SIXIEME CAS

Lxxm. Etant donnés les angles obliques B et ^^ on trouvera les trois côtés a , b , c , par les formules

pot "^ cote Rco.yB RcojC

cos a - — , cos b =. — : , cos c = — •

R sin C sin B

"Et dans ce cas il ne reste encore aucune incertitude.

REMJRQUE.

Lxxiv. Le triangle sphérique dont A , B , C , sont les angles, et a , ^, c les côtés opposés , répond toujours à un triangle polaire dont les angles sont suppléments des côtés a, b y c^et\es côtés suppléments des angles A , B , C ; de sorte que si on appelle A', B', G', les angles du triangle polaire, eta', b' , c', les côtés opposés à ces angles , on aura

A' = 2ck)0 — a, B'= 20o<> — b, C'=aooo — c a' = 20o<> — A, è' = 2oo'' — B, c'=:20o<> — C.

394 T&IGOnOKBTHIE

Cela posé , si un triangle sphérique a un cÔté a ég^ au quadrant , il est visible que l'angle oorresponcbnt A' du triangle polaire sera droit, et qu'ainsi ce triangle sera rectangle. Donc les deux données qu'on doit avoir, outre le côté de loo^ , pour résoudre le trian^ proposé^ serviront à trouver la solution du triangle polaire, et par suite celle du triangle proposé. Ob pourrait tirer de là des formules semblables aux précédentes pour résoudre directement les triangles sphériques qui ont un côté de ioo<>»

Un triangle isoscele se partage en deux triangles rectangles égaux dans toutes leurs parties , ainsi la l'ésolution des triangles sphériques isosceles dépend encore de celle des triangles sphériques rectangles. % i2* Soit ABC un triangle sphérique , tel que les dem côtés AB, BC soient suppléments Vun de l'autre,* si on prolonge les côtés AB , AG jusqu'à leur rencontre en D , il est clair que BC et BD seront égaux coninie étant suppléments d'un même côté AB ; d'ailleurs il est visible qye les parties du triangle BCD étant co^ nues, on connaît celles du triangle ABC qui est le reste du fuseau AD , et vice versa. Donc la résolution du triangle ABC , dans lequel deux côtés font ensemble 200^, se réduit à celle du triangle isoscele BCD, ou à celle du triangle rectangle BDE qui est h moitié de CBD.

Lorsque les deux côtés AB , BC , sont suppléments Fun de l'autre, il faut que les angles opposés ACB, BAC , soient aussi suppléments l'un de l'autre ; car BCD est supplément de BCA ; or BCD=:D= A. Donc on ne peut avoir a + c = 200^ , sans avoir en même temps A-+- C=200<^, ce qui est réciproque •

De là on voit que la résolution des triangles sphériques rectangles comprend , 1® celle des triangles sphériques qui ont un côté égal au quadrant y 2? celle

SPHÉRIQtlS. SpS

des triafigles sphériques isosceles ; 3^ celle des trian- -gles sphériques dans lesquels la somme de deux cotés «5t de aoo^, ainsi que celle des deux angles opposés.

Principes pour la résolution des triangles sphériques en général.

I.XXV. Dans tout triangle sphérique les sinus <les angles sont comme les sinus des côtés opposés.

Soit ABC un triangle sphériqiie quelconque, je dis %. i3. 4ju^on aura sin B : sin G :: sin AG : sin AB.

Du sommet A abaissez Tare AD perpendiculaire éur le côté opposé BG, les triangles rectangles ABD^ ACD donneront les proportions

sin B : R : : sin AD : sin AB R : sin G :: sin AG : sin AD.

Multipliant ces deux proportions par ordre et omet* tant les facteurs communs , on aura

' ^sin B : sin G : : sin AG : sin AB.

Si la perpendiculaire AD tombait au dehors du trian- ^e* >4 gle ABG, on aurait les deux mêmes proportions dans Tune desquelles sin G désignerait sin ACD^ mais comoie langle AGD et Tangle AGB sont suppléments l'un de l'autre , leurs sinus sont ^aux ; ainsi on aurait toujours sin B : sin G : : sin AG : sin AB.

Soient a, b, c, les côtés opposés aux angles A, B, C, chacun à chacun, on aura, suivant cette proposition, sin A : sin a : : sùi B : sin b : : sin G : sin c ; ce qui donne la double équation :

sin A sin B sin C

sin a sin b sin c

3g6 TRIGONOMÉTKIB

Lxxvi. Dans tout triangle sphérique le cosinm d*un angle est égal au quarré du rayon multiplié par le cosinus du côté opposé , moins k produit du rayon par les cosinus des côtés adjor cents, le tout divisé par le produit des sinus k ces mêmes côtés : c'est-à-dire, qu'on a pour l'an-

- , 7 i^ 'R'cosc — "Rcosacosh

me C, var exemple, cos C = : :— t •

On aurait semblablement pour les deux autm

, . R* cos a — R cos b cos c

ane[les, cos A = t— ; — : , et cos B =

^ sin b sine

R* cos b — R cos a cos c

sin a sin c

i!g. x5. Soit ABC le triangle proposé dans lequel on fait BC = a, AC = i, AB = c. Du point O, centre de la sphère, tirez les droites indéfinies OA, OB, OC; prenez OD à volonté, et par le point D, menez DE dans le plan OC A et DF dans le plan OGB, toutes deux perpendiculaires à OD, lesquelles rencontrent en E et F les rayons OA, OB , prolongés; enfin joignez EF.

L'angle D du triangle EDF est par constructioH la mesure de l'angle que font entre eux les plans OC A, OGB, ainsi l'angle EDF est égal à l'angle C du triangle sphérique ACB : or dans les triangles

♦*xv DEF, OEF, on a*

cos EDF DÊ + DF— Ëf '