PROBLÈME

Trouver l’inclinaison de deu.r Jnces adjacentes d’un polyèdre régulier.

Cette inclinaison se déduit immédiatement de la construction qui vient d’être donnée des cinq polyèdres réguliers ; à quoi il faut ajouter la proposition xxiv , liv. v, par laquelle étant donnés les trois angles plans qui forment un angle (Olide, on détermine l’angle que deux de ces plans font entre eux.

Hans le triracdrr. Ch.vqiie angle solide est formé de trois

LIVBE VII.

angles de triangles cqoilatéranx : U faut donc chercher par le prohibe cité l’angle que deux de ces plans font entre eux , cet angle sera l’inclinaison de deux faces adjacente’’ du tétraèdre.

Dans l'hexaèdre. L’angle de deux faces adjacentes est un %. angle droit.

Dans l'octaèdre. Formes un angle solide avec deux an- Kg.*s 5 . gles de triangles équilatéraux et un angle droit ; l'inclinaison des deux plans où sont les angles des triangles sera celle de deux faces adjacentes de l'octaèdre.

Dans le dodécaèdre. Chaque angle solide est formé avec Sg. 146. trois angles de pentagones réguliers; ainsi l’inclinaison des |>lans de deux de ces angles sera celle de deux faces adjacentes du dodécaèdre.

Dans l’icosaèdre. Formes un angle solide avec deux an* ég-a 47 * gles de triangles équilatéraux et un angle de pentagone régulier , l’inclinaison des deux plans on sont les angles des triangles sera celle de deux faces adjacentes de l’icosaèdre.

paoBi.âi(X.

Etant donné le côté d'un jioljèdre régulier, trouver le rayon de la sphère inscrite et celui de la sphère eireonrscrite au polyèdre.

Il faut d’abord démontrer que tout polyèdre régulier peut être inscrit dans la sphère , et qu’il peut lui être circonscrit.

Soit AB le c6té commun à deux faces adjacentes'; soient C et E les centres de ces deux faces, et CD, ED, les peipendimlaires abaissées de ces centres sur le c6té commun AB^ lesquelles tomberont au point D, milieu de ce cêté. Les deux perpendiculaires CD , DE , font entre elles un angle connu , qui est égal â l’inclinaison de deux faces adjacentes, déterminée par lè problème précédent. Or si, dans le plan CDE, . perpendiculaire à AB , on mène sur CD et ED les perpendiculaires indéfinies CO et ËO, qui se rencontrent en O, je dis que le point O sera le centre de la sphère inscrite et, celui de ta sphère circonscrite ; le rayon de la première éuni OC, et celui de la seconde OA. ' ‘

a.lO a^oMÉtKit.

En effet , puisque les apothèmes CD , DE , sont égales, et l'b}rpoténnse DO commune , le triangle rectangle CDO est , I. égal au triangle rectangle ODE * et la perpendiculaire OC est égale à la perpendiculaire OE. Mais AB étant perpendiculaire an plan CDË, le plan ABC est perpendiculaire à , 5. CDE* ou CDE à ABC ; d’ailleurs CO , dans le plan CDE, est perpendiculaire à CD , intersection commune <les plans '>■ CDE , ABC ; donc CO * est perpendiculaire au plan ABC. Bar la même raison EO est perpendiculaire au plan ABK ; donc les deux perpendiculaires CO , EO , menées aux plans J dr deux faces adjacentes par les centres de ces faces , se rencontrent en un m^e point O et sont égales. Supposons maintenant que ABC et ABE représentent deux antres faces* adjaceutès quelconques , l’apothème CD restera toujours de la même grandeur , ainsi que l’angle CDO, moitié de CDE; donc le triangle rectangle CDO et son cèté CO seront égaux pour toutes les faces du polyèdre ; donc , si du point O comme centre et du rayon OC on décrit une sphère , cette sphère touchera toutes les faces du polyèdre dans leurs . Centres (car les plans ABC , ABE , seront perpendiculaires à rextréinité d’un rayon) , et la sphère sera inscrite dans le polyèdre, ou le jtolyèdre circonscrit à la sphère.

Joignez OA, OB; à causcdeCA = CB,Jes deux obliques OA, OB, s’écartant également de la perpendiculaire, seront égales ; il en sera de .même de deux autres ligues quelcon- ques menées du centre O aux extrémités d’un même cdté; donc toutes cas lignes sont égales entre elles; donc si du point O comme centre et du rayon OA on décrit une surface sphérique , cette surface paissera par les sommets de tous les angles solides du polyèdre, et la sphère sera circonscrite au polyèdre on le polyèdre inscrit dans la sphère.

Cela posé , la solution du problème proposé n’a plus aucune difficulté, et peut s’effectuer ainsi :

atp. Étant donné le côté d’une face du polyèdre , décrives cette face, et soit CD son apothème. Cherchez ;>ar le problème précédent l’inclinaison de deux faces adjacentes du polyèdre , et faites l'angle CDE égal à cette inclinaison. Prenez DE égaje à CD , menez CO et EO perpendiculaires ^ CO et ED; ces deux perpeiuliculaires se rencontreront

tiVHà Vil. a3g

eh un point O, et CO sera le rayon de la sphère inscrit dans le polyèdre.

Sur le prolongement de DC prenez CA égale au rayon du cercle circonscrit à une face du polyèdre ^ et OA sera le rayon de la sphère circonscrite à ce même (lolyèdre.

Car les triangles rectangles CDO, CAO, de la fig. 249, !>ont égauk aux irianglcs de même nom dans la ligure 248 ; ainsi, tandis que CD et CA sont les rayons des cercles inscrit et circonscrit à une face du polyèdre, ÜC et OA sont les rayons des sphères inscrite et circonscrite au même poyèdre,

SchoUe. On peut tirer des propositions précédentes plusieurs conséquences.

I® Tout polyèdre régulier peut être partagé en autant de pyramides régulières que le polyèdre a de faces.- le sommet commun de ces pyramides sera le centre du polyèdre, qui est en même temps celui des sphères inscrite et circonscrite.

2° La solidité d’un polyè-dre régulier est égale à sa surface multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite.

■ 3 ® Deux polyèdres réguliers de même uom sont deux solides semblables, et leurs-dimensions homologues sont pro- 'portionnelles; donc les rayons des sphères inscrites ou circonscrites sont entre eux comme les côtés de ces polyèdres.

4“ Si on inscrit un polyèdre régulier dans une sphère, les plans menés du centre le long des différents côtés ]>artageront la surface de la sphère en autant de polygone* phériques égaux et semblable* que le polyèdre a de faces.