COS G

Sin a sm b

Ce principe, qui, étant appliqué successivement lUX trois angles , fournit trois équations , suffit pour la résolution de tous les problèmes de la trigonopftétrie sphérique : il a, par rapport aux triangles iphériques, la même généralité que le principe de Tart. XLV, par rapport aux triangles plans. En eifer^ puisqu'on a toujours trois éléments donnés par le moyen desquels il faut déterminer les trois autres, il est clair que ce principe donne les équations nécessaires pour résoudre le problème; équations qu'il appartient à l'analyse de développer ultérieurement, pour en tirer , suivant les différents cas , les formules les plus simples et les mieux adaptées au calcul logarithmique.

Lxxvii. Puisque le principe dont nous parlons est absolument général , il doit renfermer tous les autres principes relatifs aux triangfles sphériques , et notamment le principe du n<> lxxv. C'est ce qu'il est facile de vérifier.

SgS TRIGONOKltTILIB

En effet 1 équation cos C= — > : :—

*- stn a sm b

donne R* — cos * C ou sin* C =

R *sm * a sin * ^R ' cos * a cosl 6 -h a R ^o* a coj b cos c— R *^<:(wV

jiWa sin^b

Or 5m* û 51/1* & =: (R* — co5* a) (R* — cos* b)zi R* — R* cos* a — R* cos* b + cos* a cos* b. Donc es substituant et extrayant la racine, on aura

= \/ (R'— R * cos * a— R * cos * fr-R * cos * c+t.Kcos a cosbcoK),

nnasinb

Soit pour abréger Zz= i/(R* — R"co5* a — R* cos* b — R* cos*C'\-!ik Rcosacosbcon on aurai donc

• ^ RZ sînC RZ

5m C=-: r~7, ou

sin a sin b ^ sin c sin a sm b sin c

Les valeurs de cos A et de cos B donneraient semblablement

sinK RZ sin'R RZ

^^/ï a sin a sin b sin c ' sin b sin a sin b sine m

car la quantité Z ne change pas , lorsqu'on fait 11 1'" permutation entre deux des quantités a, b, c;dciBim / sin A sin B sin C . , . . l I

on a — T — = — r-y =: — ■: — , ce qui est le principe (W \^

sin a sin b sin c ■* * * ■

n** liXxv.

titi

les

(on 1^

T.xxviii. Les valeurs que nous venons de troirrff pour cos C et sin C , peuvent servir à trouver ta angles d'un triangle sphérique dont on connaît ta trois côtés ; mais il existe d'autres formules plus coffl' modes pour le calcul logarithmique.

En effet , si dans la formule R* • — R co5 C =: le 2 5m* ^G, on substitue la valeur de cos G, on aun

*}. sin^~ C cos C cos a cos b-j-sin a sin 6— -RcM* «J*

R' R sin a sin b

Le numérateur de cette expression se réduit 1 R cos {a — b) — R cos c ; or, d'après la formuk

spfii&iQus. 399

R cos q ^Vicosp^zasin^ {p+q) sin{ (p — ^)*, on ♦«nn^ Efoiive R cos {a — b) — R cos c=:2sin^ (c — b+a) nn{ (c — a-^-b) ; donc

. /'c+b — a\ . /c-\-a — b\ sin [ J sin [ I

R' sin a sinb

DU siTi^ C = R V ^ a 2

( sin a sin b

n est évident qu^on aurait des formules semblables pour exprimer sin^A. et sin^'R^ par le moyen àe% trois côtés a, b , c.

Lxxix. Le problême général de la trigonométrie sphérique consiste , comme nous l'avons déjà dit , &^ déterminer trois ' des six quantités A , B , G , n, b , c, par le moyen des trois autres. Il est nécessaire^ pour cet objet, d'avoir des équations entre Juatre de ces quantités, prises de toutes les manières ^ssibles ; or , six quantités combinées quatre à