IV. R cos B = ^i>i C eos b y R cos C = ^in B cox c

V. R tangbzzz sin c tang B , R tangc^sm h tangC VI. R cos a = cot B cot C.

Il en résulte dix équations contenant tontes les ràt tions qui peuvent exister entre trois des cinq élémeiti fi, G, a^ ^^ c; de sorte que deux de ces quandtà étant connues avec Tangle droit, on connaîtra immédiatement la troisième par son sinus , son cosinus, sa tangente ou sa cotangente.

Dû

Lxvi. Il est à remarquer que lorsqu^un é sera déterminé par son sinus seulement , il y aon deux valeurs de cet élément, et par conséquent dea triangles qui satisferont à la question. Car le meoie sin ILS qui convient à un angle ou à un arc, convient au5fl à son supplément. Il n'en est pas de même lorsqut rélémonr inconnu sera déterminé par son cosinus, si tangente ou sa cotangente. Alors on pourra décider, par le signe de cette valeur , si Télénient dont il s'agit est plus grand ou plus petit que i oo^ ; Félément sera plus petit que loo^, si son cosinus , sa tangente ou sa cotangente a le signe + ; il sera plus grand que loo** , si Tune de ces lignes a le signe — . On poumil aussi établir sur ce sujet des préceptes généraux qû ne seraient que des conséquences des six équations démontrées.

Par exemple, il résulte de Téquation R cos tf= cos b cos c , que les trois côtés d*un triangle sphériqae recumglo sont tous moindres que ioo^ , ou que def

SPRÉRIQfTB. ^QK

Krois côtés deux sont plus grands que loo" , et le troisième moindre. Aucune autre combinaison ne peut venrlre le signe de cos b cos c pareil à celui de cos a, msojnme cette équation Fexige.

De même l'équation R tang c == sin b tang C ^ ou ^m b est toujours positif, prouve que tang C a tou« Jours le même signe que tang c. Donc dans tout éricmgle sphérique rectangle un angle oblique et le côté qui lui est opposé , sont toujours de la même ispece; f^*estHirdire y sont tous deux plus grands ou ious deux plus petits que loo^.

Mésolution des triangles sphériques rectangles.

xjLYii. Un triangle sphérique peut avoir trois angles droits, et alors ses trois côtés sont de ioo<^; il peut avoir deux angles droits seulement, alors les côtés op- ~ posés sont tous deux de loo^ , et il reste un angle avec le côté opposé qui sont mesurés l'un et l'autre par le même nombre de degrés. Ces deux sortes de triangles -. ne peuvent, comme on voit , donner lieu à aucun pro- ^ blême ; on peut donc faire abstraction de ces cas particuliers, pour ne considérer que les triangles qui ont un angle droit seulement.

Soit A l'angle droit, B et C les deux autres angles

qu'on appelle angles obliques, soit a l'hypoténuse

opposée à l'angle A, ( et c les côtés opposés aux

' angles B et C. Etant données deux des cinq quantités

'B, G, a, b,c, la résolution du triangle se réduira

toujours à l'un des six cas suivants.

PREMIER CAS

Lxviii. Etant donnés l'hypoténuse a et un mdté b, on trouvera les deux angks '& et C et le troisième côté c par les équatic^s

. « Ksinb ^ tanghcota "^cosa

sm Dz=z —. — ,co5G = — ^rr ,r.aset=z r-j

sina ' R €0s» ^

Spa rRlGOlfOMBtk-IB

I/angle G ne peut laisser aucune incertilude^ non phi que le côté c; quant à Tangle B, il doit être de mêmi espèce que le côté donné b.

DEUXIEME CAS

Lxix. Etant donnés les deux côtés de Pangk droit h et c y on trouvera Vhypoténuse sl et les angles B et C par les équations

cos b cos c R tang b R tanL^

: , tangB = : , tangC= — r-r^

cos a

R sin c sinh .

Il n'y a dans ce cas aucune ambiguité.

TROISIEME CAS

Lxx. Etant donnés Vhypoténuse a et un an^ B, on aura les deux côtés h et c et Vautre angle C par les équations

. sin a sinh tangacos'B cosatang^ iinbz=z g ytangc=. ,cofC= — —

Les éléments c et C sont déterminés sans ambiguïté par ces formules ; quant au côté b ,ï\ sera de mênrc espèce que l'angle B.

QUATRIEME CAS

Lxxi. Etant donné le côté de V angle droit h avec l'angle opposé By on trouvera les trois autres éléments a , cet Cpar les /annules

R sin b to,ng b cot B , 'R cos^

sin a =: — . , sin c = ___ ^ sin C = ■*

sin B R cos b

Dans ce cas^ les trois éléments inconnus sont doter» minés par des sinus , ainsi la question est susceptible de deux solutions. Il est évident en effet que le trianûg, II. gle ABC et le triangle AB'G sont tous deux rectangle;» en A , ont tous deux le même côté AG z= b et le même angle opposé B = B\ Au reste, leô yalour?

srrif..iiiQiJE. igi

âottbles doivent se 'combiner de manière que c et' £ soient de la même espèce; ensuite Tespece de c et df cU^termine celle de a par Tinspection de la formule ^os b cos c=R cos a, mais la valeur de a se déter-^

xninera directement par l'équation sin a = — r— =r-

* ^ sm B