LIVRE II. 5z

distants des points B et D ; donc la ligne AE est perpendiculaire sur le milieu de BD.

PROBLEME lY.

Au point A de la ligne AB , faire un angle H- i^* égal à V angle donné K.

Du sommet K , comme centre , et d'un rayon à volonté, décrivez l'arc IL terminé aux deux^côtés de Fangle ; du point A , comme centre , et d'un rayon AB égal à Kl , décrivez lare indéfini BO ; prenez ensuite un rayon égal à la corde LI ; du point B , comme centre , et de ce rayon , décrivez un arc qui coupe en D l'arc indéfini BO ; tirez AD , et l'angle DAB sera égal à l'angle donné K.

Car les deux arcs BD , LI , ont des rayons égaux et des cordes égales ; donc ils sont égaux*; donc Fangle *4, a.' BAD=1KL.

PROBLEME V

Dis'iser un angle ou un arc donné en deux fig- 74parties égales,

v^ S'il faut diviser l'arc AB en deux parties égales, des points A et B , comme centres, et avec un même rayon , décrivez deux arcs qui se coupent en D ; par le point ï) et par le centre C tirez CD qui coupera l'arc AB en deux parties égales au point E.

Car les deux points C et D sont chacun également distants des extrémités A et B de la corde AB ; donc la ligne CD est perpendiculaire sur le milieu de cette corde ; donc elle divise l'arc AB en deux parties égales au point E *. *

2» S'il faut diviser en deux parties égales l'angle ACB, on commencera par décrire du sommet C, comme centre, l'arc AB, et le reste commje il vient d'être dit. Il est clair que la ligne CD divisera en deux parties égales l'angle ACB,

Scholie. On peut, par la même construction , diviser chacune des moitiés AE, EB, en deux parties égales; ainsi, par des sous-divisions successives, on divisera un angle ou un arc donhé en quatre parties égales , en huit , en seize , etc.

PROBLEME VI

Par un point donné A , mener une parallèle ^' ^ à la ligne donnée BC.

Du point A, comme centre, et d'un rayon suffisamment grand , décrivez lare indéfini EO ; du point . E , comme centre , et du même rayon , décrivez Tare AF, prenez ED = AF, et tirez AD qui sera la parallèle demandée.

Car en joignant AE , on voit que les angles alternes AEF, EAD , sont égaux ; donc les lignes AD , EF, sont parallèles *.

PROBLEME VII

♦aJ, 1.

fig. 76.

Deux angles AetB d'un triangle étant donnés ^ trouver le troisième.

Tirez la ligne indéfinie DEF, faites au point E l'angle DJEG=A, et langle CEH=B : l'angle restant HEF sera le troisième angle requis ; car ces trois angles pris ensemble valent deux angles droits.

PROBLEME VIII

Étant donnés deux côtés BetC d^un triangle et ^s ' ' • l'angle A qu 'ils comprennent , décrire le triangle.

Ayant tiré la ligne indéfinie DE, faites au point D langle EDF égal à l'angle donné A; prenez ensuite DG=b; DH=:G, et tirez GH ; DGH sera le triaegle demandé.

LivaB II. , 53

PROBLEME IX

Étant donnés un côté et deux angles d'un triangle , décrire le triangle.

Les deux angles donnés seront ou tous deul adjacents au côté donné , ou l'un adjacent , lautre opposa : dans ce dernier cas, cherchez le troisième % vous *P'- c/aurez ainsi les deux angles adjacents. Cela posé , tirez la droite DE égale au côté donné , faites au point D fig- 7*l'angle EDF égal à Tun des angles adjacents , et au point E l'angle DEG égal à l'autre ; les deux lignes DF, EG, se couperont en H, et DEH sera le triangle requis.

PROBLEME X

Les trois côtés A, B, C, d'un triangle étant fi« 79* donnés y décrire le triangle.

Tirez DE. égal au côté A; du point E, comme centre, et d'un rayon égal au second côté B, décrivez un arc ; du point D , comme centre , et d'un rayon égal au troisième côté C, décrivez un autre arc qui coupera le premier en F; tirez DF, EF, et DEF sera le triangle requis.

SchoUe. Si l'un des côtés était plus grand que la somme .des deux autres y les arcs ne se couperaient pas ; mais la solution sera toujours possible , si la somme de deux côtés , pris comme on voudra, est plus grande que le troisième.

PROBLEME XI

Étant donnés deux côtés A et B d'un triangle y avec VangleC opposé au côtéB^ décrire le triangle.

n y a deux cas : i** si l'angle G est droit ou obtus , faites l'angle EDF égal à langle C; prenez DE= A, du point E, comme centre, et d'un rayon égal au côté donné B, décrivez un arc qui coupe en F la

ligne DF; tirez EF, et DE F sera le triangle de^ mandé.

Il faut, dans ce premier cas, que le côté B ^oit plus

grand que A , car l'angle C étant droit ou obtus,* est le plus grand des angles du triangle ; donc le côté opposé doit être aussi le plus grand.

£g. 8i. 2° Si l'angle C est aigu, et que B soit plus grand que A , la même construction a toujours lieu , et DEF est le triangle requis.

fig. 8a. ^^ds si, langle C étant aigu , le côté B est moindre ' que A, alors l'arc décrit du centre E avec le rayon EF=B, coupera le côté DF en deux points F et G, situés du même côté de D ; donc il y aura deux ti^angles DEF, DEG, qui satisferont également au problême. -

Scholie, Le problême serait impossible dans tous les cas, si le côté B était plus petit que la perpendiculaire abaissée de E sur la ligne DF.

PROBLÊME XII

Les côtés adjacents A e^ B cVun parallélogramme étant donnés ai^ec l'angle C qu^ils comprennent , décrire le parallélogramme.

Tirez la ligne DE=A, faites au point D Tangle FDE=C, prenez DF=B; décrivez deux ares, l'un du point F comme centre , et d'un rayon FG = DE, l'autre du point E, comme centre et d'un rayon. EG=DF : au point G, où ces deux arcs se coupent, tirez FG, EG ; et DEGF sera le parallélogramme demandé.

Car , par construction , les côtés opposés sont égaux ; donc iii figure décrite est uw parallélogranmie^, et ce o ,."iîJc;%i^;Tamme est formé avec les cotés donnés et

*:. V /'..::. Vi i angle donné est droit, la figure sera '