LES PROPORTIONS DES FIGURES

QÊFIIIITIOIIS.

}. J'appellerai^yt^r^^ équivalentes cellie» dont les surfaces sont égales*.

Deux figures peuvent être équivalentes , quoique trèsdissemblables : par exemple , un cercle peut être équiva lent à un carré , un triangle à un rectangle , etc.

La dénomination de figures égales sera conservée à celles qui , étant appliquées l'une sur Fautre , coïncident dans tous leurs points : tels sont deux cercles dont les rayons sont égaux , deux triangles dont les trois côtés sont égaux chacun à chacun , etc.

II. Deux figures sont êemblablesy lorsqu'elles ont les angles égaux chacun à. chacun et les côtés homologues proportionnels. Par côtés homologues on entend ceux qui ont la même position dans les deux figures , ou qui sont adjacents à des angles égaux. Ces angles eux-mêmes s'appellent angles homologues»

Deux figures égales sont toujours semblables ; mais deux figures semblables peuvent être fort inégales.

III. Dans deux cercles différents , on appelle arcs semhlahleSj secteurs semblables , segments semblables , ceux qui répondent à des angles au centre égaux.

Ainsi l'angle A étant égal à l'angle O , l'arc BG est sem- fig. 9a. blable à l'aro DE , le secteur ABC au secteur ODE, etc.

IV. La hauteur d'un parallélogramme est la perpendiculaire EF qui mesure la distance des deux côtés opposés AB , fig. 93. CD , pris pour bases.

Y. La hauteur d'un triangle est la perpendiculaire AD

o4 CiOHfiTKIE.

^g' 94 abaissée du sommet d'un angle A sur le côté opposé BC . pris pour base.

fig- 95. YI. La hauteur àn trapèze est la perpendiculaire £F menée entre ses deux côtés parallèles AB , CD.

VII. Vair» ou la surface d*une figure sont des termes à . peu près synonymes. L'aire désigne plus partimilièreraent la quantité superficielle de la figure en tant qu'elle est me- ' surée ou comparée à d^autres surfaces.

IV. B. Pour rintelligence de ce livre et des suivants y il faut avoir présente la théorie des proportions, pour laquelle nous renvoyons «ux traités ordinaires d'arithmétiquo et d'algèbre. Nous ferons seulement une observation , qui est très-importante pour fixer le vrai sens des propositions , et dissiper toute obscurité , soit dans l'énoncé , soit dans les démonstrations.

Si on a la proportion A : B :: G : D , on sait que le produit des extrêmes A. X B est égal au produit des moyens B X C.

Cette vérité est incontestable pour les nombres ; elle l'est aussi pour des grandeurs quelconques , pourvu qu'elles s'expriment ou qu'on les imagine exprimées en nombres ; et c'est ce qu'on peut toujours supposer : par exemple, si A, B , C, D , sont des lignes , on peut imaginer qu'une de ces quatre lignes, ou une cinquième, si l'on veut, serve à toutes de commune mesure et soit prise pour unité ; alors A , B , C , D, représentent chacune un certain nombre d'unités , entier ou rompu , commensurable ou incommensurable , et la proportion entre les lignes A , B , G , D , devient une proportion de nombres.

Le produit des lignes A et D , qu'on appelle aussi leur rectwigle, n'est donc autre chose que le nombre d'unités linéaires contenues dans A , multiplié par le nombre d'unités linéaires contenues dans B ; et on conçoit facilement que ce produit peut et doit être égal à celui qui ré • suite semblablement des lignes B et C.

Les grandeurs A et B peuvent être d'une espèce , par exemple , des lignes , et les grandeurs G et D d'une autre espèce , par exemple , des surfaces ; alors il faut toujours regarder ces grandeurs comme des nombres : A et B s'exprimeront en unités linéaires, G et B en unités superficielles, et le produit AXD sera un nombre comme le produit BxG.

En général, dans toutes les opérations qu'on fera sur les proportions, il faut toujours regarder les termes de ces proportions comme autant de nombres , chacun de l'espèce qui lui convient , et on n'aura aucune peine à concevoir ces opérations et les conséquences qui en résultent.

Nous devons avertir aussi que plusieurs de nos démonstrations sont fondées sur quelques-unes des règles les plus simples de l'algèbre , lesquelles s'appuient elles-mêmes sur les>xiomes connus: ainsi, si l'on a

LITBE III.

A = B4-C } et qu'on multiplie chaque membre par une même quantité M , on en conclut AxM = BxM + CIXM4 pareillement si l'on a A = B-]-C et D=E — C, et qu'on ajoute les quantités égales , en effaçant + C et — C qui se détruisent, on en conclura A+D = B4-E» et ainsi des autres. Tout cela est assez évident par soi-même ; mais , en cas de difficulté , il sera bon de consulter les livres d'algèbre , et d'entre*mêler ainsi l'étude des deux sciences.

' , PROPOSITION PREMIÈRE

THtOaÈHI.

Les parallélogrammes qui ont des bases égales et des Jiauteurs égales y sont équivalents.

Soit AB la base commune des deux parallélogrammes fig. 96. âBCD, ABEF, puisqu'ils sont supposés avoir la même hauteur, les bases supérieures DG, FE , seront situées sur une même ligne parallèle à AB. Or on a par la nature des parallélogrammes AD=BG , et AF=BE; par la même raison on a DC=AB, et FE=AB; donc DC=FE; donc retranchant .DÇ et FE de la même ligne DE , les restes CE et DF seront égaux.

Il suit de là que les triangles DAF, GBD, sont équilatéraux entre eux , et par conséquent égaux.

Mais si du quadrilatère ABED on retranche le triangle fig. 96. ADF, il reste le parallélogramme ABEF; et si du même quadrilatère ABED on retranche le triangle CBE, il reste le parallélogramme ABCD ; donc les deux parallélogrammes ABCD, ABEF, qui ont même base et même hauteur, sont équivalents.

Corollaire. Tout ^parallélogramme ABCD est équivalent au rectangle ABEF de même base et de même hauteur, fig. 97-

PROPOSITION II

THÉOBÈHS.

Tout triangle K&C est la moitié du parallélogramme H- a»- ÀBCD qui a même base et même hauteur.

Car les triangles ABC , ACD, sont égaux *. * 28, i.

56 gAohétbib.

Corollaire I. Donc un triangle ABG est la moitié du rectangle BGEF qui a même base BG et même hauteur AO ; car le rectangle BGEF est équivalent au parallélogramme ABGD.

Corollaire II. Tous les triangles qui ont des bases égales et des hauteurs égales , sont équivalents.

PROPOSITION IlL

THtOlÈHS.

Deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, 99- Soient ABGD , AEFD , deux rectangles qui ont pour hauteur commune AD ; je dis qu'ils sont entre eux comme leurs bases AB , AE.

Supposons d'abord que les bases AB, AE , soient commensurables entre elles, et qu'elles soient, par exemple, comme les nombres 7 et 4 : si on divise AB en 7 parties égales , AE contieadra k de ces parties , élevez à chaque point de division une perpendiculaire a la base , vous formerez ainsi sept rectangles partiels , qui seront égaux entre eux , puisqu'ils auront même base et même hauteur. Le rectangle ABGD contiendra sept rectangles partiels , tandis que AEFD en contiendra quatre \ donc le rectangle ABGD est au rectangle AEFD comme 7 est à 4, ou comme AB est a AE. Le même raisonnement peut être appliqué à tout autre rapport que celui de 7 à -4 ; donc , quel que soit ce rapport^ pourvu qu'il soit commensurable , on aura ,