I.ITRB YII. aSj

tu pentagone ABCDE. Si on fait de même dans chacun des antres plans CDI , DEL ^ etc. , on aura une surface convexe PFOH , etc. composée de six pentagones réguliers égaux et Lnclinés chacun sur son adjacent de la même quantité K. Soit pf^ y etc. une seconde surface égale à PFGH , etc. , je dis que ces deux surfaces peuvent être réunies de manière à ne former qu'une seule surface convexe continue. En effet l'ange opf, par exemple , peut se joindre aux deux angles OPB , BPF , pour faire un angle solide P égal à l'angle B ; et dans cette jonction il ne sera rien changé à l'inclinaison des plans BPF , BPO , puisque cette inclinaison est telle qu'il le £ant pour la formation de l'angle solide. Mais en même temps ^[ne l'angle solide P se forme , le côté/7/*s'appliquera sur son ^gal FF, et an point F se trouveront réunis trois angles plans ¥FG^pfe, efg, qui formeront un angle solide égal à «^acun des angles déjà formés ; cette jonction se fera sans Tien changer ni à l'état de l'angle P , ni à celui de la surface ^/^ , etc. ; car les plans PFG , e^ , déjà réunis en P , ont «ntre eux l'inclinaison convenable K , ainsi que les plans ^S 9 ^fP* Continuant ainsi de proche en proche, on voit ^ue lies deux surfaces s'ajusteront mutuellement l'une avec l'autre, pour ne former qu'une seule surface continue et ren* -trante sur dle-^même : cette surface sera celle d'un dodécaèdre régulier , puisqu'elle est composée de douze pentagones réguliers égaux , et que tous ses angles solides sont égaux entre eux.

Construction de Vicosaèdre.

Soit ABC une de ses faces ; il faut d'abord former un ^g* ^47« angle solide avec cinq plans égaux au plan ABC et également inclinés chacun sur son adjacent. Pour cela , sur le côté B'C, égal à BC, faites le pentagone régulier B'C'HTD'; au centre de ce pentagone élevez sur son plan une perpendiculaire , que vous terminerez en A' de manière que B' A'= B'C; joignez A'C, A'H', AT, A'D', et l'angle soUde A', formé par les cinq plans B'A'C , C'A'H' , etc. , sera l'angle solide requis. Car les obliques A'B' , A'C , etc. sont é|^ales, l'une d'elles A'B' est égale au côté B'C, donc tous les triangles B'A'C, C'A'H' , etc. sont égaux entre eux et au triangle donné ABC.

n est visible d'ailleurs que les plans FA'C^ C'A'H', Cto» sont également inclinés chacun sur son adjacent ; car les angles solides B', C, etc. sont égaux entre eux , pnisqa^îls sont formés chacun avec deux angles de triangles éqnîlaté- -raux et un de pentagone régulier. Appelons K Findinaison des deux plans où sont les angles égaux , inclinaison q[a*oi peut déterminer par la proposition xxiv, liv. ▼; l'angle K sera en même temps Tinclinaison de chacun des plans qui composent l'angle solide A' sur son adjacent.

Cela posé, si on fait aux points A , B, C , des angles solides égaux chacun à Tangle A' , on aura une surface conTeit DëFG , etc. composée de dix triangles écpiilatéraux , dont chacun sera incliné sur son adjacent de la quantité K; et les angles D, £, F, etc. de son contour réuniront altematiTe* ment trois et deux angles de triangles équilatéraux. Imaginez une seconde surface égale à la surface DEFG , etc. ; ces deux surfaces pourront s'adapter mutuellement , enjoignant chaque angle triple de l'une à un angle double de l'autre ; et , comme les plans de ces angles ont déjà entre eux TincUnaison K nécessaire pour former un angle solide quintuple égal à l'angle A , il ne sera rien changé dans cette jonction à rétat de chaque surface en particulier , et les deux ensemble formeront une seule surface continue , composée de Tin^ triangles équilatéraux. Cette surface sera celle de l'icosaèdre régulier, puisque d'ailleurs tous les angles solides sont égaux entre eux.

PROPOSITION III

PROBLEME

Trouver Vinclinaison de deux faces adjacentes d*un /^ fyèdre régulier.

Cette inclinaison se déduit immédiatement de la construotion qui vient d'être donnée des cinq polyèdres réguliers; à quoi il faut ajouter la proposition xxiv , liy. y, par laquelle étant donnés les trois angles plans qui forment un angle solide , on détermine l'angle que deux de ces plans font entre eux.

fig. 343, Dans le tétraèdre. Chaque angle solide est formé de trois

ZiivRE VII. aSp

gles de triangles équilatéraux : il faut donc clierclier par problème cité l'angle que deux de ces plans- font entre X , cet angle sera l'inclinaison de deux faces adjacentes ' tëtraiçdre.

Dans Vhexetèire. IJBXif^t de deux faces adjacentes est un H- ^44'^ gle droit.

I>€ins roctaédre. Formez un angle solide avec deux an- fig. 24^4 >s de triangles équilatéraux et un angle droit , Tinclinain des deux plans où sont les angles des triangles sera le de deux faces adjacentes de i'octacdre.

Dans le dodécaèdre. Chaque angle solide est formé avec fig. 346.. 3is angles de pentagones réguliers ; ainsi Tinclinaison des SUIS de deux de ces angles sera celle de deux faces adjantes du dodécaèdre.

IHuis ricosaedre. Formez un angle solide avec deux an- fig- ^ '. > es de triangles équilatéraux et un angle de pentagone réalier , Tindinais^on des deux plans où sont les angles des iangles sera celle de deux faces adjacentes de ricosaèdre.

PROPOSITION IV

PaOBLEKB.

. JEUuti dorme le côté d*un polyèdre régulier, trouver le M.jfon de la spheré inscrite et celui de la sphère circons^ ^e au polyèdre.

Il faut d'abord démontrer que tout polyèdre régulier peut fig, %(9> ^are inscrit dans la sphère , et qu'il peut lui être circonscrit.

Soit AB le côté conunun à deux faces adjacentes , soient - et £ les centres de ces deux faces , et CD , £D , les perpenditilaires abaissées de ces centres sur le côté commun AB , ^«quelles tomberont au point D, milieu de ce côté. Les deux '«rpendiculaires CD , D£ y font entre elles un angle connu , ;*^ est égal à l'inclinaison de deux faces adjacentes , déterlûiée par le problême précédent. Or si, dans le plan CD£ , Perpendiculaire à AB , on mené sur CD et £D les perpendiculaires indéfinies CD et £0 , qui se rencontrent en O , je lis que le., point O sera le centre de la sphère insente et ielui de la sphère circonscrite ; le rayon de la premier* siant OC , et celui de la seconde OA.

tr

En effet , puisque les apothèmes CD y DE , sont égales, et rhypoténusc DO commune , le triangle rectangle CDO «l

*i8, 1. égal au triangle rectangle ODE * et la perpendiculaire OC est égale à la perj)cndiculaire OE. Mais AB étant perpendiculaire au plan CDE , le plan ABC est perpendiculaire à

•17, 5. CDE* , ou CDE à ABC ; d'aiUeurs CO , dans le plan CDE, est perpendiculaire à CD , intersection commune des plans

•18, 5. CDE , ABC ; donc CO * est perpendiculaire au plan ABC. Par la même raison EO est perpendiculaire an plan ABE; donc les deux perpendiculaires CO , EO 9 menées aux plans de deux faces adjacentes par les centres de ces faces , se rencontrent en un même point O et sont égales. Supposons maintenant que ABC et ABE représentent deux autres faca adjacentes quelconques , Tapothéme CD restera toujours de f, la même grandeur , ainsi que l'angle CDO , moitié de CDE; 1^ donc le triangle rectangle CDO et sou côté CO seront égaux t pour toutes les faces du polyèdre ; donc , si du point comme centre et du rayon OC on décrit une sphère, cette spliere touchera toutes les faces du polyèdre dans leon ^ centres ( car les plans ABC , ABE , seront perpendicnlains à l'extrémité d'un rayon) , et la sphère sera inscrite dansb ;j polyèdre , ou le polyèdre circonscrit à la sphère.

Joignez OA , OB ; à cause de CA = CB , les deux oLliqno OA , OB, s'écartant également de la perpendiculaire, seront égales ; il en sera de même de deux autres lignes quelconques menées du centre O aux extrémités d*un même côté; donc toutes ces lignes sont égales entre elles ; donc si da -,, point O comme centre et du rayon OA on décrit une surface splicrique , cette surface passera par les sommets de tous les angles solides du polyèdre , et la sphère sera circonscrite au polyèdre ou le polyèdre inscrit dans la sphère. . Cela posé , la solution du problème proposé n'a plus aucune difficulté , ot peut s'effectuer ainsi :

fig. 249. Etant donné le côté d'une face du polyèdre , décrivei cette face, et soit CD son apotliéme. Cherchez par le problème précédent rinclinaison de deux faces adjacentes du polyèdre, et faites l'angle CDE égal à cette inclinaison, prenez DE égale à CD , menez CO et EO perpendiculaires à CD et ED j ces deux perpendiculaires se rencontreront

t LITEB VU. 241

^'Cn tm^oint O, «t CO sera le rayon de la sphère inscrite -* "^ans le polyèdre.

' Sur le prcAongement de DC prenez CA égale au rayon ^ un cercle circonscrit a une face du polyèdre , et OA sera ^ ' le rayon de la sphère circonscrite à ce même polyèdre. ^ Car les triangles rectangles CDO, CAO, de la fîg. 249, ^ sont égaux hux triangles de même nom dans la figure 248 : ^ ainsi, tandis que CD et CA sont ks Payons des cercles in- * «crit et circonscrit à une face du polyèdre , OC et OA sont ^ les rayons des sphères inscrite et circonscrite au même po- ^ lyèdre.

^ SchoUe, On peut tirer des propositions précédentes plu- ^liears conséquences.

•f 1** Tout polyèdre régulier peut être partagé en autant de - pyramides régulières que le polyèdre a de faces : le sommet V commun de ces pyramides sera le centre du polyèdre, qui

'«st en même temps celui des sphères inscrite et circoliscrite. tft^ La solidité d'un polyèdre régulier est égale à sa surface

'SnnltipUée par le tiers du rayon de la sphère inscrite.

3® Deux polyèdres réguliers de même nom sont deux so-

Sides semblables , et leurs dimensions homologues sont pro-

2H>rtionnelles; donc les rayons des sphères inscrites ou cir-'

"^^nscrites sont entre eux comme les côtés de ces polyèdres. 4^ Si on insclrit un polyèdre régulier dans une sphère ,

Ses plans menés du centre le long des différents côtés par- 'tageront la surface de la sphère en autant de polygones

9pbérlques égaux et semblables que le polyèdre a de faces.

Onz. edk. / 1$