LIVRE

un rectangle; si, de plus , les côtés sont égaux, ce sera un quarré.

PROBLEME XIII

lYouver le centre d'un cercle ou d'un arc donné.

Prenez à volopté dans la circonférence ou dans fig. 84< lare trois points A^ B , C ; joignez ou imagine^ qu on joigne AB et BC, divisez ces deux lignes en deux parties égales par les perpendiculaires DE , FG ; le point O, où tes perpendiculaires se rencontrent, sera le centre cherché.

Scholie, La même construction sert à faire passer une circonférence par les trois points donnés A, B , C, et aussi à décrire une circonférence dans laquelle le triangle donné ABC soit inscrit.

PROBLEME XIV

Par un point donné mener une tangente à un cercle donné.

Si le point donné A est sur la circonférence, tirez fig. 85. le rayon CA, et menez AD perpendiculaire à CA; AD sera la tangente demandée*. *9, «.

Si le point A est. hors du cercle , joignez le point % 86. A et le centre par la ligne droite C A ; divisez C A en deux également au point O ; du point O , comme centre, et du rayon OC, décrivez une circonférence qui coupera la circonférence donnée au point B; tirez AB , et AB sera la tangente demandée.

Car en menant CB, Tangle CBA, inscrit dans le demi-cercle, est un angle droit*; donc AB est per- *i8,a, pendiculaire à l'extrémité du rayon CB , donc elle est tangente.

Scholie, Le point A étant hors du cercle, on voit qu'il y a toujours deux tangentes égales AB, AD, qui passent par le point A : elles sont égales, car les triangles rectangles CBA, CDA,ont l'hypoténuse CA

56 GlioXliTRIB.

commune , et le côté GB = CD ; donc ils sont •18, 1. égaux*; donc AD=AB, et en même temps langls CAD=CAB,

PROBIEMB XY.

«f. 87. Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC.

Divisez les angles A et B en deux également par les lignes AO et BO qui se rencontreront en Q ; du point O abaissez les perpendiculaires OD , OE \ OF, sur les trois côtés du triangle; je dis que ces perpendiculaires seront égales entre elles; car, par construction , l'angle DAO = O AF, l'angle droit ADO= AFÔ; dQnc le troisième angle AOD est égal au troisième AOF. D'ailleurs le côté AO est commun aux deux triangles AOD , AOF, et les angles adjacents au côté égal sont égaux; donc ces deux triangles sont égaux; donc DO=OF. On prouvera de même que les deux triangles BOD, BOE, sont égaux; donc OD^OE, donc les trois perpendiculaires OD, OE, OF, sont égales entre elles.

Maintenant si du point O, comme centre, et du rayon OD, on décrit une circonférence, il est clair que cette circonférence sera inscrite dans le triangle ABC; car le côté AB, perpendiculaire à l'extrémité du rayon OD, est une tangente : il en est de même des côtés BC , AC.

Scholie. Les trois lignes qui divisent en deux également les trois angles d'un triangle, concourent en un même point.

PROBLÊME XVI

Hg. 88 Sur une droite donnée AB , décrire unsegmenù •* *^' capable de V angle donné G , c'est-à-dire , un segment tel que tous les angles qui jr sont inscrits soient égaux à V angle donné G.

Prolongez AB vers D, faites au point B Tangte Ï)BE=:C, tirez BO perpendiculaire à BE, et GO per-^

ti.vas II. 57

pendiculaire sur le milieu de AB ; du point de renccfatne O, comme centre, et du rayon OB, décrivez un cercle, le segment deihandé^sera AME.

Car puisque BF est perpendiculaire à l'extrémité du rayon CB, BF est une tangente, et l'angle ABF a pour mesure la moitié de l'arc AKB*; d'ailleurs l'an- *i9.a. gle AMB, comme angle inscrit, a aussi pour mesure la moitié de l'arc AKB, donc l'angle AMB = ABF = EBD=C; donc tous les angles inscrits dans le segment AMB sont égaux à l'angle donné G.

Scholie, Si l'angle donné était droit , le segment cherché serait le demi-cercle décrit sur le diametrç AB.

PROBLEME XYII.

Trouver le rapport numérique de deux lignes fiff- y>i droites données AB , CD , si toutefois ces deux lignes ont entre elles une mesure commune.

Portez la plus petite CD sur là plus grande AB autant de fois qu'elle peut y être contenue ; par exemple , deux fois, avec le reste BE.

Portez le reste BE sur la ligne CD , autant de fois qu'il peut y être contenu , une fois, par exemple , avec le reste DF.

Portez le second reste DF sur le premier BE, autant de fois qu'il peut y être contenu, une fois, par exemple, avec le i^este BG.

Portez le troisième reste BG sur le second DF, autant de fois qu'il peut y être contenu.

Continuez ainsi jusqu'à ce que vous ayez un reste qui soit contenu un nombre de fois juste dans le précédent.. »

Alors ce dernier reste sera la commune mesure des lignes proposées , et , en le regardant comme l'unité , on trouvera aisément les valeurs des restes précédents et enfin celles des deux lignes proposées, d'où l'on conclura leur rapport en nombres.

58 GéOMÉTRIK.

Par exemple, si Ton trouve que GB est contenu deux fois juste dans FD , BG sera la commune mesure des deux lignes proposées. Soit BG = i , on aura FD = 2; mais EB contient une fois FD plus GB; donc EB=3; CD contient une fois EB plus FD; donc CD = 5; enfin AB contient deux fois CD plus EB; donc AB=:i3; donc le rapport des deux lignes AB, CD, est celui de i3 à 5. Si la ligne CD était prise pour unité, la ligne AB serait -y^, et si la ligne AB était prise pour unité, la ligne CD serait 7*,-.

Scholie, La méthode qu'on vient d'expliquer est la même que prescrit Taritlimétique pour trouver lecommun diviseur de deux nombres ; ainsi elle n a pas besoin d'une autre démonstration.

Il est possible que, quelque loin qu'on continue l'opération, on ne trouve jamais un reste qui soit contenu un nombre de fois juste dans le précédent. Alors les deux lignée n'ont point de commune mesure, et sont ce qu'on appelle incommensurables : on en verra ci-après un exemple dans le rapport de la diagonale au côté du quarré. On ne peut donc alors trouver le rapport exact en nombres : mais en négligeant le dernier reste, on trouvera un rapport plus ou moins approché, selon que l'opération jtura été poussée plus ou moins loin.

PROBLEME XVIII

fig- 9ii Deux angles ket'R étant donnés , trouver leur commune mesure, s'ils en ont une , et de-là leur rapport en nombres.

Décrivez avec des rayons égaux les arcs CD, EF, qui servent de mesure à ces angles; procédez ensuite pour la comparaison des arcs CD , EF, comme dans le problême précédent; car un arc peut être porté sur un arc de même rayon, comme une Ugne droite sur une ligne droite. Vous parviendrez ainsi à la com-