Uatre ou deux à deux, donnent — ^ ou i5 combi
maisons, ainsi il y aura quinze équations à former* ^siis si on ne considère que les combinaisons esseniellement différentes , ces quinze équations se rédiûeut à quatre.
£n effet, on a, !<> la combinaison a&cA, qui omprend, par la permutation des lettres, afrcA, ^cB, abcC'j
2° La combinaison a^AB, d'où résultent abAB cBC, acAC;
3^ La combinaison a & A G , qui comprend les six '*AG, ai.BG, acAB, acBG, bc^B, bcAC;
4^ Enfin, la combinaison aABG, qui comprend ^ trois aABG, Z^ABG, cABG.
Il y a donic en tout quinze combinaisons, mais
^OO TRIGONOXÉTBIB
ny en a que quatre essentiellement différesMl
- , , . . R* cos a — R cos h cote
Lxxx. L équation cos A = r—r — : ,
^ sm o sm c
représente déjà la première combinaison abckfi
celles qui en dépendent.
Pour former l'équation qui répond à la combinaison a^AB, il faut éliminer c des deux formules qui donnent les valeurs de cos A et cos B ; mais XS^ mination a déjà été faite (lxxyii), et le résultat est sm A sin B sin a sin b*
La troisième combinaison se forme de la reladdB entre a, b, A, G; pour cela ayant les deux txçxh lions ,
cos A sin b sin c = R* cos a — R cos b cos c, cos C sin b sin a = R' cos c — • R cos b cos a,
on en éliminera d'abord cos c^ ce qui donnera Rcwl
sin c -h cos G sin a cos i = R cos a sin b : mettot
. -, 1 1 • 1 1 • ^in a sin C
ensuite dans celle-ci la valeur sin c =. — - — , on
sin A
aura pour la troisième combinaison
cot A sin C + cos G cos b -=. cot a sin b.
Enfin, pour avoir la relation entre A, B, C,tfj
j'observe que dans l'équation précédente le tentf
• f n ^^^ b ^ sin B , .^
CGC a sin b •=. )x cos a . -: — = Ji cos a —, — - : donc,
sut a sin A
en multipliant cette équation par sin A , on aura R cos A sin G = R cos a sin B — sin A cos C co% t-
ft(
lillj;
Si dans cette équation on permute entre elles les kt' J* ^ très A et B, ainsi que a et ^, on aura Ij^^
R cos B sin G = R cos b sin A — sin B cos C cos a, 1 ^
Et de ces deux-ci on tire, en chassant cos b, "R^cos AsinC-h^cos B sin G cos C:=cos a sinBsin*^
SPHBaïQUE. 4<>'
Bonc enfin
R* cosA-h'RcosBcosC
cas a:
sin B sin C
l'est la relation cherchée entre A, B, C, a^ ou la natrieme des équations nécessaires pour la résolu* k.on des triangles sphériques.
Lxxxi. Cette dernière équation entre A, B, C, a^ fire une analogie frappante avec la première entre s, i^o^Aieton peut rendre raison de cette ana- 3gie par la propriété des triangles polaires ou si^pdémentaires. En efifet, on sait que le triangle dont (8 angles sont A, B, G , et les côtés opposés a,b,c, iépond toujours à un triangle polaire , dont les côtés ont 200^ — • A , 2roo<* — B , 200® — C , et les angles apposés 200® — a., 200** • — b, 200<*. — -c. Or le principe de Tarticle lxxti étant appliqué .à ce dei*nier Viangle, il en résulte 1 .
3*(200 -a)- ji>|(200*»-B)jw(200^i-C)
* qui se réduit à
R' coj A H- R cos B cosC cos a=. • n • n >
t^si que nous Pavons trouvé par une autre voie.
Cette formule résout immédiatement le cas où »xi veut déterminer un côté par le moyen de trois gles ; mais , pour avoir une formule plus Comode pouir le calcul logarithmique', on substituera
valeur de cos a dans Téquation i — - 1^ - ■==
-— ■^— , ce qui donnjera ^, = ......
* B sin C-'Cos B cof C— R cos A — R cos (B ^~C) — R cos A
2 sin B sin C . . ^sinB sin C
t parce qu^on a en général^ Rcof/; -h Rco5^=: *xxnir. Onz, éd. 26
a cos^ {p + ij) cos { {p — 7 ) , cette équation sel.
réduit à ' |v
sin' {a •— roj^ ( A + B + C ) gQJ T ( B + C — A) R* sin B sin C '
OÙ il faut observer que le second membre, quoi*!/ que sous une forme négative, est néanmoins too*! jours positif. Car on a en général sin (a? — 100**) =
sin X cas 100** — cos x sin 100** ,
15 = — 00s X donc
— cos\ (AH-B+ C) =sin ^ ^ + ^ + ^ ^J^
quantité qui est toujours positive, parce queA+1 -\- C étant toujours compris entre 200<> et 6oo<>,raDgle 7 ( A + B -4- C) — looo est com^pris entre xéroet 200<> ; d'ailleurs cos ^ (B + C — A) est toujoins positif, parce que B + C — A ne peut pas surpasser 200^ ; en effet dans le triangle polaire le .côté 2D0'
— A est plus petit que la sonlttie des deux adtrei «00° — B, 200<> — C; donc on a 200<* — A<4oo<>— B
— C, ou B-4-C — A<2oo«.
Etant ainsi assuré que le résultat sera toujours
positif , on aura , pour déterminer un côté par k moyen des angles, la formule
, y\ COS COS ■
SUl j^ï=Ry/< 2 2.
f 'sin B sin C ;
Lxxxii. Avant daller plus loin, nous remarquerons que de ces formules générales, on peut déduire celles qui concernent les triangles sphériques rectangles. Pour cet effet , on fera A = ioo<>, tant dans les quatre formules principales que dans celles qui en dérirent par la permutation des lettres. Et d^abord réquatkm cos A sin h sin c = R' cos a — R cos b cos c, donnera î par cette substitution
R cos a = cos h cos c. (i)
Les dérivées de Téquation générale ne contienneit
^ÎTit A, et ainsi ne donnent aucune relation nou- Telle dans le cas de A= ioo^«
- , . sinA sinB -f , , ,
L équation -: — =-:—£, donne dans le cas de ^ sin u sin o
A= loo^,
R ^ih B , .
sm a sin h ^ '
Et la dérivée -: — = — ; — , donnerait é£:alement
sm a sin c ^
•=?z—. — ; mais celle-ci est elle-même une dérivée
stn a sin c ; de l'équation (2).
L'équation coù A sin C -j- cos C cos b=:cot a sin b , donne dans lé eas de A = 100% cos C cos b =z cot a sin b, ou. •
4>os C tang a = R tang b. (3)
La dérivée cot C sin A + cos A cos b = cot c sin b, donne dans le même cas , R cot C =:cot c sin b^ on
R tang c = sin b tang C. (4)
Enfin la quatrième équation principale sin B sin C cos a=R*co5 A + R cos B cos G, et sa dérivée sin A sin (J cos & =r R' cos B 4- R cos A cos C , donnent dans le cas de A= 100% sin B sin C coj a=z Hcos B co5 C et sin C co^ ^=R co^ B, ou
cot B co^ C = R cos a, (5)
5w C cos è = R C05 B. (6)
Ce sont' les six équations sur lesquelles la résolution . des triangles rectangles est fondée.
iixxxiit. ïîotis terminerons ces principes par la démonstration des Analogies de Néper, qui servent \ i sunplifi'er plusieurs cas de la résolution des triangles ! spbériques*
Par la CMnbinaison des valeurs de cas A et cos G. exprimées en a, b, c, nous ayons déjà obtenu l'équation * R cos k. sificz=i'Reos a sin b — cos Csin a cos b,
4o4 TRiCOROMBTftIX
Celle-ci donne par une simple permutation :
Kcos B5mc=Rco5 b sina'-^cosC sin bcùsa*
Donc en ajoutant ces deux équations, et réduisant, Qn aura
sin c {cos A + cos B) = (R — cos C) sin (a + i).
.- • • ^<^ c sin a sm b
Mais puisque -r-^=zz . . =:-r~^, on a ^ * «/i C ^i/i A sm B
^mc (5^ A4-5mB)=5mC (sina + sinb) et si« c (5/72 A — sin B)z=zsin C (sin a — sin b).
Divisant successiveinent ces deux équations par la précédente, on aura
sin A+M/2 B ^^ sin C sin a+sin b cos II -\- cos T^ R — cos C* sm(a-^b) sin A'^sin B sin C sin a — sin b
coyA + co^B R — cosQ,* sin{a-\-b^
Et ea réduisant celles - ci par les formules des arti- 4.'les XXIX et xxx , il viendra
toi^^ (A + B) = cof i c. ^4^^=!^
*^ ^ ' cos\\^a-\~b)
^^i(A--^B)==>cQ^^C /^tl''~ÎJ >
Donc étant donnés les deux côtés a et & avec Tangle compris C, on trouvera les deux autres angles A etB par les analogies ,
cos\ (a + h)\cos\ {a — &) :: cot\Q,\tang~ (A + B) .sin':^ \a + b) . sin\ (a — b) :: coc\ C : tang^ (A — B).
Si on applique ces mêmes analogies au triangle polaire du triangle ABC, il faudra mettre aoo^ — A, r^QQ^ — B, 200° — a, 200® — b, 200®— tC, à la place Aea,by A, B, C, respectivement, et on aura pour résultat ces deux analogies
cos~{k + i!i)icos{{A. — \S)::tang^c:tang\{a + b) j//i^(A + B):5m*-(A — W)::tang\c:tang^{a — i),
au moyen desquelles, étant donnés un côté c et le$
SPHBRIQITE. 4^5
deux angles adjacents A et B, ou pourra trouver les deux autres côtés a et b. Ces quatre proportions sont connues sous le nom à! Analogies de Néper.
Résolution des triangles sphériques en
général.
La résolution des triangles sphériijues comprend six cas généraux, que nous allons développer successivement.
PREMIER CAS
Lxxxiv. Étant donnés les trois côtés a , b , c , on trouvera un angle quelconque y par exemple ^ V angle A opposé au côté a , par la formule :
