LES POLYÈDRES RÉGULIERS

PROPOSITION PREMIÈRE

THBORâHB.

Jt ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers.

Car on a défini polyètlres réguliers ceux dont toutes les faces sont des polygones réguliers ^aux , et dont tous les angles solides sont égaux entre eux. Ces conditions ne peuyent ayoir lieu que dans un petit nombre de cas.

x* Si les faces sont des triangles équilatéraux , ort peut ' former cbaqne angle solide du polyèdre avec trois angles de ces triangles , ou avec quatre , ou avec cinq : de la naissent trois corps réguliers , qui sont le tétraèdre , l’octaèdre , et l’icosaèdre. On n'en peut pas former un plus grand nombre avec des triangles équilatéraux , car six angles de ces trr angles valent quatre angles droits, et ne peuvent former 5 . d’angle solide’.

9* Si les faces sont des quarrés , on peut assembler leurs angles trois à trois ; et de li résulte l’hexaèdre ou cube.

, Quatre angles de quarrés valent quatre angles droits, et ne peuvent former d'angle solide.

3’ Elnfin , si les faces sont des pentagones réguliers , on pourra encore assembler leurs angles trois à trois , et il en résultera le dodécaèdre régulier.

On ne peut aller plus loin ; car trois angles d’hexagones réguliers valent quatre angles droits , et trois d’heptagones encore plus.

Donc il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers , trois formés avec des triangles équilatéraux , un avec des , quarrés , et un avec des pentagones.

Scholie. On va prouver dans la proposition suivante que

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Livaa vil. i33

oei cinq polyèdre* eiistent rééllemeiit , qn’on peut en déterminer toute* le* dimenûoni lorsqu’on connaît une de leur* face*.

PHOBLâHS.

Etant donnée l’une des faces d’un polyèdre régulier, ou seulement son côté , corutruire le polyèdre.

Ce problème en présente cinq qui vont être résolus successivement.

Construction du tétraèdre. '

Soit ABC le triangle équilatéral qui doit être une des faces fig. sil. du tétraèdre ; au point O , centre de ce triangle, élevez OS perpendiculaire au plan ABC; terminez cette perpendiculaire au point S , de sorte que AS= AB; joignez SB, SC, et la pyramide SABC sera le tétraèdre requis.

Car, a cause des distances égales OA , OB , OC , les obli'^ ques SA , SB , SC , s'écartent egalement de la perpendiculaire SO et sont égales. L’niie d’elles .SA = AB ; donc les quatre faces de la pyramide SABC sont des triangles égaux au triangle donné ABC. D’ailleurs les angles solides de cette pyramide sont égaux entre eux , puisqu'ils sont formés chacun avec trou angles plans égaux ; donc cette pyramide est un tétraèdre régulier.

Construction de l’hexaèdre.

Soit ABCD un quarré donné : sur la base ABCD coiistnii- 6g- sUscz un prisme droit dont la hauteur AE soit égale au eète AB. Il est clair que les faces de ce prisme sont des quarrés égaux , et que scs angles solides sont égaux entre eux comme étant formés chacun avec trois angles droits; doncceprisiné est un hexaèdre régulier ou cube.

*• Construction de l’octaèdre.

Soit AMB un triangle équilatéral donné : sur le cèlé AB lîg *lV décrivez le quarré ABCD ; au point O , centre de ce quarré, élevez sur son plan la perpendiculaire TS , terminée de part et d’autre en T et S, de manière que OT = OS = AOj

a34 eBOMBtftiB.

joignes rainite SA, SB, TA , Me. , ,Vont «nm m< tolidé SABCDT eompoié de deux pyradiides qnadningnlairrs SABCD, TABCD, adossées, par leur base commune ABCD « ae solide sera l’octaèdre régulier demandé. «4 '

En effet, le triangle AOS est rectangle en O, ainsi que le triaitgla AOD ;,les cdtée AO , OS OD , sont égaux ; donc Ces trigngles sont éganx, done.AS = AD. On démontrera de même que toüs lAi éatres triangles rectangles AOT, BOS , COT r etc. ^sqnt égaux an triangle AOD; donc tous les cdtés AB , As ; AT, etc. sont égaux entre eux , et par con- *équrnt le solide SABCDT est compris sont liuit triangles .^aux an triangle éqnDatéral donné ABM. Je dis de plus que - . . léth ang|l^-<féUdts dn polyèdre, sont égaux entre enx : par-

«K«nq»lgÿ Tangle S est égal a l'angle B.

' .-Car il est risible que. le triangle SAC est égal au triangle lèÂC , et cjn’ainsi l’angle ASC est droit ; donc la figure SATC.estna quarré égal eu quarré ABCD. Mais si on com-< pare la pynmide BASCT à la pyramide SABCD , la base JkSCT de la pramiéra peut se plaaar sur la base ABCD de ta ‘ Vaepude; allMra le point O étant un centra commun , la hau>

. tanr OB delà première coïncidera arec la hauteur OS de la Mcoode , et les deux pyramides se.confondront en une seule; dMc l’angle solide S. est égal à l^angie solide B ; donc le solide SABCDT est an octaèdre régulier, -

Scholie. Si trois droites égales, AC, BD, ST, sont perpendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu , les extrémités de ces droites seront les sommets d’un octaèdre ■ régulier.

. Construction du dodécaèdre.

stA ABCDE un pentagone régulier donné ; soient ABP,

CBP , deux angles plans égaux à l’angle ABC ; axec ces angles plans forme* l’angle solide B , et détermines par la' proposition xxiY, liyre ▼, l’inclinaison mutuelle de deux de ce» plans , inclinaison que j'appeHc K. Formes semblablement aux points C, D, E, A, des angles solides égaux à l’angle solide B , et situés de la même manière : le plan CBP sera le même avec le plan 6CG , puisqu’ils sont inclinés l’un et l’autre de la même quantité K sur le plan ABCD. On peut donc dans lé plan PBCG décrire le pentagone BCGFP égal

Dir

tlVBB ▼!!. a38

an pentagone ADCDE. Si on fait de même dans chaenn des autres plans CD! , DEL ^clc. , on aura une surface convexe PFGH , etc. composée de six pentagones réguliers égaux et Inclinés chacun sur son adjacent de la même quantité K. Soit pft^ , etc. une seconde surface égale à PFGH , etc. , je dis que ces deux surfaces peuvent être réunies de manière à ne former qu’une seule surface convexe continue. En effet, l’angle par exemple, petit SC joindre aux deux angles OPB , B1*F , jK>nr faire un angle solide P égal k l’angle B ; ef dans cette jonction il ne sera rien changé à l’indinaison des ' plans BPF , BPO , puisque cette inclinaison est telle qu’il le faut pour la formation del’angle solide. Mais en même temps que l’angle solide P se forme, lectité yjys’appliqucra sur son égal PF, et an point F se trouveront réunis trois angles plans PFG , p/e , efg , qui formeront un angle solide égal i chactin des angles déjà formés ; cette jonction se fera sans rien changer ni à l’état de l'angle P, ni i celui delà surface efgh , etc. ; car les plans PFG , efp , déjà réunis en P , ont entre eux l’inclinaison convenable K, ainsi que les plan* efg , efp. Continuant ainsi de proche eu proche, on voit que les deux surfaces s’ajusteront mutuellement l’une avec l'autre, pour ne former qu’une seule surface continue cl retr traiitc sur elle-même : ceite surface sera celle d’un dodécaèdre régulier , puisqu’elle est composée de douze (lenta- .gones réguliers égaux , et que tous ses angles solides sont égaux entre eux.

. Conslruclion de l’icosaèdre.

Soit ABC une de ses faces; il faut d’abord former un angle solide avec cinq plans égaux au plan AB C et également inclinés chacun sur son adjacent. Pour cela , sur côté B'C', égala BC, faites le pentagone régulier B'C'Il'riJ'; au centre de ce ]>cnlagonc élevez sur son plan une perpendi. culaire , que vous terminerez en A' de manière que B'A'ü B'C' ; joignez A'C', A'H’ , A'I' , A'D' , et l’angle solide A', formé par les cinq plans B'A'C', C'A'H', etc., sera l'angle solide requis. Car les obliques A'B' , A'C' , etc. sont égales , et l’une d'elles A'B' est égale an côté B'C'; donc tous les triangles B'A''C', C'AIH', etc. sont égaux entre eiixet'an trîjngle iltinné ABC. • •

a36 GÉOMÉTRIE.

Il est visible d’ailleurs que les plans B'A'C', C'A' H', etc. sont éf^lement inclinés chacun sur son adjacent ; car les angles solides B', C', etc. sont égaux entre eux j puisqu’ils sont formés chacun avec deux angles de triangles équilatéraux et un de pentagone régulier. Appelons K l’inclinaison des deux plans où sont les angles égaux, inclinaison qu'on peut déterminer par la proposition xxiv, liv. v; l'angle K sera en même temps l'inclinaison de chacun des plans qui composent l’angle solide A' sur son adjacent.

Cela posé, si on fait aux points A, B, C, des angles solides égaux chacun à l’angle A' on aura une surface convexe DEFG , etc. composée de dix triangles équilatéraux , dont chacun sera incliné sur son adjacent de la quantité K ; ét les angles D , E , P , etc. de son contour réuniront allemativement trois et deux angles de triangles équilatéraux. Imaginez une seconde surface égale à la surface DEFG , ete. ; ces ■ J deux surfaces pourront s’adapter mutuellement , en joignant chaque angle triple de l'une à un angle double de l’autre ; et, comme les plans de ces angles ont déjà entre eux l'inclinaison K nécessaire pour former un angle solide quintuple égal à l’angle A , il ne sera rien changé dans cette jonction à l’état de chaque surface en particulier, et les deux ensemble formeront une seule surface continue , composée de vingt triangles équilatéraux. Cette surface sera celle de ricosaédre régulier , puisque d’aillpurs tous les angles solides sont égaux entre eux.