III. n sera démontré * que toute section de la P

sphère, faite par un plan , est un cercle : cela pose, ' '

on appelle grand cercle la section qui passe par le centre, petit cercle celle qui n’y passe pas.

rV. Un plan est tangent à la sphère lorsqu’il n’a qu’un point commun avec sa surface.

V. Le pôle eCun cercle de la sphère est un point . de la surface également éloigné de tous les points de la circonférence de ce cercle. On fera voir* que tout ’ pr- ® cercle, grand ou petit, a toujours deux pôles.

VJ. Triangle sphérique est une partie de la surface de la sphère comprise par trois arcs de grands cercles.

toa CBOMiTBIB.

Ces arcs, qui s’appellent les côtes du triangle, Sont toujours supposés plus petits que la demi-circonférence. Les angles que leurs plans font entre eux sont ^es angles du triangle.

VII. Un triangle sphérique prepd le nom de rectangle, isoscèle , équilatéral, dans les mêmes cas qu’un triangle rectiligne.

VIII. Polygone sphérique est une. partie de la surface de la sphère terminée par plusieurs arcs de grands cercles.

IX. Fuseau est la partie de la surface de la sphère comprise entre deux demi-grands cercles qui se terminent à un diamètre commun.

-X. J'appellerai coin ou onglet sphérique la partie du solide de la sphère comprise entre les mêmes demigrands cercles, et ê laquelle le fuseau sert de base. '

XL Pyramide sphérique est la partie du solide de la sphère comprise entre les plans d’un angle solide dont le sommet est au centre. La base de la pyramide est le polygone sphérique intercepté par les mêmes plans. 's ' ‘

XII. On appelle zone la partie de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles qui en sont les bases. L’un de ces plans pent être tangent à la sphère , alors la zone n’a qu’une base.

XIII. Segment sphérique est la portion du solide de la sphère comprise entre deux plans parallèles qui en sont les hases.

L’tiii dé ces plans peut être tangent à la sphère, alors le segment sphérique n’a qu’une base.

XIV. Ln hauteur d'une zone où dun segment est la distance des deux plans parallèles qui sont les bases de la zone ou du segment.

. XV. Tandis que le demi-cercle DAE tournant- autour du diamètre DE ^décrit la sphère, tout secteur

Digilized by Goôgle

. iiiya'i vti. aoî.

circulaire, oomioe DGF. ou FCH, décrit un sglid^ qu’on appelle secteur sphérique. . ^

PROPOSITION PREMIERE

TRiOBÉHE.

Toute section de la sphère, faite par un plan, est un cercle. ■ ‘ .

Soit AMB la section faite par un plan dans la sphère ’

dont le centre est C. Du point G menez la perpendi. eulaire CO sur le plan AM H, et différentes lignes CM,

CM , à différents points déjà courbe AMB qui termine la section.

Les obliques CM , CM , CB , sont égales , puisqu'elles sont des rayons de la sphère , elles sont donc également éloignées de la perpendiculaire CO* ; donc toutes les lignes OM, OM , OB, sont égales; donc la section AMB est un cercle dont le point O est le centre.

Corollaire I. Si la section passe par le centre de la sphère , son rayon sera le rayon de la sphère ; donc tous les grands cercles sont égaux entre eux.

il. Deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales; car leur intersection commune, passant par le. centre, est un diamètre.

111. Tout grand cercle divise la sphère et Sa sui'face en deux parties égales; car si, après avoir séparé les - . •

deux hémisphères , on les applique sur la base commune en tournant leur convexité du même cAté les deux surfaces coïncideront l’une avec l'autre , sans qnoi il y aurait des points plus près du centre les uns que les autres. ' , ‘

-* IV. Lé centre d’un petit cercle et celui de la. sphère 6«.' *»'• sont sur une même droite perpendictüaire au plan du petit cercle. , ‘ ,1

V, ht» petits cercles sont d’autant plus petits qu’ils ^ •

' ao4 oitfMBTRIB.

sont plus éloignés du centre de la sphère ; caf plus la distance CO est grande, plus est petite la corde AB,

' diamètre du petit cercle AMB. • • '

' ' VI. Par deux points donnés sur la surface d’une

■ • ' sphère, on peut faire passer un arc de grand cercle; car les deux points donnés et le centre de la sphère sont trois points qui déterminent la position d'un plan Si cependant les deux points donnés étaient aux ex- ■ trémités d’un diamètre, alors ces deux points et le ' centre seraient en ligne droite, et il y aurait une infinité de grands cercles qui pourraient passer par les deux points donnés.

' THBOtfâME.

Sg. ssi. Dans tout triangle sphérique ABC , un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres. • •

Soit O le centre de la sphère , et soient menés les rayons OA , OB , OC. Si on imagine les plans AOB , AOC, COB, ces plans formeront au point O un angle solide, et les angles AOB, AOC, COB, auront pour mesure les côtés AB , AC , BC , du triangle sphérique ABC. Or , chacun des trois angles plans qui composent l’angle solide est moindre que la somme des deux *>i, f. autres*; donc un côté quelconque du triangle ABC est moindre que la somme des deux autres.

THÉORK ME.

. Le plus court chemin d’un point à un autre y

sur la surface de la sphère, est l’arc de grand . cercle qui joint les deux points donnés.

Gg. ia3. Soit ANB l’arc de grand cercle qui joint les points

E.1VHB Vil.- ao5 '

A et B , et soit hors de cet arc , s’il est possible , M un point de la ligne la plus courte entre A et D. Par le point M menez les arcs de grands cercles MA, MB, et prenez BN=MB.

Suivant le théorème précédent l’arc AN B est plus court que AM -4- MB; retranchant de pan et d’autre BN = BM, il restera AN < AM. Or, la distance, de B en M , soit qu'elle se confonde avec l’arc BM , ou qu’elle soit toute autre ligne, est égale à la distance de B et N ; car en faisant tourner le plan du grand cercle -

BM autour du diamètre qui passe par B , on peut ame» - ' * -,

ner le point M sur le point N , et alors la ligne la plus courte de M en B, quelle qu’elle soit, se confondra ‘ avec celle de N en B ; donc les deux chemins de A en B, l’un en passant par M, l’autre en passant par N» ont une partie égale de M en B et de N en B.-Le pre- - '

mier chemin est, par hypothèse, le plus court; donc la distance de A en M est plus courte que la distance de A en N, ce qui serait absurde, puisque l'arc AM est plus grand que AN ; donc aucun point de la ligne ' '

la plas courte entre A et B ne peut être hors de l’arc AN B'; doue cet arc est lui-méme la ligne la plus courte entre ses extrémités. . - :

THÉORâMB. . V .

La somme des trois côtés d’un triangle sphé~ ' ■ -

rique est moindre que la ■ circonférence d'un grand cercle.

Soit ABC un triangle sphérique quelconque ; pro* tg. ass. longez les côtés AB , AC , jusqu’à ce qu’ils se rencontrent de nouveau en D. Les arcs ABO, ACD, seront des demi^irconférences, puisque deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales*; mais dans • i. ' le triangle BCD on a le côté BG < BD -f- CD* ; ajoutant > a.

' âd6 ' cioHtiït&is.

■ de part et d’autre AB + AC J on aura AB+ AC -f- BC -• ■< ABD 4 - ACD , c’est-à-dire, plus petit qu’une circonférence. ' •

THÉOaâlCB.

La somme des côtés de tout polygone sphérique est moindre que la circonférence d'un grand cercle.

•ife' Soit, par exemple, le pentagone ABCDE : prolongez les côtés AB, DC, jusqu’à leur rencontre en F; puisque BG est plus petit que BF 4- CF , le contour du pentagone ABCDE est plus petit que celui du quadri-, latère AEDF. Prolongez de nouveau les côtés AE, FD, jusqu’à leur rencontre en G, on aura ED<EG 4 -GDj donc le contour tlu quadrilatère AEDF est plus petit que celui du triangle AFG ; celui-ci est plus petit que la cirConlérence d’un grand cercle ; donc a Joitiori le contour du polygone ABCDE est moindre que cette même circonférence.

Scfwlie. Celte proposition est au fond la méiiie qujB l laxxii‘^dulivrev;car, si O est le centre de la sphère, on peut imaginer au point O un angle solide founé par les angles plans AOB , BOC , COD, etc., et la somme de ces angles doit être plus petite que quatre angles droits , ce qui ne diffère pas de la proposition présente. La démonstration que nous venons de donner est différente de celle du livre v ; l’une et l’autre supposent que le polygone ABCDE est convexe, ou qu’aucun côté prolongé ne coupe la figure. .

PROPO.SITIGN VI.

T néoBtiME.

!.(■. i>o. on, mène le diamètre DE perpendiculaire . au plan du grand cercle AMH, les ertrémitéi

Ltv&k vit. %o>j .

ïi et 1c, de ce diamètre seront pôles du cerclé' AM B , et de tous les petits cercles , comme FT<G , ‘ qui lui sont parallèles.

Car DC étaÂit perpendiculaire au plan AMB, est perpendiculaire à toutes les droites CA, CM, CB, etc., menées par son pied dans ce plan ; donc tous les arcs DA, DM, DB, etc. , sont des quarts de circonféi-ence; il en est de même des arcs RA, EM, EB, etc. ; donc les points D et E sont chacun également éloignés de tous les points «le la circonférence AMB; donc ils sont les pôles- de ‘cette circonférence *.

En second lieu , le rayon DC , perpendiculaire au plan AMB, est perpendiculaire à son parallèle FNG; donc il passe par le centre O du cercle FNG>* ; dont si oTi tire les obliques DF , DN , DG , ces obliques s’écapteront également de la perpeniliculaire DO etseroul égales. Mais les cordes éuiit égales, les arcs sont égaux ; donc tous les arcs DF^ DNj DG i etc., son( égaux entre eux ; donc le point D est le pôle du petit cercle FNG , et par la même raison le point E est l’autre pôle.

Corollaire I. Tout arc DM mené d un point de l’arc de grand cercle AMB à son pôle est un quart de circonférence, que nous appellerons pour abréger un quadrtuts, ou un quadrant, et ce quadrant fait en nièmé temps un angle droit avec l’arc AM» Car la ligne DC. étant perpendiculaire âu plan AMC, tout plan ^ DMC qui passe par la ligne DC est perpen«liculaire au plan AMC *; donc l’angle de ces plans, ou, sviivant la •* déf. VI, l’angle AMD, est un angle droit.

II. Pour trouver le pôle d’un arc donné AM, meiie^ l’aie imléfiui MD perpendiculaire à AM, prenez MD égal à un quadrant, et le point D sera un des pôles de l’arc MD; ou bien menez aux deux points A et Mles arcs AD et MD perpendiculaires à AM , le point de concours D de ces «leux arcs sera le pôle deman«lé.

ao8' G^OMBTKIB.

HL Réciproquement, si la distance du point D à chacun des points A et M est égale à un quadrant, je dis que le point D sera le pôle de l’arc AM, et qu’en même temps les angles DAM , AMD , seront droits.

Car soitC le centre de la sphère, et soient menes les rayons CA, CD, CM: puisque les angles ACD, MCD» sont droits, la ligne CD est perpendiculaire aux deux droites CA , CM ; donc elle est perpendiculaire à leur plan ; donc le point D est le pôle de l’arc AM ; et par suite les angles DAM., AMD, sont droits.

Scholie. Les propriétés des pôles permettent de tra-' cer sur la surface de la sphère des arcs de cercle avec . , la mêhic facilité que sur une surface plane. On voit par exemple, qu’en faisant tourner l’arc DF ou toute autre ligne de même intervalle autour du point D, l’extrémité F décrira le petit cercle FNG} et si on fait tourner le quadrant DF A autour du point D , l’extrémité A décrira l'arc de grand cercle AM.

S’il faut prolonger l’arc AM, ou si on ne donne que les points A et M p>ar lesquels cet arc doit passer, on déterminera d’abord le pôle D par l’intersection de deux arcs décrits des points A et M comme centres avec un intervalle égal au quadrant. Le pôle D étant ' trouvé, on décrira du point D, comme centre. et avec . le même intervalle, l’arc AM et son prolongement.

Enfin , s’il faut du point donné P abaisser, un arc perpendict laire sur l’arc donné AM, on prolongera celui-ci en S jusqu’à ce que l’intervalle PS soit égal à ' un quadrant; ensuite du pôle S et du même intervalle on décrira l’arc PM, qui sera l’arc perpendiculaire de- . mandé. . » . . ' .

fclVHB' VII. aop

' proposition VII.

• TBÉORÊMB.

Tout plan perpendiculaire à V extrémité d'un rayon est tangent à la sphère.

Soit FA6 un plan perpendiculaire à l'extrémité du Kg. un. rayon OA; si on prend un point quelconque M sur Ce plan , et qu’on joigne OM et AM , l’angle OAM ser» droit, et ainsi la distance OM sera plus grande que OA. Le point M est donc hors de la sphère ; et, comme il en est de même de tout autre point dü plan FAGj il s’ensuit que ce plan n’a que le seul point A com* ’ . ‘ ’ raun avec la surface de la sphère ; donc il est tangent à cette surface *. , •dtf.i.

Scholie. On peut prouver de même que deux sphères n’ont qu’un point commun, et 'sont par conséquent tangentes l’une à l’autre : lorsque la distance de leurs centres est égale à la somme ou à la différence de leurs rayons, alors' les centres et le point de contact sont en ligne droite.

V , ; t'hBORÊHB. . .

L’angle BAC que font entre eux deux arcs de «g. m6. grands cercles AB , AC , est égal à l’angle FAG’, formé par. les tangentes de ces arcs au point À : il a aussi pour mesure /’arc DE, décrit du point ;

A comme pôle entre les côtés AB, AC y prolongés • - .

s’il est nécessaire. * . . <

Car. la tangente AF, menée dans le plan de l’arc ... . ' AB, est perpendiculaire au rayon AO; la tangente AG, menée dans le plan de l’arc AC, est perpendiculaire au meme rayon AO. Donc l’angle FAG est

**îl l

Kg; «SS.