î > OTtang<f= — e\tang5o rziKi
R» + tang ç tangSo^ ' b
Yi(a — b)
èonc tang(<f — 5o^)z= -> donca + ^: ^ — ^ 'l Rî
tang (<p— 5o**3 :: cot^Q: tang\ (A— B).
Quant au troisième côté c , il peut se trouver directe-
. cosC a^+b'^—c* , ^
jnent par léquation zz: , qui donne c=
,, ^abcosC\ ,, . -, ,
a*-{-b*^^ j. Mais cettç valeur n est pas com-
mode à calculer par logarithmes , à moins que les nombres qui représentent a^b^ et cos C , ne soient très-simples.
' Il est à remarquer que la valeur de c peut aussi se mettre sous ces deux formes : c=:
ce qui se vérifie aisément au moyen des formules sin^\ C=: ^R*— .iR'cojC, <:of*^C=TR'+TRcay C. Ces valeurs seront particulièrement utiles , lorsque l'angle C étant trèspetit , ainsi que «— ^ , on voudra calculer c avec beaucoup de précision. La dernière fait voir que c serait l'hypoténuse
d'un triangle vectangle formé sur les côtés (a+è) — -^ —
c'est ce qu'on peut a ingle proposé dar
connaitltil
Soit CAB le deuxcAiés CB=:n, CAi^i, et l'angte compris C. Du Ccomme centre et du rayon C6 égal au plus ^rand de» dnu fi6tés donnés, décrivez une circonférence qui rencontre m Det E le côté Ci prolongé ; joignez BD, BE, et meneiiî perpendiculaire à BD. L'angle DBE inscrit dans la dumidrconférence sera un angle droit, ainsi les lignes AF,BE, seront parallèles, et on aura la proportion BF ; AE ;; DF; ASr.cos D:B. On aura aussi dans le triangle rectan^s DAF, AF : DA :t ..'Vi D: B. Substituant donc les vakuri DA=DC+CA=a+6, AE;:=CE— CA
Ja + h).uniC
Ja--b)c,
tC
Donc en effet le troisième côté AB du triangle proposa est l'hypoténuse du triangle rectangrc ABF, âoiitl»c6téi
sont (a-i-b) ^ et (a — 6) — — — . Si dan» ce
triangle on cherche l'angle ABF opposé au côté A
qu'on en retranche l'angle CBD:^4C,on aura l'angleB 1 du irlanele ABC. De-là on >olt que la résolution du triangle AHC, dans lequel on connaît Ifs deux côtés a el''ft l'angle compris C , se réduit immédiatement à celle da triangle rectangle ABF, dans lequel on connaît les dein
côtés de l'angle droit , savoir : AF = ( a + t ) — ^— d
BF = (a — b) — ——. Ainsi, par cette construction, on pourrait se passer de la proposition du a" 47-
QTIATKIEMS CAS.
Lvn. £tant donnés les trois côtés a , b , c , ï/iottver les trois angles A , B , C.
L'angle A , oppesé au cSt« a, se treuve par la for-
B/BCTILIGNS. 38l
Qiule cas A=R. — — : , et on déterminera sem-
a bc
blablement les deux autres angles. Mais on peut ré*
soudre ce même cas par une formule plu^ commode
pour le calcul logarithmique.
Si on se rappelle la formule R' — R ços A = â 51/»" ^ A, et qu'on y substitue la valeur de
cas A, on aura 2 sui - A = R . =
% bc
^.a'-(^r^^, (g + ^-c) ja-b + c) ^^^ ^ bc % bc
• A— R . /A« + ^ — '^) ja — b + c)
un '- A=:R y/ {^T JA 2Li^ . Soit, pour
abréger, 7 (a + i + c)=/?, ou a-f-i-|-c=2/?, on lura a-\-b — c=:2p — ne, a — b+c::=z!ip — 2 &;donc
F*orinule qui donne aussi la proportion
éc:(/? — *)(/;— c)::R':5m' i A
rt qui est facile à calculer par logarithmes. Gonsaissantle logarithme de 5m 7 A, on connaîtra 7 A lont le double sera l'angle cherché A. On pourra ^ire de même par rapport à chacun des deux autres fe.tigles B et G,
Il y a d'autres formules également propres à résou- Ixe la question. Et d'abord la formule R' -f- R co^ A =
^ cof* 4 A donne cw* 4 A =R*.-^-^ —■ =:R*.
t^bc
lb + cy-ar ^^ {b + c-a){^ + c-\-a)
: — -— — = xl . -— ; — ' . Mais en
46c t^ oc
faisant toujours u+b+czzzikp , on a b'{-^C'-^az:^%p'^%a} âonc
38a TRiGonroMÉT&iE
Cette valeur éUint eosuitie combinée avec celle de m*JL
donnera une autre formule , car ayant te/ig^~A = « ' ■
cos jÈL
on en tire
\ PP — a J
Exemples de la résolution des triangles
rectilignes.
iTiii. Exemple I. Supposons qu^n veuille aToir ^s*'' la hauteur d'un édifice AB , dont le 'pied est accessible.
Ayant mesuré sur le terrain , supposé à-peu-prèf >de niveau, une base AD qui ne soit ni très-grandie ni très-petite par rapport à la hauteur AB , on jplacen en D le pied du cercle ou de Tinstrument quelconque 1 j avec lequel on doit mesurer Tangle BCE formé par . la ligne horizontale CE parallèle à AD , et par b rayon visuel GB dirigé au sommet de Tédifice. Supposons qu'on ait trouvé AD ou CE =67. 84 menés et l'angle BCE =45® 64' ; pour avoir BE, il faudra résoudre le triangle rectangle BCE dans lequel on connaît l'angle G et le côté adjacent £C. Ainsi, d'après le cas iv , on fera la proportion R : tting 45° 64' :: 67.84 :BE,
L' tang l^^" Bl^^ 9.9403263
Somme — /o^R= . • . . 1.77181^1
Ce logarithme répond à Sp . 1 3o , ainsi on a BE— ^ff^» i3* Ajoutant à BE la hauteur de Tinstrument CD ou AE que je suppose i"^. 12, on aura la hauteur cherchée AB=6o°». aS.
Si dans le même triangle BEC on veut connaître
BBCTILIGH X. 393
* llijpoténuse BC, on fera la proportion cos 45^ 64'' LtR::67-84:BC
\ L.R + L. 67.84 .... XI.83I48/Î8 L.cof 45*64' 9.8772784
Différence*. .... i . 954^2074 =Li. BC.
PoncBC=89™. 993.
i^T. B, Si l'on ne voyait que le sommet B de Tédifice ou
^ du lieu quelconque dont on veut connaître la hauteur , ou
déterminerait la distance BC comme il sera dit dans
l'exemple suivant : cette distance et l'angle connu B(JE
J suffisent pour résoudre le triangle rectangle BCE 9 dont le
]; tùté B£ augmenté de la hauteur de l'instrument , sera la
Iiauteur demandée.
i*ix. Exemple IL Pour avoir sur le texràin la dis- Cg.^^ tance du point A à un objet inaccessible B , on mesurera une base AD et les deux angles adjacents BAD , ADB. Supposons qu'on ait trouvé AD =z n588°>. 45, BAD= ii5° 48' et BDA = 4oo 8' , on en conclura le troisième angle ABD=44° 44' ? ^t pour avoir AB , on fera la proportion s in ABD : sin ADB :: AD:AB. ^
