ABCD : AEHD :: AB : AE

AEHD: AEGF::AD:AF.

Multipliant ces proportions par ordre, et observant que le moyen terme AËHD peut être omis comme multiplicateur commun â l'antécédent et au conséquent, on aura ,

ABCD : AEGF :: AB x AD : AE x AF.

Schoîîe. Donc on peut prendre pour mesure d'un rectangle le produit de sa base par sa hauteur, pourvu qu'on entende par ce produit celui de deux nombres , qui sont le nombre d'unités linéaires contenues dans la base, et le nombre d'unités linéaires contenues dans la hauteur.

Cette mesure , d'ailleurs , n'est pas absolue , mais seulement relative; elle suppose qu'on évalue semblablement un antre rectangle en mesurant ses côtés par la même unité linéaire ; on obtient ainsl'^^n second produit , et le rapport des deux produits est égal à celui des rectangles , conformément à la proposition qu'on vient de démontrer.

Par exemple , si la base du rectangle A est de trois unités et sa hauteur de dix , le rectangle sera représenté par le nombre S x 10 , ou SO , nombre qui ainsi isolé ne signifie rien ; mais si on a un second rectangle B dont la base soit de douxe unités et la hauteur de sept , le second rectangle sera représenté par le nombre 7 x lâ, ou 84 T de là on conclura que les deux rectangles A et B sont entre eux: comme 80 est à 84 ; donc si on convenait de prendre le rectangle A pour lunité de mesure dans les surfaces , le rectangle B aurait alors pour mesure absolue , e*est-àdire qu'il serait égal à d*unités superficielles.

Il est plus ordinaire et plus simple de prendre le carré

IIYBE Ilf, ^9

ponr l'unité de surface , et on choisit le carré dont le côté est r.unité de longaeur ; alors la mesure que nous avons regardée simplement comme relative devient absolue : par -exemple le nombre 30 , par lequel nous avons mesuré le rectangle A, représeni^SO unités superficielles, ou 30 de fig. 102. ces carrés dont le eèté est égal à Funité : c'est ce que la fig. 102 rend sensible.

On confond assez souvent en géométrie le produit de deux lignes avec leur rectangle , et cette expression a même passé en arithmétique pour désigner le produit de deux nombres inégaux , comme on emploie celle de carré pour exprimer le produit d'un nombre multiplié par lui-même.

Les carrés des nombres 1, 2, 3, etc., sont 1^ 9, etc. Aussi voit-on que le carré fait sur une ligne double est qua- fig. lu'î. drnple ; sur une ligne triple , il est neuf fois plus grand , et ainsi de suite.

PROPOSITION V

THÉORÈME

L'aire d'un parallélogramme quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car le parallélogramme ABCD est équivalent au rec- fig- 97tangle ABEF, qui a même base AB et même hauteur BE*; * ior celui-ci a pour mesure AB X BE*, donc AB x BE est égal •Aà Taire du parallélogramme ABCD.

Corollaire, Les parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs , et les parallélogrammes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases ; car A, B,.C, étant trois grandeurs quelconques , on a généralement A X C : B X C :: A : B.

PROPOSITION VI

TBÉOBÈnE.

L'aire d'un triangle est égale au produit de sa base par la moitié de sa hauteur.

Car le triangle ABC est la moitié du parallélogramme fij? io\.

60 GtOltTlIK.

a. ABCE , qui a même base BG et même haateur AD"** : or, fa 5. surface du parallélogramme = BG x AD*'' ; donc celle du

triangle = ^ BG X AD, ou BC x i AD.

Corollaire, Deux triangles de même hauteur sont entre

eux comme leurs bases , et deux triangles de même base

sont entre eux comme leurs hauteurs.

PROPOSITION VII

TBtOBÈHS.

fîg. io5. L'aire du trapèze ABCD est égale à sa hauteur EF, multipliée par la demi-somme des bases parallèles, AB , CD.

Par le point I , milieu du côté CB , menez KL parallèle au côté opposé AD , et prolongez DC jusqu'à la rencontre de KL.

Dans les triangles IBL, IGK, on a le côté IB = IG par construction , l'angle LIB=C1K , et l'angle IBL = IGK , a4> I- puisque CK et BL sont parallèles *'y donc ces triangles sont I- égaux *^ donc le trapèze ABGD est équivalent au parallélogramme ADKL , et il a pour mesure EF x AL.

Mais on a AL=DK , et puisque le triangle IBL est égal au triangle KGI, le côté BL=GK ; donc AB+ CD±=AL + DK=âAL ; et ainsi AL est la demi-somme des bases AB , CD ; donc enfin l'aire du trapèze ABCD est égale à la hauteur EF multipliée par la demi*somme des bases AB, CD , ce qui

s'exprime ainsi : ABGD=EF ^— ^

SchoUe. Si par le point I , milieu de BC , on mène IH , parallèle à la base AB , le point H sera aussi le milieu de AD , car la figure AHIL est un parallélogramme , ainsi que DHIK, puisque les côtés opposés sont parallèles : on a donc AH=IL et DH=IKj or, IL=IK , puisque les triangles BIL, CIK, sont égaux; donc AH=DH.

On peut remarquer que la ligne HT — AL —

donc l'aire du trapèze peut s'exprimer aussi par EF x HI : elle est donc égale à la hauteur du trapèze multipliée par la ligne qui joint les milieux des côtés non parallèles.

UVRS 111.

PROPOSITION VIII

THtORÈHB.

Si une ligne AC est divisée en deux parties AB , BC , «g it Gie carré fait sur la ligne entière AC contiendra le carré fait sur une partie AB , plus le carré fait sur l'autre partie BC , plus deux fois le rectangle compris sous les

deux parties AB , BC , ce qu'on exprime ainsi y AC ou (AB+BC) =ÂB+BC+2ABxBC.

Constraisez le carré ACDE /prenez AF=AB , menez FG parallèle à ÀC , et BH parallèle à AE.

Le carré ABCD est divisé en quatre parties : la première ÀBIF est le carré fait sur AB, paisqa*on a pris AF=AB: la seconde IGDH est le carré fait sur BC ; car puisqu'on a AC=^A£, et ABsAF, la différence AC— AB est égale à la différence AE — AF , ce qui donne BC=EF ; mais à cause • des parallèles IG=BC , et DG=EF, donc HIGD est égal au carré fait sur BC. Ces deux parties étant retranchées du carré total, il reste les deux rectangles BCGI, ËFIH, qui ont chacun pour mesure AB x BC ; donc le carré fait sur AC, etc.

Scholie, Cette proposition revient à celle qu'on démontre en algèbre pour la formation du carré d'un binôme, et qui est ainsi exprimée :

PROPOSITION IX

THtORÈHE.

Si la ligne AC est la différence des deux lignes AB , fig 107. BC , le carré fait sur AC contiendra le carré de AB , plus le carré de BC , moins deux fois le rectangle fait

sur AB et BC ; c'est-à-dire qu'on aura AC ou (AB — BC) == AB +BG — 2 AB x BC.

Construisez le carré ABIF, prenez AE=AG, menez CG

GtOStTBIE.

parallèle à BI, HK parallèle à AB, et achevez le carre EFLK.

Les deux rectangles GBIG, GLKD ont chacun pour mesure AB x BG : si on les retranche de la figure entière

ABILKEA, qui a pour valeur AB+BG, il est clair qu'il restera le carré AGDE , donc , etc.

^ Sckolie, Gette proposition revient à la formule d^algèbre (a—by — 2 a^.

PROPOSITION X

THioaÈHI.

Le rectangle fait sur la somme et la différence de deux n g. io8. lignes y est égal à la différence des carrés de ces lignes :

ainsi on a (AB+BC) X (AB— BC)=AB— Bc!

Gonstruisez sur AB et AG les carrés ABIF, AGDE ^ pro*" longez AB d'une quantité BK=BG, et achevez lé rectangle AKLE.

La base AK du rectangle est la somme des deux lignes AB , BC , sa hauteur AE est la différence de ces mêmes lignes; donc le rectangle AKLE=(AB+BG) x (AB— BC). Mais ce même rectangle est composé des deux parties ABHE +BHLK ; et la partie BHLK est égale au rectangle EDGF, car BH=DE et BK=EF; donc AKLE— ABHE + EDGF.

Or, ces deux parties forment le carré ABIF moins le carré DHIG , qu\ est le carré fait sur BG ; donc enfin (AB + BC)

X (AB-^BG)=AB— BC.' Sckolie. Gette proposition revient à la formule d'algèbre

PROPOSITION XI

THtORÈHE*

Le carré fait sur l'hypoténuse d'un triangle 7^ectangle est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés,

H' '09- . Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant formé des

LIVBE III.

carres sur les trois^ côtés, abaissez de l'angle droit sur l'hypoténuse la perpendiculaire AD que vous prolongerez jusqu'en £; tirez ensuite les diagonal^ss AF, CH.

L'angle ABF.est composé de l'angle ABC plus l'angle droit GBF : l'angle G6H est composé du même angle ABC plus l'anple droit ABH; donc l'angle ABF=HBC. Mais AB=Bfircomme côtés d'un même carré , et BF=BG par la même raison ; donc les triangles ABF, HBG, ont un angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils sont égaux.

Le triangle ABF est la moitié du rectangle ADEF (ou pour abréger BE) qui a même base BF et même hauteur BD *. Le triangle HBG est pareillement la moitié du carrç • v AH ; car l'angle BAG étant droit ainsi que BAL , AG et AL ne font qu'une même ligne drçite parallèle à HB ; donc le triangle HBG et le carré AH, qui ont la base commune BH, ont aussi la hauteur commune AB ; donc le triangle est la moitié du carré.

On a déjà prouvé que le triangle ABF est égal au triangle HBG ; donc le rectangle BDEF, double du triangle ABF^ est équivalent au carré AH , double du triangle HBG. Ûn démontrera de même que le rectangle GDEG est équivalent an carré AI ; mai» les deux rectangles BDEF, GDEG , pris ensemble , font le carré BGGF ; donc le carré BGGF, fait sur.l'hypoténnse , est égal à la somme des carrés ABH^L , AGIK, faits sur les deux autres côtés ; ou, en d'autres termes,

BC=ÂB*+Âc!

Corollaire I. Donc le carré d'un des côtés de l'angle droit est égal an carré de l'hypoténuse moins le carré de l'autre

côté , ce qu'on exprime ainsi : AB=BG — AG.

Corollaire H. Soit ABGD un carré, AC sa diagonale; le fig-

triangle ABG étant rectangle et isoscèle , on aura AG=AB

-l-BC=2AB ; donc le carré fait sur la diagonale AG est double du carré fait êur le côté AB.

On peut rendre sensible cette propriété en menant par les points A et G des parallèles à BD , et par les points B et D des parallèles à AC : on formera ainsi un nouveau carré

64 cÉextTRiE.

EFGH qui sera le carré de AG. Or, on voit que EFGH contient, hait triangles égaux à ABË , et que ABGD en contient quatre ; doncle carré EFGH est double de ABGD.

Puisque AG : AB :: 2 : 1 , on a , en extrayant la racine carrée , AG : AB :: ^2 : 1 ; donc la diaganaU d*un carré est ineomtnenêurabU avec son côté.

G'est ce qu'on développera davantage dans une aàtre occasion.

Hg. 109. Corollaire III. On a démontré que le carré AH est équivalent au rectangle BDEF ; or, a cause de la hauteur commune BF, le carré BGGF est au rectangle BDEF comme la base BG est à la base BD ; donc ,