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égal à l’angle dea plans OAB, OAC*, qiii est celui des.

arcs AB , AC , et qui se désigne par BAC.

. Pareillement, si l’arc AD est égal , à un quadrant, ainsi que AE, les lignes OD, OE, seront perpendicu* lairet k AO, et l'angle DOE sera encore é^l à l’angle des plans AOD, AOE ; donc l’arc DE est U mesure de l’angle de ces plans, ou la mesure de l’angle GA£.

. Corollaire. Les angles des triangles sphériques peuvent se comparer entre eux par les arcs de grands cercles décrits de leurs sommets comme pôles et compris ebtre leurs côtés : ainsi il est facile de faire un angle égal à un angle donné. ,*. • *

Scholie. Les angles opposés au sommet, tels que ACO et BCN, sont égaux ; car l’un ou l’autre est toujours l’angle formé par les deux plans ACB , OCN* . .

On voit aussi que dans la rencontre de deux arcs ACB, OCN, les deux angles adjacents ACO, OCBy pris ensemble, valent toujours deux angles droits.

THSOaâlIE.

Etant donné le triangle ABC, si des points A , B, C , comme pôles, on 'décrit les arcs EF , FD , DE , qui forment le triangle DEF ; réciproquement les trois points D , E , F , seront les pôles des côtés BC, AC , AB.

Car le point A éunt le pôle de l'arc EF , là distance AF. est un quadrant ; le point C étant lè pôle de l’arc DE, la distance CE est pareillement un quadrant; ' donc le point E est éloigné d’un quadrant de chacun des points A et C ; donc il est le pôle de l’arc AC On démonùera de même que D est le pôle de l’arc BC , et F celui de l’arc AB. . '

Corollaire. Donc le triangle ABC peut être décrit par le moyeu de DEF , comme DEF par le moyen de ' ABC.

ttVHl! Vil. - ■ ( 911

... / * THBOBBMB.

Lçs mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, chaque angle de l'un des triangles ABC, DEF, aura pour mesure la denïi- 6 g. wj. circonférence moins le côté opposé dans l'autre triangle

Soient prolongés, s’il est nécessaire, les côtés AB,

AC, jusqu’à la rencontre de EF èn G et Hj puisque le point A est le pôle de l’arc GH , l’angle A aura pouf mesure l’arc GH. Mais l’arc EH est un quadrant ‘ ainsi que GF , puisque E est le pôle de AH , et F le . ;

pôle de AG ; donc EH-J-GF vaut une demi -circonférence. Oi' EH -f- GF est la môme chose que EF -f- GH ; <lonc l’arc GH qui mesure l’angle A est égal a une demi-circonférence moins le côté EF ; de même l’angle B aura pour mesure 7 c«rc.~ DF et l’angle G,

\oirc. — DE.

Cette propriété doit être réciproque entre les deux triangles, puisqu’ils se décrivent de la même manière l’un par lé moyen de l’autre. Ainsi on trouvera que les angles D, E, F, du triangle DEF, ont pour mersures respectivement 7 cire. — BC , ^ cire. — AC, • ciiv,

— AB. En effet l’angle D, par exemple, a pour mesure l’arc MI ; or MI -f- BC = MC -hBI = 7 cire. : donc l’arc MI , mesure de l’angle D , = 7 cire. — BC, ét ainsi des autres. ' '

Scholie. Il faut remarqüer qu’outre le triangle DEF Sg. 1*8. on en pourrait former trois autres par l’intersection des trois arcs DE, EF, DF. Mais la proposition actuelle n’a lieu que pour le triangle central, qui est .

distingué des trois autres en ce que les deux angles A ■. et D sont situés d’un môme côté de BC les deux B Cg.ss?*

ai> GBOMSTRIB.

et E d’un même côté de AC, et les deux C et F d’un môme côté de AB.

■ On donne différents noms aux deux triangles ABC, DEF ; nous les appellerons triangles polaires.

BEMM E.

Etant donné le triangle ABC, si du pôle A et de V intervalle AC on décrit l’arc de petit cercle I)EC ; si du pôle B et dé V intervalle BG on décrit pareillement l’arc DFC , et que du point D , ou les arcs DEC, DFC, se coupent, on mène les arcs de grands cercles AD, l^B ; je dis que le triangle ADB ainsi formé aura ses parties égales à celles du triangle ACB.

Car par construction le côté AD=AC, DB = BC,

AB est commun ; donc ces deux triangles ont les côtés égaux chacun à chacun. Je dis maintenant que les ongle.s opposés aux côtés égaux sont égaux. • ■

' F.n effet, si le centre de la sphère est supposé -en - . O, ’on peut concevoir un angle solide formé au point O par les trois angles plans AOB, AOC, BOC ; on peut concevoir de même un second angle solide formé oar les trois angles plans AOB, AOD, BOD. El puisque les côtés du triangle ABC sont égaux à ceux du triangle ADB, il s’ensuit que les angles plans qui forment un de ces angles solides sont égaux aux angles plans qui forment l’autre angle solide^ chacun à ' s3, chacun : mais dans ce cas il a été démontré '* que les.

. - plans dans lesquels sont les angles égaux sont égale-

.ment inclinés entre eux ^ donc les angles du triangle sphérique DAB sont égaux à ceux du triangle CAB, savoir DAB=BAC, DBA=ABC, et ADB=ACBj donc les côtés et les angles du triangle ADB sont égaux aux côtés et aux angles du triangle ACB,