LIVRE i; ai

même point K sur une même droite AH. Donc il faut que le point G tombe, comme la figure le représente, dans la direction AB.

Soit pris maintenant sur la ligne AÉ un autre point L à- une distance AL plus grande que AF et soit abaissée sur AB la perpendiculaire LM , on prouvera , comme dans le cas précédent, que le point M ne peut tomber ni en G, ni sur la direction GA; il tombe donc sur la direction GB , de sorte que la distance AM sera nécessairement plus grande que AG.

J'observe de plus que si la figure est construite avec soin et qu'on prenne AL double de AF, on trouvera que AM est exactement double de AG ; de même si on jirend AL triple de AF , on trouvera que AM est triple de AG, et en général il y aura toujours le même rapport entre AM et AG, qu'entre AL et AF. Cette proportion étant posée , il s'ensuit non seulement que la droite AE suffisamment prolongée doit rencontrer BD , mais qu'on peut même assigner sur AE la distance du point de concours de ces deux droites. Cette distance devra être le quatrième terme de la proportion AG : AB : : AF : x.

Scholie, L'explication précédente, fondée sur un rapport qui n'est pas déduit du seul raisonnement, et pour lequel on a recours à des mesures prises sur une figure construite exactement y n'a pas le même degré de rigueur que les autres démonstrations de la géométrie élémentaire. Nous ne la donnons ici que comme un moyen simple de s'assurer de la vérité de la proposition, et jious renvoyons , pour la démonstration rigoureuse, à la deuxième des notes jointes aux éléments.

aa CEOMETHIB.

PROPOSITION XXI

THEOREME.

fig.36. Si deux droites AC, IXO ^font avec une troU sieme AB, deux angles intérieurs C\h ^ ABD, dont la somme soit égale à deux droits , les deux lignes AC , BD , seront parallèles.

Du point G milieu de AB,, menez la droite EGF perpendiculaire à AC, je dis que cette même droite sera perpendiculaire à BD; en effet, la somme GAE-f- GBD est égale par hypothèse à deux angles droits, la somme GBF + GBD est pareillement égale à deux

*PT- a- angles droits*; donc en retranchant de part et d'autre r^ngle GBD, il restera l'angle GAE=GBF. D'ailleurs les angles AGE , BGF , sont égaux comme opposa au commet; donc les triangles AGE, BGF, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux. Donc ils sont

*PT- 1* égau)ç *, dope Fangle BFG= AEG ; mais Tangle AEG est droit par construction, donc les droites AC, BD, sont perpendiculaires à une même ^^oite EF; donc

♦pr.19. giigg gQjj|. parallèles *.

PROPOSITION XXIL

THEOREME.

fig. 3$. Si deux lignes droites A I , BD ^ font avec une troisième AB , deux angles intérieurs B AI , ABD, dont la somme soit moindre que deux angles droits ^ les lignes AI , BD , prolongées y se rencontreront.

Menez AC de manière que l'angle CAB soit égal à ABF , c'est-à-dire , de manière que les deux angles CAB , ABD , pris ensemble fassent deux angles droits ,

IiIYRB I. a3

et achevez le reste de la construction comme dans le théorème précédent. Puisque langle A£K est droit, AE est une perpendiculaire plus coiute que loblique AK; donc dans le triangle AEK*, langle AKE op- *P'i4. posé au côté AE est plus petit que langle droit AEK opposé au côté AK. Donc langle IKF égal à AEK, est plus petit qu'un droit ; donc les lignes Kl , FD prolongées doivent se rencontrer*. ♦pr.ao.

Scholie, Si les lignes AM et BD faisaient avec AB deux angles BAM , ABD , dont la somme fût plus grande que deux angles droits, alors les deux ligne» AM, BD , ne se rencontreraient pas au-dessus de AB^ mais elles se rencontreraient au-dessous. Car les deux angles BAM , BAN , valent deux droits y ainsi que les deux angles ABD , ABF ; donc ces quatre angles pris ensemble valent quatre angles droits. Mais la somme des deux angles BAM , ABD , vaut plus que deux droits, donc la somme des deux restants BAN, ABF, vaut moins; donc les deux droites AN, BF, prolongées doivent se rencontrer.

Corollaire. Par un point donné A on ne peut mener qu'une seule parallèle à une ligne donnée BD. Car il ny a quune ligne AC qui fasse la somme des deux angles BAC -h ABD égale à detuT angles droits; celle-là est la parallèle demandée : toute autre 'ligne AI ou AM ferait la somme des angles intérieurs plus petite ou plus grande que deux angles droits; donc elle rencontrerait la ligne BD.

PROPOSITION XXIIL

THEORâME.

Si deux lignes parallèles AB , CD , sont ren- ^ • montrées par une sécante EF , la somme des

«4 6ÉOMETRIB.

angles intérieurs AGO , GOC , sera égale à deux angles droits.

Car si elle était plus grapde ou plus petite les deux droites AB, CD , se rencontreraient d'un côté ou de ^pr.as. l'autre* et ne seraient pas parallèles.

Corollaire I. Si lai^gle GOC est droit, l'angle AGO sera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpenr diculaire à lune des parallèles ^st peipendiculaire à l'autre.

Corollaire II. Puisque la somme AGO -4- GOC est égale à deux angles droits, et que la somme GOD-h GOC est aussi égale à deux angles droits ; si on retranche de part et d'autre GOC , on aura l'angle AGO *pr-5. =GOD. D'aiUeurs AGO=BGE, et GOD=COF*; donc les quatre angles aigus AGO, BGE, GOD, C07, ^sont égaux entre eux; il en est de même des quatre angles obtus AGE, EGO, GOC, DOF. On peut observer de plus qu'en ajoutant l'un des quatre angles aigus à l'un des quatre obtus , la somme sera toujours égale à deux angles dreits.

Scholie. Les angles dont on vient de parler , comparés deux à deux, prennent différents noms. Nous avons déjà appelé les angles AGO, GOC, intérieurs d^un même côté; les angles BGO , GOD , ont le même nom ; les angles AGO , GOD , s'appellent alternes» internes y ou simplement alternes^ il en est dé même fies angles BGO , GOC. Enfin on appelle internesexternes les angles EGB , GOD , ou EGA , GOC , et alternes-externes les angles EGB, COF, ou AGE, DOF. pela posé on peut regarder les propositions suivantes comme étant déjà démontrées.

1° Les angles intérieurs d'un même côté, pris eniSemblC) valent deux angles droits.

IiIYRE I. 25

^ ^à" Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi que les angles internes-externes , et les angles alternesexternes.

Réciproquement si dans ce second cas deux angles

de même nom sont égaux , on peut conclure que les

lignes auxquelles ils se rapportent sont parallèles.

Soit, par exemple , l'angle AGO = GOD ; puisque GOG

GOD , est égal à deux droits , on aura aussi AGO

GOG égal à deux droits, donc* les lignes AG, CO, *prai'

. sont pai:^lleles.

PROPOSITION XXîV,

THEOREME.

Deux lignes AB , CD , parallèles à une troi- ^s- ^8 sieme EF , sont parallèles entre elles.

Menez la, sécante PQR perpendiculaire à EF.

Puisque AB est parallèle à EF , la sécante PB sera ^ ^^ ^ perpendiculaire à AB * ; de même puisque CD est pa- pr. parallèle à EF, la sécante PB sera perpendiculaire à CD. Donc AB et CD sont perpendiculaires à la même dioite PQ; donc elles sont parallèles*. ♦pr.19.

PBOPOSITION XXV.

THEOHEME.

Deux parallèles sont par-tout également distantes.

Etant données les deux parallèles AB , CD , si par fig. 39. deux points pris à volonté, on élevé sur AB les deux perpendiculaires ÈG , FH , les droites EG, FH , seront en même temps perpendiculaires à CD * ; je dis de plus ♦pr. a3. que ces droites seront égales entre elles.

a6 GÉOMÉTHIK.

Car en tirant GF, les angles GFE, FGH , considërçg par rapport aux parallèles ÂB , CD, seront égaux ^3* comme alternes - internes * ; de même puisque les droites EG , FH , sont perpendiculaires à une même droite AB, et par conséquent parallèles entre elles, les angles EGF, GFH, considérés par rapport aux parallèles GE , FH , seront égaux comme alternesinternes. Donc les deux triangles EFG , FGH , ont un côté commun FG adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun ; donc ces deux triangles sont fft-fj. égaux*; donc le côté EG qui mesure la distance des parallèles AJB , CD , au point E , est égal au côté FH, qui mesure la distance de ces mêmes parallèles au point F.

PROPOSITION XXVI

THEOREME.

H' 40. Si deux angles BAC, DEF, ont les côtés paralleles , chacun à chacun , et dirigés dans le même sens^ ces deux angles seront égaux.

Prolongez , s'il est nécessaire , DE jusqu'à la ren-

' contre de AC en G ; l'angle DEF est égal a DGC ,

ifpr.aS. parce que EF est parallèle à GC* ; l'angle DGC est

égal à BAC , parce que DG est parallèle à AB ; donc

Tangle DEF est égal à BAC.

Scholie, On met dans cette proposition la restriction que le côté EF soit dirigé dans le même sens que AC et ED dans le même sens que AB; la raison en est que si on prolonge FE vers H, l'angle DEH aurait ses côtés parallèles à ceux de l'angle BAC, mais ne lui serait pas égal. Dans ce cas ^ Tanglç DEH -^