ABCD:A1RD::AB:AI

Mais on a , par hypothèse ,

ABGD : AEFD ::AB:AO.

Dans ces deux proportions les antécédents sont égaux ; donc les conséquents sont proportionnels, et il en résulte ,

AIKD : AEFD::AI:AO.

Mais AO est plus grand que AI ; donc , pour que cette proportion subsistât, il faudrait que le rectangle AEFD fût plus grand que AIKD ; or, au contraire , il est plus petit; donc la proportion est impossible.; donc ABGD ne peut être à AEFD comme AB est à une ligne plus grande que AE.

Par un raisonnement entièrement semblable , on prouverait que le quatrième terme dg la proportion ne peut être plus petit que AE ; donc il est égal à AE.

Donc , quel que soit le rapport des bases , deux rectangles de même hauteur ABGD, AEFD, sont entre eux comme leurs bases AB, AE-

PROPOSITION IV-

THÉOBÈHE.

Deux rectangles quelconques ABGD , AEGF, sont fig. loi. entre eux comme les produits des bases multipliés par les hauteurs^ de sorte qu'on a ABCDiAEGF: :AB x AD: AExAF.

Ayant disposé les deux rectangles de manière que les angles en A soient opposés au sommet , prolongez les côtés

b8 GÉOMÉTRIE.

G£, CD, jusqu'à leur rencontre en H ; les deux rectangles ABGD, AËHD, ont même hauteur AD ; ils sont donc entre eux comme leurs bases AB, A£ : de même les deux rectangles AËHD, AEGF, ont même hauteur AE, ils sont donc entre eux comme leurs bases AD, AF, ainsi on aura les deux proportions,