygone qui lui sert ' de hase. Mais la solidité de chaque prisme triangulairo est égale à sa base multipliée par sa hauteur; et puisque la hauteur est la même potir tous, il s’ensuit que la somme de tous les prismes partiels sera égale à la somme de tous les triangles qui leur servent de bases, multipliée par la hauteur commune. Donc In solidité d’tm prisme polygonal quelconque est égale au pro-dnil de sa.ba.se par sa hauteur.

• Corollaire. Si on compare deux prismes qui ont n ème hauteur, les produits des bases par les hauteun) seront comme les bases; donc deux prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs 'bàses ; par une raison semblable , deux prismes de même base sont entre eux eomtne leurs hauteurs.

LE K MB.

Si une pyramide SABCDE est coupée par un plan Sihtï parallèle à sa hase y

1 ° Les côtés S A , SB, .SC, ....et la hauteur SO, seront divisés propàitionnellement en Ay b,c,.. Cf O J 2° La section abede sera un polygone semblable à lu hase

MVRB VI. '

« Car I** le» plans ABC, ahe, étant pai’allèles, leurs intefsection.s AB, ah, par un troisième^ plan SAB, ■feront parallèles*; donc les triangles SAB, SnA, sont semblables, et on a la proportion SA ; S« SB : S^; on aurait de même -SB : SA :: S(< : Sc,. et ainsi de suite. Donc tous les <‘6tés SA, SB, SC, etc., sont coupés proportionnellement en a. A, c, «te. La hauteur SO est coupée dans la luéroe proportion au point Oj car BO et Ao sont parallèles, et ainsi on a SO ; So : : SB : SA.

a» Puisque oA est parallèle à AB, bc i BG, cd h CD, etc., l’angle flAc = ABC, l’angle Ac</ = BCD, et ainsi de suite. De plus, à cause des triangles semblables SAB, Sfib, ou a AB : oA :: SB : SA; et à cause des triangles semblables SBC, SAc, ou a SB ; SA : ; BC ; bc; donc AB : ab :: BC : bc; on aurait de même BC : bc :: CD : cd, et ainsi de suite. Donc les polygones ABCDE, abede, ont les angles égaux cliacun'à chacun et les ■ côtés homologues pro{>ortionnels ; donc ils sont semblables.

Corollaife. Soient SABCDE, SX.YZ, deux pyramides dont le sommet est commtiii, et qui ont même hauteur, ôu dont les bases .sont situées dans un même plan; si on coupe ces pyramides par Un même plan parallèle au plan des bases , et qu’il en résulte les sections nbede, xjz; je dis que les sections abede, xy 2 , seront entre elles comme les bases ABCDE , XYZ.

Car les polygones ABCDE, abede, étant semblables, ’• leurs surfaces sont comme les quarrés des côtés homologues AB , ab ; mais AB : ab :: SA : Sa ; donc

ABCDE : abede :: SA .' Sa. Par la même raison, XYZ , — » ' ' > , xyz : : SX : Sx. Hlais puisque abcxyz n’est qu’un

même plan, on a aussi SA : Sa :: SX : Sx; donc ABCDE : abede : : XYZ : xyz; donc les sections abede f .

l84. GBOUBTRIB.

sont entre elles comme les bases ABCDE» XYZ.

Donc si les bases ABCDE, XYZ sontéquiTalenteSj les sections faites à égale hauteur sont pareillement équivalentes. ,

PROPOSITION XVIL

, TBBOBânB.

Deux pyramides triangulaires qui ont des bases, équivalentes et des hauteurs égales, sont équivalentes. . .

aiS. Soient S ABC, sabc les deux pyramides dont les bases ABC, abc, que nous supposons placées sur un même plan, sont équivalentes et qui ont même hau- ' teur TA ; si ces pyramides ne sont pas équivalentes, •soitsabc la plus petite et soit Ax la hauteur d'un prisme qui étant construit sur la base ABC, serait égal à leur différence.

Divisez la hauteur conuiuuie AT en parties égales plus petites que Ax , et soit k une de ces parties ; par les pointé de division de la hauteur, faites passer des plans parallèles au plan des bases; les sections faites, par chacun de ces plans dans lesdeux pyramides, seront i6. équivalentes*, telles que DEF et def, GHI et ghi, etc. Cela posé, sur les triangles ABC, DEF, GHI,* etc., pris pour bases, construisez des prismes extérieurs qui aient pour arêtes les parties AD, DG, GK, etc. du côté SA; de même sur les triangles def, ghi, khn, etcpris pour bases , construisez dans la seconde pyramide des prismes intérieurs qui aient pour arêtes les parties correspondantes du côté sa; tous ces prismes partiels auront pour hauteur commune k.

La somme des prismes extérieurs de la. pyramide SABC est plus grande que cette pyramide, la somme