LIVRE vu; htH
it on a déjà vu beaucoup d'exemples, que le fuseau
toujours à la sphère comme Tare MN est à la cir« iférence.
Corollaire I. Deux fuseaux sont entre eux comme irs angles respectifs. .
Corollaire II. On a déjà vu que la surface entière
la sphère est égale à huit triangles tri-rectangles * ; '^^ ne, si l'aire d'un de ces triangles est prjbse pour mité, la sui:face de la sphère sera représentée par 8, da posé , la surface du fuseau dont l'angle est A sera primée par 2Â (si toutefois Fangle A est évalué
prenant l'angle droit pour unité) ; car on a 2A : 8 A : 4- Il 7 a donc ici deux unités différentes ; Tune >ur les angles, c'est l'angle droit ; l'autre pour les irfaces, c'est le triangle sphérique tri -rectangle, ou (lui dont tous les angles sont droits , et les côtés des jarts de circonférence.
Scholie. L'onglet sphérique compris par les plans MB , ANB , est au solide entier de la sphère comme mgle A est à quatre angles droits. Car les fuseaux ant égaux, les onglets sphériques seront pareillement égaux : donc deux onglets sphériques sont entre IX comme les angles formés par les plans qui les >mprennent.
PROPOSITION XXL
THEOREME.
Deux triangles sphériques symmetriques sont yaux en surface.
Soient ABC , DEF deut triangles symmetriques , ^5- ^^7- ;5t-à-dire deux triangles qui ont les côtés égaux, AB = DE, AC=:DF, CB=:EF, et qui cependant ne >urraient être superposés ; je dis que la surface AEC t égale à la surface DEF.
224 GEOMÉTRÏk;
Soit P le pûle du petit cercle qui passerait ps \Jkt^
trois points A, B, C (i) ; de ce point soient menés
-•j6. arcs égaux * PA, PH, PC ^ au point F faites raii|^l$i
DFQ=AGP, l'arc TQ=CP,^t joignez DQ, EQ.
Les côtés DF, FQ, sont égaux aux côté» AC,CP| Tangle DFQ=ACP } donc les deux triangles DFQi "" 12. ACP^ sont égaux dans toutes leurs parties^ ; doDcb côté DQ=AP, et l'angle DQFtzrAPC.
Dans les triangles proposés DF£ , ABC , lés angki DFE, ACB, opposés aux côtés égaux DE, AB, ébm * n» égaux *, si ort en retranche les angles DFQ^ACPf égaux par construction ^ il restera Tangle QFE égalé PCB. D^ailleurs les côtés QF, FE, sotit ^ux m côtes PC, CB ; donc les deux triangles FQE, CPB, sont égaux dans toutes leurs parties ; donc le dé QE — PB ^ et l'angle FQE = CPB.
Si on observe maintenant que les triadgles DFQ) ACP, qui ont les côtés égaux chacun à chacmn, soitfcî en même temps isosceles , on Verra qu'ils peuvent s'ap tf pliquer Fun sur lautre ; car, ayant placé PA sur son égal QF, le côté PC tombera sur son égal QD, el
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ainsi les deux triangles seront confondus en un donc ils sont égaux, donc la surface DQF=:iAPC. Par une raison semblable la surface FQE = CPB ^ et la surface DQE = APB ; donc on a DQF + FQE- DQE=APG + CPB— APB; ou DFE == ABC ; donc les deux triangles symmétriques ABC, DEF, sont égaux eh surface.
Scholic, Les pôles P et Q pourraient être situés audedans des triangles ABC , DEF ; alors il fàiitlfait ajouter les trois triangles DQF, FQE, DQE, pour
(i) Le cercle qui passe par les trois points A, B, C^ on qui est circonscrit au triangle ABC, ne peut être qu'un petit cercle' de la spliere ; car , si c'était un grand cercle , les trois côtés AB^ BC , ÂC , seraient sltut«6 dans un même plan , et le triangle ABC se réduirait ù un de ses côtés.
