ABCD: AEFD ::AB:AO

Dans ces deux proportions les antécédents sont égaux; donc les conséquents sont proportionnels, et il eu résulte,

AlKD:AErD::AI;AO

tlTHE lit. 65

Mais AO est plus grand que Âl^ donc^ pour que teette proportion subsistât, il faudrait que le rectangle AEFD fttt plus grand que AIKD; or, au contraire, il ^ est plus petit; donc la proportion est impossible; donc ABGD ne peut être à AEFD comme AB est à une ligne plus grande que AE.

Par un raisonnement entièremetit semblable, on ]^UTerait que le quatrième terme de la proportion ne peut être plus petit que AË; donc il est égal àAE.

Donc, quel que soit le rapport des bases, deux rectangles de même hauteur ABGD, AEFD, sont entre etix comiile leurs bases AB , AE»

PROPOSITION IV

THÉORÊMEk

' Deux rectangles quelconques ABCD, AEGF, sont entre eux comme les produits des bases multipliées par les hauteurs ^ de sorte quon a ABCD:AEGF::ABxAD:AExAF.

Ayant disposé les deux rectangles de manière que les angles en A soient opposés au sommet , prolongez les côtés QE, CD, jusqu'à leur rencontre tn H ; les deux rectangles ABCD, AEHD, ont même hauteur AD ; ils sont donc entre eux comme leurs bases AB, AE : de même les deux rectangles AEHD, AEGF, ont même hauteur AE; ils sont donc entre eux comme leurs bases AD , AF : ainsi on aura les deux proportions,

ABCD:AEHD::AB:AE» AEHD;AEGF::AD:AF.

Multipliant ces proportions par ordre, et obser<« yant que le moyen terme AEHD peut être omis Onz^ éd. 5

% ioi>

6|$ GBOMÉTAIX.

comme multiplicateur commun à l'antécédent et âu \ conséquent, on aura,

ABCD: AÈGF::AB x AD: AE x Af .

Scholie. Donc on peut prendre pour mesure d'un rectangle le produit de sa base^par sa hauteur, poorYU qu'on entende par ce produit celui de deux nombres,, qui sont le nombre d'unités linéaires contenues dans la base , et le nombre d unités linéaires contenues dans la hauteur. ^

Cette mesure, d ailleurs, n'est pas absolue, mais seulement relative; elle suppose qu'on évalue semblablement un autre rectangle en mesurant ses côtés par la même unité linéaire ; on obtient ainsi un second, produit , et le rapport des deux produits est égal à cehii des rectangles, conformément à la proposition qu'on vient de démontrer.

Par exemple, si la base du rectangle A est de trois unités et sa hauteur de dix , le rectangle sera représenté par le nombre 3 X lo, ou 3o, nombre qui ainsi isolé ne signifie rien; mais si on a un second rectangle B dont la base soit de douze unités et la hauteur de sept, le second rectangle sera représenté par le nombre 7 X 12, ou 84 : de -là on conclura que les deux rectangles A et B sont entre eux comme 3o est à 84 ; donc, si on convenait de prendre le rectangle A pour lunité de mesure dans les surfaces, le rectangle B aurait alors pour mesure absolue 3*, c'est-à-dire quil serait égal à y* d'unités superficielles.

Il est plus ordinaire et plus simple de prendre le quarré pour l'unité de surface, et on choisit le quarré dont le côté est lunité de longueur ; alors la mesure que nous avons regardée simplement comme relative devient absolue : par exemple le nombre 3o, par lequel nous avons mesuré le rectangle A, représente 3o fg. io!2. unités superficielles, ou 3o de ces quarrés dont le côté est égal à Tunité : c'est ce que la fig. loa rend sensible'.

LIYRB III. 6y

On confond assez souvent en géométrie le produit de deux lignes avec leur rectangle ^ et cette expression a même passé en arithmétique pour désigner le produit de deux nombres inégaux, comme on emploie celle ^ quarré pour exprimer le produit d'un nombre multiplié par lui-même.

Les quarrés des nombres i , 2 , 3 , etc. , sont i , 4» 9, etc.- Aussi voit- on que le quarré fait sur une ligne double est quadruple ; ^ur une ligne triple , il est neuf fig. j(à. fois plus grand, et ainsi de suite.

PROPOSITION V

THÉOEEME.

IJuire d^un parallélogramme quelconque est égale au produit de sa hase par sa liauteur.

Car le parallélogramme ABCD est équivalent au fig. 97. rectangle ABEF , qui a même base AB et même hauteur BÈ*; or celui-ci a pour mesure ABxBE**: *i,**4. Donc ABxBE est égal à Taire du parallélogramme ABCD.

Corollaire. Les parallélogranimes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs , et les parallélogrammes dé même hauteur sont entre eux comme leurs bases; car A^ B, G, étant trois grandeurs quel* €onqueS| on a généralement AxC:BxG::A:B.

PROPOSITION VL

THEOREME.

Vaire dun triangle est égale au produit de sa base par la moitié de sa hauteur.

Car le triangle ABC 'est la moitié du parallélo- fig.io^. gramme ABGË^ qui a même base BG ^et même bauteur AD^ : or, la surface du parallélogramme « ^^

es cioÈLiTKllÉ.

*^- = BC X AD*; donc celle du triangle=^BC X AS ou BC X 7AD.

Corollaire: Deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, et deux triangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

PROPOSITION VIL

THEOR£M£i

«g 10^. L'aire du trapèze ÂBCD est égale à sa hau* teur EF, multipliée par la demi -somme des bases parallèles , AB, CD*

Par le point I^ milieu du côté GB, menez KL pa« rallele au côté opposé AD, et prolongez DC jusqu'à la rencontre de KL.

Dans les triangles IBL, ICK, on a le côté ÏB=ICl

par construction , langle LIB = CIK , et . Tanglè

*iî.r. IBL=ICKj puisque CK et BL sont parallèles^,*

* 7, I. donc ces triangles sont égaux * ; donc le trapèze

ABCD est équivalent au parallélogramme ADKL^ et

il a pour mesure Ef* x AL.

Mais on a AL=DK, et puisque le triangle IBL est égal au triangle KCI, le côté BL = CK; donc AB+CD=AL + DK=t=2AL, et ainsi AL est la demi -somme des bases AB, CD; ddiic enfin Taire du ti^apeze ABCD est égale' à la hauteur EF multipliée par la demi-sottimé des bases AB,' CD, ce qui

s'exprime ainsi: ABCD =ËFx ( — Y

Scholie. Si par le point I, milieu de BC, on mené IH, parallèle à la base AB, le point H sera aussi le milieu de AD, car la figure AHIL est un parallélogramme, ainsi que DHIK^ puisque les côtés opposés sont parallèles : on a donc AH=IL et DH=IK; or, 1L=IK, puisque les triangles BIL, CIK, sont égaux; doncAH=DH*

LIYAB III. 6g

On peut rçmairquer que la ligne HI= AL =

— '^ ; donc Faire du trapçze peut s'exprimer aussi

par EF X HI : elle est donc égale à la hauteur du trapèze multipliée par la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles.

PROPOSITION VIII

THEOREME.

Si une ligne AC est divisée en deux parties AB, ^s ^^'

BC , le quarré fait sur la ligne entière AQ co/2-

tiendra le quarréfait sur une pqrtie AB , plus le

quarré fait sur Vautre partie BC , plus deux

fois le rectangle compris sous les deux parties AB,

BC, cç qu'on exprime ainsi, AÇ ou (AB-frBC)