Le tout est plus grand que sa partie

3. Le tout est. égal à la somme des parties dans lesquelles il a été divisé. ,

4. D'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite.

5. Deux grandeurs, ligne, surface ou solide, sont égales , lorsqu étant placées l'une sur Vautre elles coïncident dans toute leur étendue.

PROPOSITION PREMIERE

THBOftâME.

Les angles droits sont tous égaux entre eux.

% 16. Soit la ligne droite CD perpendiculaire à AB, et GH |i ËF; je dis que les angles ACD, EGH seront égaux entre eux.

Prenez Içs quatre distances égales C A , C B , G E , G F, la distance AB sera égale à la distance EF, et on pourra placer la ligne PF sur AB,de manière que le point E tombe en A, et le point F en B. Ces deux lignes ainsi posées coïncideront entièrement l'une avec l'autre ; car, sans cela , il y aurait deux

LIVJIB I. 7

lignes droites de A en B , ce qui est impossible * , «x. i. donc le point 6, milieu de EF , tombera sur le point C, miliei( de AB. Le côté GE étant ainsi appliqué sur C A, je dis que le côté G H tombera sur CD ; car supposons , s*il est possible, qu'il tombe sur une ligne CK différente de CD; puisque, par hypothèse^, *Ae(.io, l'angle EGH = HGF , il faudrait qu on eût ACK =; KCB. Mais l'angle ACK est plus grand que ACD, l'angle KCB est plus petit que BCD; d'ailleurs , par hypothèse, ACD = BCD; donc ACK est plus grand que KCB ; donc la ligne GH ne peut tomber sur une ligne CK différente d<s CD; donc elle tombe sur CD, et l'angle EGH sur ACD; donc tous les' angles droite sont égaux entre eux.

PROPOSITION IL

THEOREME.

Toute ligne droite CD, qui eh rencontre une - ^ autre AB ,/ai£ avec celle-ci deux angles adjacents ACD, BCD, dont la somme est égale à deux angles droits.

Au point C, élevez sur AB la perpendiculaire CE. Langle ACD est la somme des angles ACE , ECD ; donc ACD -f- BCD sera la somme des trois ACE, ECO, BCD. Le premier de ceux-ci est droit, les deux autres font ensemble Faille droit BCE; donc la somme des deux angles ACO, BCD est égale à deux angles droits.

Corollaire I. Si l'un d«)S angles ACD , BCD est droit , Tautre le sera pareillemont.

CoroUaire IL Si la ligne DE est perpendiculaire ^ ^g à AB, réciproquement AB sera perpendiculaire à DE.

Car , de ce que DE est perpendiculaire à AB , il

8 GéoUBTEXS.

5>n$uit que Tangle ACO est égal i son adjacent DGB, et qu'ils sont tous deux- droits. Mais de C0 quQ Tangle ACD est un angle droit , il s'ensuit que son a^jsK^nt AGE ^t aussi un angle droit ; donc Tangle AÇEJsACD , donc AB est perpendiculaine à DE. fig.34. ÇoroUairiS III. Tous les angles consécutifs BAC^ CAD, DAE, EAF, formée d'un même côté de la droite BF y pris ensemble, valent deux angles drcûts ; car leur somnae est |égale à celle des deux aiygloi adjacent» B AQ , ÇAF.

PROPOSITION IIJ

THEOREME.

Deux lignes droites qui ont deux points conir

tnuns coïncident Vune a^c Vautre dans toute

leur étendue y et ne forment qu* une seule et même li^e df^ite. -

fSg. 13. Soient les deux points communs A et B'j d'abord tés deux lignes n'en doivent faire qu^urfe entre A' et B, car sans cela il y aurait deux lignes droites de A

* **'4- m B, ce qui «Btlmpiwsible*. Supposons ensuite que <;és Ugues étant prolongées, elles comihencent à se sépaiter au ^oi»t €, l'une devenant CD, l'autre GE. Menons ^ point C - la ligne CF , qui fasse avec GA l'angle droit AGF-. Puisque la ligne ACD e^ droite,

^^^' ^' l'*ngle PGD sera uh angle droit *^; puisque la ligne ACE est droite, l'î^ngle FCE sera pareillement un angle' droit. Mais la partie FCË ne peut pas être égjile . au tout FCD; donc les lignes droites qui ont àùix points A et B communs , ne peuvent se separei t.u aucun point de ieui* prolongement $ donc elles forment qu une seule et jnéme ligne droite.

lilTKE I. 9

PROPOSITION IV

THI&ORÂXE.

Si deux {ingles adjacents ACD , DCB , valent % m. ensemble deux angles droits y les deux côtés extérieurs AC, CB, seront en ligne droite.

Car si GB n'est pas le prolongement de AG, soit CE ce prolongement; alors la ligne ACE étant droite, la somme des angles AGD, DGE, sera égale à deux droits*. Mais*, par hypothèse, la somme des angles *P'- *• ACD, DCB, est aussi égale à deux droits; donc ACD + DGB serait égale à ACD -f- DGE ; retranchant de part et d'autre langle ACD , il resterait la partie DCB égale au tout DGE, ce qui est impossible; donc GB est le prolongement de AG.

PROPOSITION V

THioaâxE.

Toutes les fbis que deux lignes droites AB, %. a^ D£, se coupent^ les angles opposés au sommet sont égaux.

Car puisijue la ligne DE est droite , la somme des angles AGD, AGE, ^s4: ég^e à de^x droits; et puis*- ^e la ligne AB est droite , la somm^ de$.«ngles AGE BGE, esX égale aussi à deux droits; donc la sommo AGD + AGE ^ égale a la son»me AGE + BGE. Retranchant de part ^et 4Vu|re 1^ pnérae angle AG£ , il lestmra langle AGD égal i {son opposé BGE.

On démontrerait de même que Tangle ACE est égal à son opposé BQJD* ■ ' ,

SehoUe. \é^ qi^atre angles formés autour dan point par d^ux d^o^l^ qui se coupent Talent ^nsemblf

lO GBOMBTIIIS.

quatre angles droits; car les angles AGE, BGE pris ensemble, valent deux angles droits, et les deux autres ÂGD , BGD , ont la même valeur.

%, 31. En général, si tant de droites qu'on voudra G A GB, etc., se rencontrent en un point Ç, la somme de tous les angles consécutifs ACB, BGD, DGE, EGF, FGA; sera égale à quatre angles droits : car si on formait au point G quatre angles droits au moyen de deux lignes perpendiculaires entre elleii , le r- même espace serait rempli, soit par les quatre angles

4roits , soit par les angles successifs AGB ^ BQD , etc.

PROPOSITION VI

TBÉOnâlCE.

Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

iSg. 23. Soit langle A égal à Tangle D, le côté AB égal à DE; le côté AG égal à DF; je dis que les triangles ABC , DEF , seront égaux.

En effet, ces triangles peuvent être posés l'un sUr> Tautre de manière qu'ils coïncident parfaitement. Et d'abord si on place le côté DE sur son égal AB , le point D tombera en A et le point E en B : mais puii>que langle D est égal à Fangle A, dès que le côté DE sera placé sur AB, le côté DF prendra la direction AG. De plus UF est égal à AG; donc le point F tombera en G , et le troisième côté EF couvrira exactement le troisième côté BG; donc le triangle DEF

♦*x. 5. est égal au triangle ABG*.

Corollaire, Dé ce que trois choses sont égales dans deux triangles , savoir , l'angle A = D , le côté AB = DE, et le côté AC = DFy on peut conclure que les

trois autres le sont, savoir, Vangle B = E, Tangle C = F, et le côté BC=:EF.

PROPOSITION VIL

THÉORÈME

Deux triangles sont égaux ^ lorsquils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.

Soit le c6të BC égal au côté £F, langle B égal à fig. »3^ Tangle E, et langle G égal à Tangle F; je dis que le triangle DEF sera égal au triangle ABC.

Car, pour opérer la superposition, soit placé EF sur son égal BG, le point Ë tombera en B, et le point F en G. Puisque Tangle E est égal à langle B, le côté £D prendra la direction BA ; ainsi le point D se trouvera sur quelque point de la ligne BA. De même, puisque l'angle F est égal à langle G , là ligne FD prendra U direction GA, et le point D se trouvera sur quelque point à\\ côté CA; donc le point D qui doit se trouver à-la-fois sur les deux lignes BA, GA, tombera sur leur intersection A ; donc les deux triangles ABG, DEF, coïncident lun avec Tautre, et sont parfaitement égaux.

Corollaire, De ce que trois choses sont égales dans deux triangles, savoir^ BG = EF, B = E,C=:F,on peut conclure que les trois autres le sont.> savoir, AB = DE, AG=DF, A=D.

PROPOSITION VIII

THEOREME.

Dans tout triangle un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Car la ligne droite BC, par exemple, est le plus fig. ^3.

la GEpMfiTAIX.

^déf. 3. court chemin de B en G^ , donc BC est plus petit que BA-hAC.

PROPOSITION IX

THEOREME.

-Bg. a4. Si d'un point O pris au - dedans du triangle ABC , on fnène aux extrémités d*un côté BC lei droites OB, OC, la somme de ces droites sera mpindre que celle des deux autres côtés AB , AC, Soit prolongé BO jusqu'à la rencontre du côté AC en D ; la li^ne droite OC est* plus courte que OD -f-

^pr. 8. DC* : ajoutant de part et d^autre BO , on auia BO -f- OC < BO+OD-f-DC, ou BO+OC < BD-f-DC.

On a pareillement BD < BA+AD ; ajoutant de part et d'autre DC , on aura BD+DC < BA-f- AC. Mais on vient de trouver BO -f- OC < BD-f-DC ; donc à plus forte raison , BO + OC < B A 4- AC.

PROPOSITION X

THÉORÂME.

i;. %s. Si les deux côtés AB, AC, du triangle ABC sprtt égaux aux deux côtés DE , DF , du triangle REF , chacun à chacun ; si en même temps V angle BAC , compris par les premiers , est plus grand que V angle EDF , compris par les seconds ; je dis que le troisième côté BC du premier triangle sera plus grand que le troisième EF du second. Faites langle CAG=D, prenez AG = DE, et joignez CG, le triap^e GAC sera égal ati triangle DEF , puisqu'ils ont par construction, un angle égal

tpr. 6. compris entre côtés égaux* ; on aura donc CG==EF. Maintenant il peut y avoir trob cas , selon que le point

tlVRE I. l3

G tombe hors du triangle ABC , ou sur le côté BG ; ou ail-dedans du même triangle.

Premier cas. La ligne droite GC est plus courte gg. aS. que GI + IG , la ligne droite AB est plus courte que AlH-IB; donc GC+AB est plus petit que GI+AI + IC H- IB, ou, ce qui est la même chose, GC + AB < AG +BG. Retranchant d un côté AB et de lautre son égale AG-, il restera GC < BC : or GC = EFj donc on aura EF< BG.

Second cas. Si le point G tombe sur le côté BG, il fig 26. est évident que GC ou son égale £F sera plus petit que BG.

TTroisieme cas. Enfin si le point G tombe au-dedans fig. sy. du triangle ABC, on aura , suivant le théorème précédent, AG-i-GG<AB+BG. Retranchant d'une part AG , et de l'autre son égale AB , il restera GC < BG , ou EF<BG.

Scholie, Réciproquement si les deux côtés AB,AG, du triangle ABC sont égaux aux depx côtés DE, DF, du triangle DEF; si, de plus, le troisième côté CB du premier triangle est plus grand que le troisième EF ' du second, je dis que Fangle BAC du premier triangle sera jdus grand que Fangle EDF du second.

Car si on nie cette proposition , il faudra que l'angle BAC soit égal à EDF , ou qu'il soit plus petit que EDF, dans le {Nreraief cas , le côte CB serait égal à EF^ ; dans le second , CB serait plus petit que EF ^ or Fun et Tautre est contraire à la supposition ; donc BAC est plu5 grand que EDF.

PROPOSITION XL

•FH£OfiEM£.

Veux triangles sont égaux j lorsqu'ils ont les tivis câtés égaux chacun à chacun.

t4 GÉOKÉT&IE.

fig. a3. Soit le côté AB=DE, AC=DF, BCinEF , je di5 quon aura Tangle A=D, B=E, C=F.

Car si l'angle A était plus grand que Tangle D', comme les côtés AB, AG, sont égaux aux côtés DE^ DF^ chacun à chacun , il s'ensuivrait, par le théorème précédent, que le côté BG est plus grand que £F; et si Fangle A était plus petit que TangleD, il s'ensuivrait que le côté BG est plus petit que EF ; or , BG est égal à EF; donc l'angle A ne peut être ni plus grand ni plus petit que l'angle D; donc il lui est égal. On prouvera de même que l'angle B=E, et que l'angle G = F.

Scholie. On peut remarquer que les angles égaux sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux A et D sont opposés aux côtés égaux BG, EF.

PROPOSITION XIL

THBOREXE.

Dans un triangle isoscele , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

fig. aS. Soit le côté AB = AG, je dis qu'on aura Fàngle G=B.

Tirez la ligne AD du sommet A au point D, milieu de la base BG, les deux triangles ABD, ADG, auront les trois côtés égaux chacun à chacun; savoir ÀD commun, AB=AG par hypothèse, et BD = DG par construction ; donc , en vertu du théorème précédent , Fangle B est égal à Fangle G.

Corollaire. Un triangle équilatéral est en même temps équiangle, c'est-à-dire, qu'il a ses angles égaux.

Scholie. L'égalité des triangles ABD , AGD , prouva en même temps que l'angle BAD = DAG, et que l'angle BDA=ADGî donc ces deux derniers sont

LlYàS I* t5

droits ; dono la ligne menée du sommet d^un triangle isoscele au milieu de sa base , est perpendiculaire à cette base^ et divise C angle du sommet en deux parties égales.

Dans un triangle non isoscele on prend indifféremment pour base un côté quelconque , et alors son sommet est celui de l'angle opposé. Dans le triangle isoscele on prend particulièrement pour base le côté qui n'est point égal à l'un des deux autres.

PROPOSITION XIII

THIÊORBME.

Réciproquement^ si deux angles sont égaux dans un triangle , les côtés opposés seront égaux , et le triangle sera isoscele.

Soit Tangle ABC=ACB, je dis que le côté AC sera gg, ^^^ égal au côté AB.

Car si ces côtés ne sont pas égaux, soit AB le plus grand des deux. Prenez BD=i:AG, et joignez DC. L'angle DBG est, par hypothèse, égal à ACB; les deux côtés DB, BC sont égaux aux deux AG , GB ; donc le triangle DBG * serait égal au triangle AGB. *pr.6. Mais la partie ne peut pas être égale au tout; donc il n^ ft point d'inégalité entre les côtés AB , AG ; done le triangle ABG est isoscele.

PROPOSITION XIV

THiORBXE.

De deux côtés d^un triangle^ celui-là est le plus grand qui est opposé à un plus grand angle , et réciproquement, de deux angles d'un

l6 GÉOMÉTRIE.

triangle ) celui'- là est le plus grand qui est opposé à un plus grand côté.

iig. 36. ^^ ^^^ Tangle C > B , je dis que le côté ÂB oppoit à langle C est plus grand que le côté ÂC opposé à langle B.

Soit fait langle BCD = B ; dans le triangle BDC "'p'ir, 13." on aura ^ BD=D(1 Mais la ligne droite ÂG est plus courte que AD + DC, et AD 4- DC=: AD + DB= AB; donc AB est plus grand que AG.

2^ Soit le côté AB > AG , je dis que l'angle G opposé au côté AB sera plus grand que langle B opposé au côté AC.

Gar si oh avait G<B, il s'ensuivrait, par ce qtii

vient detre démontré, AB< AG, ce qui est contre la

♦pr.,3. supposition. Si on avait G=:B, il s'ensuivrait * AB=:

AG, ce qui est encore contre la supposition ; donc il

faut que langle O soit plus grand que B.

PROPOSITION XV

THÉOEéME.

fig. 3x. D'un point A donné hors dlune droite DE, on ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à cette droite.

Car supposons qu'on puisse eh mener deux AB et AC; prolongeons lune d'elles AB d'une quantité BF =:AB, et joignons FC

Le triangle GBF est égal au triangle ABC : car l'angle GBF est droit ainsi que GBA , le côté GB est commun , et le côté BF = AB ; donc ces triangles ♦pr. 6; sont égaux *, et il s'ensuit que l'angle BGF = BCA. L'angle BCA est droit par hypothèse; donc l'angle BGF lest aussi. Mais si les angles adjacents BGA^ BGF, valent ensemble deux angles droits, il faut que la Uff ne

iLlVRE I. • 17 ,

ÂCF* soit droite * ; d où il résulte qu'entré les deux *j>r. 4. Blêmes points A et F, on pourrait mener deux lignes droites ABF, ACF; ce qui est impossible *; donc il *ax.4. est pareillement impossible, que deux perpendiculaires soient menées d'un même point sur la même ligne droite.

Scholie, Par un même point G donné sur la ligne fig. 17. AB , il est également impossible de mener deux perpendiculaires à. cette ligne : car si CD et CE étaient ces deux perpendiculaires, Tangle DCB serait droit ainsi ^ue BGE, et la partie serait égale au tout. ,

PROPOSITION XVI

THÉORÈME

&' d^un point A situé hors d'une droite DE on H* ^^' mené la perpendiculaire AB sur cette droite, et différentes obliques AE , AC, AD , etc. j à différents points de cette même droite :

1^ La perpendiculaire AB sera plus courte que toute obliqué.

2® Les deux obliques, AC, ÀE, menées de part et d'autre de la perpendiculaire à des dis-tances égales BC, BE , seront égalés.

3<> De deux obliques AG et AD , ou AE et AD ^ menées comme on voudra , celle qui s'écarte le plus de la perperidiculaire sera la plus longue.

Proloiige2 là perpendiculaire AB d'une quantité BF== AB , et joignez FC , FD.

1° Le triangle BCF est égal au triangle BCA, car l'angle droit GBF=CBA, le côté GB est commun ^ et

Douz. éd. Si

l8 GÉOMBTRIB.

*pr. 6. le côté BF z= BA ; donc * le trobieme côté CF est égû au troisième AG. Or, ABF ligne droite est plus cotirte que ACF ligne brisée; donc AB moitié de 'ABF est plus courte que AC moitié de ACF; donc i^, la per^ pendiculaire est plus courte que toute oblique.

2^ Si on suppose BE=:BG, comme on a en outre AB commun et l'angle ABE= ABC , il s'ensuit que le triangle ABE est égal au triangle ABC; donc les côtés AE, AC sont égaux; donc a<*, deux obliques quis^écartent également de la perpendiculaire sont égales.

3^ Dans le triangle. DFA la somme des lignes AG, •pr.9. CF , est plus petite* que la somme des côtés AD, DF;, donc AC, moitié de la ligne ACF, est plus courte que AD moitié de ADF; donc 3*^, les obliques qui s'écartent le plus de la perpendiculaire sont les plus longues.

Corollaire I. La perpendiculaire mesure la vraie distance dun point à une ligne, puisqu'elle est plus courte que toute oblique. .

II. D un même point on ne peut mener à une même ligne trois droites égales : car si cela était, il y aurait d'un même côté de la perpendiculaire deux obliques égales, ce qui est impossible.

PROPOSITION XVIL

THEOREME.

(ig. 32. Si par le point C, milieu de la droite AB, oh élevé la perpendiculaire EF sur cette droite; i" chaque point de la perpendiculaire sera égà" lement distant des deux extrémités de la ligne ABj 7^^ tout point situé hors de la perpendicu-

iiVRE I, 19

bire ierà inégalement distant des mêmes extrémités A. et B.

Car, I® puisqu'on suppose AC=CB, les deux obli* qùes AD, DE, s'écartent égalefnent de la perpendiculaire ; donc elles sont égales. Il en est de même des deux obliques AE, EB, des deux AF, FB , etc. ; dotic i^y tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités A et B.

n^ Soit I un point hors de la perpeiidiculaire \ si en joint lA, IB^ Tune de ces lignes coupera la perpendiculaire en D, d^où tirant DB, on aura DB=DA. Mais la ligne droite IB est plus petite que la ligne brisée ID+DB, et IDh-DB=IDh-DA=IA; donc IB<IA; donc 2<*, tout point hors de la perpendiculaire est inégalement distant des extrémités A et B.

PROPOSITION XVIII

THEOREME.

Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont Vhypoténuse égale et un côté égal.

Soit l'hypoténuse AC=DF , et le côté AB==DE , je «g. 33. dis que le triangle rectangle ABC sera égal au triangle rectangle DEF.

L'égalité serait manifeste si le troisième côté BC était égal au troisième EF : supposons , s il est possible , que ces côtés ne soient pas égaux , et que BC soit le plus grand. Prenez BG=EF , et joignez AG. Le triangle AB6 est égal au triangle DEF ; car l'angle droit B est égal à l'angle droit E , le côté AB=D£ , et le'côtë BG=EF; donc ces deux triangles sont égaux ^, * p^.G* ^ on a par conséquent AG=DF; mais, par bypo-

â6 GÉOnUStRlE.

thèse, DF=:AC; donc AG=AC. Mais loblique'AG ♦pf ï6. ne peut être égale à AG*, puisqu'elle est plus éloignée de la perpendiculaire AB ; donc il est impossible que BC diffère de EF; donc le triangle ABC est ^al au triangle DEF.

PROPOSITION XIX

THEOREME.

*déf.ia.

fig. 35. Si deux lignes droites AC , BD , sont perpendiculaires à une troisième AB, ces deux lignes seront parallèles y c'est-à-dire ^ qu'elles ne pourront se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge*.

Car si elles pouvaient se rencontrer en un point 0, d^un côté ou de lautre de la ligne AB , il existerait deux perpendiculaires OA, OB , abaissées dun même point ♦pr. i5. gyp ^jjg même droite AB , ce qui est impossible *«

PROPOSITION XX

LEMME

âj. 35. La droite BD étant perpendiculaire à AB , si une autre droite AE fait avec AB l'angle aiffi BAE , je dis que les droites BD , AE, prolongées suffisamment^ se rencontreront.

Dun point quelconque F pris dans la direction AE, soit abaissée sur AB la perpendiculaire FG; le, point G ne tombera pas eîi A, puisque l'angle FAB est moindre qu'un droit ; il peut encore moins tomber en H sur le prolongement de BA , puisqu alors il y ■ aurait deux perpendiculaires KA, KH, abaissées d'un i