LIVRE VII. a

Z *ux propositions i et m de l'appendice au liv. iv ; ainsi on ' peut en tirer , par rapport aux polygones sphériques , les conséquences qui ont lieu pour les polygones rectilignes. - Voici les principales :

'■ 1® De tous les polygones sphériques isopénmetres et d'un même nombre de côtés , le plus grand est un polygone équilatéraL

Même démonstration que pour la prop. II de l'appendice . au livre IV,

a° De tous les polygones sphériques formés avec des côtés donnés et un dernier à volonté ^ le plus grand est celui qu'on i peut inscrire dans un demi-cercle dont la corde du côté non déterminé sera le diamètre,

La démonstration se déduit de la prop. XXVI, comme on l'a vu dans la prop. IV de l'appendice cité; il faut pour l'existence du maximum , que la somme des côtés donnés soit moindre que la demi-circonférence d'un grand cercle.

V^ Le plus grand des polygones sphériques formés avec des côtés donnés y est celui qu'ion peut inscrire dans un cercle de la sphère, .

Même démonstration que pour la prop. VI de l'appendice au livre IV.

4*^ Le plus grand des polygones sphériques qui ont le même périmètre et le même nombre de côtés , est celui qui a ses an^es égaux et ses côtés égaux, ' C'est ce qui résulte des corollaires i et 3 qui précèdent.

Nota, Toutes les propositions de maximum concernant les polygones sphériques s'appliquent auX angles solides dont ces polygones sont la mesure.

334 ciouitfiiE.

ai, 5.

APPENDICE AUX LIVRES VI et YÏÏ.

LES POLYEDRES REGULIERS.

PROPOSITION PREMIERE

THÉORÂKE.

XL ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers.

Car on a défini polyèdres réguliers ceux dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux , et dont tous les angles solides sont égaux entre eux. Ces conditions ne pea- Tent avoir lieu que dans un petit nombre de cas.

i" Si les faces sont des triangles équilatéraux , on péot former chaque angle solide du polyèdre avec trois angles de ces triangles , ou avec quatse , ou av^c cinq : de là naissent trois corps réguliers , qui sont le tétraèdre , Toctaèdre , et | ricosaèdre. On n'en peut pas former un plus grand nombre avec des triangles équilatéraux » car six angles de ces triangles valent quatre angles droits, et ne peuvent former d'angle solide*.

a**Sl les faces sont des quarrés , on peut assembler leurs angles trois à trois ; et de là résulte Fhexaèdrc ou cube.

Quatre angles de quarrés valent quatre angles droits , et ne peuvent former d'angle solide.

3" Enfin , si les faces sont des pentagones réguliers , on pourra encore assembler leurs angles trois à trois , et il en résultera le dodécaèdre régulier.

On ne peut aller plus loin ; car trois angles d'hexagones réguliers valent quatre angles droits , et trois d'heptagones encore plus.

Donc il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers , trois formés avec des triangles équilatéraux , un avec des quarrés , et un avec d?s pentagones.

Scholie, On va prouver dans la proposition suivante qui

LITRB TII. 23S

oei cmq poijidres existent réellement > et qu'on peut en déteiminftr toutes les dimensions lorsqu'on connaît une de leurs faces.

PROPOSITION lï.

PytOBLâlIB.

Etant donnée l'une des faces d* un polyèdre régulier, ou seulement son côté, construire le polyèdre.

Ce problème en présente cinq qui vont être résolus successiyement.

Construction du tétraèdre.

Soit ABC le triangle équilatéral qui doit être une des faces du tétraèdre ; au point O , centre de ce triangle, élevez OS *' \ perpendiculaire au plan ABC ; terminez cette perpendiculaire au point S , de sorte que AS= AB ; joignez SB , SC , et la pyramide SABC sera le tétraèdre requis.

Car, à cause des distances égales OA , OB , OC , les obliques SA , SB , SC , s'écartent également de la perpendiculaire SO et sont égales. L'une d'elles SA = AB ; donc les quatre faces de la pyramide SABC sont des triangles égaux au triangle donné ABC. D'ailleurs les angles solides de cette pyramide sont égaux entre eux , puisqu'ils sont formés chacnin avec trois angles plans égaux ; donc celte pyramide est un tétraèdre régulier.

Construction de Vhexaèdre,

Soit ABCD un quarré donné : sur la base ABCD construi<« tez un prisme droit dont la bauteur AE soit égale au c6té ^* ^^** AB. n est clair que les faces de ce prisme sont d£s quarrés égaux ; et que ses angles solides sont égaux entre eux comme étant formés cbacun avec trois angles droits ; donc ce'prisme ^st un hexaèdre régulier ou cube.

Construction de Voctaèdre.

Soit AMB un triangle équilatéral donné : sur le c6té AB - décrivez le quarré ABCD ; au point O , centre de ce quarré, élevez sur son plan la perpendiculaire TS , terminée de part et d'autre eu T et S , de manière que OT = OS = AO ;

a36 GÉOMÉTRIX.

joignez ensuiie S A , SB , TA , etc. , vous aurez un solide SABCDT , composé de deux pyramides quadrangulaim SABCD, TABCD , adossées par leur base commune ABCD; ce solide sera Toclaèdre régulier demandé.

En effet le triangle AOS est rectangle eu O , ainsi que k triangle AOD ; les côtés AO , ÔS , OD , sont égaux ; donc ces triangles sont égaux, donc AS = AD. On démontrert de même que tous les autres triangles rectangles AOT, BOS, COT , etc. , sont égaux au triangle AOD ; donc tous les côtés AB , AS , AT, etc. sont égaux entre eux , et par conséquent le solide SABCDT est compris sous huit trianglei égaux au triangle équilatéral donné ABM. Je dis de plus que les angles solides du polyèdre sont égaux entre eux : par exemple , Tangle S est égal à Tangle B.

Car il est visible que le triangle SAC est égal "^u triangle DAC , et qu'ainsi l'angle ASC est droit ; donc la figure SATC est un quarré égal au quarré ABCD. Mais si on com« pare la pyramide BASCT à la pyramide SABCD , la base ASCT de la première peut se placer sur la ba^e ABCD de U seconde ; alors le point O étant un centre commun , la haa« teur OB de la première co.ïncidera avec la hauteur OS de It seconde , et les deux pyramides se confondront en une seule; donc l'angle solide S est égal à l'angle solide B ; donc le solide SABCDT est un octaèdre régulier.

Scholie, Si trois droites égales , AC , BD , ST , sont perpendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu , les extrémités de ces droites seront les sommets d'un octaèdre régulier.

Construction du dodécaèdre^

fg. 246. Soit ABCDE un pentagone régulier donné ; soient ABP, CBP , deux angles plans égaux à l'angle ABC : avec ces angles plans formez l'angle solide B , et déterminez par la propo- , sition XXIV, livre v, l'inclinaison mutuelle de deux de ces plans , inclinaison que j'appelle K. Formez semblablement aux points C , D , E , A , des angles solides égaux à l'angle solide B , et situés de la même manière : le plan CBP sera le même avec le plan BCG , puisqu'ils sont inclinés l'un et l'autre de la même quantité K sur le plan ABCD. On peut donc dans le plan PBCG décrire le pentagone BGGFP égal