LIVRE VII

. composer le triangle DEF, et pareillement il fau- •ait ajouter les trois triangles APC , CPB, APB, pour i composer le triangle ABC; d'ailleurs la dëmonstram et la conclusion seraient toujours les mêmes.

PROPOSITION XXII

THEOREME.

Si deux grands cercles AOB , COD , se coupent cg. aSSi omme on voudra dans Vhémisphere AOCBD., % somme des triangles opposés AOC , BOD , sera gale au fuseau dont V angle est BOD.

.Car, en proloogeant les arcs OB, OD, dans l'autre lémisphere jusqu'à leur rencontre en N , OBN sera me demi-circonférence , ainsi que AOB \ retranchant le part et d'autre OB , on aura BN = AO. Par une aison semblable on a DN = CO , et BD = AC ; donc es deux triangles AOC , BDN , ont les trois côtés égaux: L'ailleurs leur position est telle qu'ils sont symmétri- [ues lun de l'autre; donc ils sont égaux en surface * , * ^H X la somme des tiûangles AOC , BOD , est équivalente LU fuseau OBNDO dont l'angle est BOD.

Scholie.H est clair aussi que les deux pyramides •phériques qui ont pour bases les triangles AOC, )0D , prises ensemble , équivalent à Tonglet sphé* îque dont l'augle est BOD.

PROPOSITION XXIII

THEOREME.

La surface d'un triangle sphérique quelconque t pour mesure l'excès de la soinnie de ses trois Migles sur deux angles droits.

Soit ABC le triangle proposé ; prolongez ses côtés %• aSy^

Onz. édit. jS

^^6 CÉOMÉTlllC,

jusqu'à ce qu'ils rencontrent le grand cercle DEF6 mené comme on voudra hors du triangle. En Tertu théorème précédent, les deux triangles ADE, AGH|«t pris ensemble ^ équivalent au fuseau dont l'angle ert'

* ao. A, et qui a pour mesure a A* : ainsi on aura AI)E+

AGH=:2A^ par une raison semblable BGF + BID = 2B , cm + CFE = 2C. Mais la somme de ces ax triangles excède la demi-sphere de deux fois le tr^ angle ABC, d ailleurs la demi-sphere est représenta par 4 ; donc le double du triangle ABC est égal à ai + aB + aC -— 4 j et par conséquent ABC = A + B +C — a ; donc tout triangle sphérique a pour mesure la somme de ses angles moins deux angles droits.

Corollaire I. Autant il y aura d^angles droits dans cette mesure, autant le triangle proposé contiendit de triangles tri-rectangles ou de huitièmes de sphera

* Ao. qui sont lunité de surface^. Par exemple, si les angles

sont égaux chacun aux f d'un angle droit, alors la trois angles vaudront 4 angles droits, et le triangle proposé sera représenté par 4 — 2 ou a ; donc il sera égal à deux triangles tri-rectangles ou au quart de h surface de la sphère.

Corollaire II. Le triangle sphérique ABC est équi*

valent au fuseau dont l'angle, est i j de

même la pyramide sphériqiie , dont la base est ABC , équivaut à longlet sphérique dont l'angle est

•Scholie. En même temps qu on compare le triangle sphérique A B C au triangle tri - rectangle , la pyraniide sphérique qui a pour base ABC se compare avec la pyramide tri-rectangle , et il en résulte la même proportion^ L'angle solide au sommet de la pyramide se compare de même aved Tangle isollde au sommet de la pyramide tri - rectangle : an eïïet la comparai*

I ft^^tablit par la coïncidence des parties. Or, si bases des pyramides coïncident , il est évident que pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi que angles solid^ à leur sommet. De là résultent pluurs conséquences.

z^ Deux pyramides triangulaires sphériques sont tre elles comme leurs bases; et, puisqu'une pyrade polygonale peut se partager en plusieurs pyradlea triangulaires , il s'ensuit que deux pyramides lériqœs quelconques sont entre elles comme lé)i lygones qui leur servent de bases.

2»^ Les angles solides au sommet des mêmes pyra» ides sont également dans la proportion des bases ; me 9 pour compak*er deux angles solides quelconlas 9 U Êiut placer leurs sommets au centre de deux iheres égales, et ces angles solides seront entre eux imme les polygones sphériques interceptés entre lurs plans ou faces.

L^angle au sbmmet de la pyramide tri-rectangle est »rmé par trois plans perpendiculaires entre eux : cet Dgle, qu'on peut appeler angle solide droite est trèsropre à servir d'unité de mesure aux autres angléi dlides. Gela posé , le même nombre qui donne Taire 'un polygone sphérique donnera la mesure de l'angle >lide correspondant. P^r exemple, si Faire du polyone sphérique est | , c'est-à-dire , s'il est les j du iangle tri -rectangle, l'angle solide correspondant sra aussi les j de Tangle solide droit.

PROPOSITION XXIV

THBOaâKlS.

Xa surface d'un polygone sphérique a pour lesure la somme de ses angles , moins le pro^

Oa8 GBOMÉTRIX.

duit de deux angles droits par le nombre côtés du polygone moins deux.

fig. 240. DW même sommet A soient menées à tooskll autres sommets les diagonales AG , AD ; le polygoDll;^ ABCDE sera partagé en autant de triangles màA deux qu^il a de côtés. Mais la surface de chaque triangle a pour mesure la somme de ses angles mdii deux angles droits , et il est clair que la somme detooi les angles des triangles est égale à la somme desandét du polygone : donc la surface du polygone est égale à la somme de ses angles diminuée d'autant de fois ieà angles droits qu'il a de côtés moins deux.

Scholie, Soit s la somme des angles d'un polygOM «phérique , n le nombre de ses côtés ; l'angle drak étant supposé l'unité , la surface du polygone ann pour mesure s — 2 {n — 2) ou s — a/i+4»

PROPOSITION XXV

THÉORÈME

Soit S le nombre des angles solides d'un polyèdre y"^}» nombre de ses faces y A. le nombre de ses arêtes ;je dis qu!» fiura toujours S rf- H = A-|- 2.

. Prenez au-dedans du polyèdre un point d'où vous ^leB^ rez des lignes droites aux sommets de tous ses angles j îmgînez ensuite que du même point comme centre on décrive une surface sphérique qui soit rencontrée par toutes ces lignes en autant de points ; joignez ces points par des arcs de grands cercles , de manière à former sur la surface deli sphère des polygones correspondants et en même nombre fig. 240. avec les faces du polyèdre. Soit ABCDE un de ces polygones et soit n le nombre de ses côtés ; sa surface sera s — a/i-|-4i s étant la somme des angles A , B , C , D , £. Si on éyalue semblablement la surface de chacun des autres polygone! •»phériques , et qu*on les ajoute toutes ensemble , on enconïîlura que leur somme, ou la surface de la sphère représentée par 8 , est égale à la somme de tous les angles des polygones,