BC:ÂC'::BG:GD

Corollaire IV. Les rectangles BDEF, DCGE , ayant aussi la même hauteur, sont entre eux comme leurs bases BD ,

GD. Or, ces rectangles sont équivalents aux carrés AB) ÂG ^ donc,

ABMg"::BD:DG.

Donc les carrés des deux côtés de l'angle droit sont entre eux comme les segments de l'hypoténuse adjacents à ces côtés.

PROPOSITION XII

^ THÉORÈas.

fig. no. Dans un triangle ABC , si l'angle G est aigu , le carré du côté opposé sera plus petit que la somme des carrés qui comprennent l'angle C; et si l'on abaisse AD per-

LivBB m. 65

pendiculaire sur BC , la différence sera égale au double du rectangle BC x CD ; de sorte qu'on aura y

ÂB=ÂC +BC— 2BC X CD.

Il y a deax cas. 1<> Si la perpendiculaire tombe au-dedans du triangle ABC, on aura BDssBC — CD, et par conséquent * 9.

BD^BC+CD— 2BC x CD. Ajoutant de part et d'autre Id! et observant qne les triangles rectangles ABD , ADC , don-

nentTD+BD=lB etÂD+DÎG=l[C, on aura ÂB=BC'

+ AC— 2BCxCD.

2® Si la perpendiculaire AD tombe bors du triangle ABC, on aura BD = CD — BC , et par conséquent *'9-

Bd'=CD'+BC — âCDxBC. Ajoutant de part et d'autre

AD , on en conclura de même ,

ÂB=5bC+Âc1-2BC x CD.

PROPOSITION XIII

THtOEtlB.

Dans un triangle ABC , si l'angle C est obtus, le carré fig. i du côté opposé AB sera plus grand que la somme des carrés des côtés qui comprennent V angle C , et si on abaisse AD perpendiculaire sur BC , la différence sera égale au double du rectangle BC x CD, <fe sorte qu'on aura,

ÂB=ÂC+BCV2 BC x CD.

La perpendiculaire ne peut pas tomber au-dedans du triangle; car si elle tombait , par exemple , en E , le triangle AGE aurait à la fois l'angle droit E et l'angle obtus G , ce qui est impossible * ; donc elle tombe au-dehors , et on a * i9'

BD=BC+CD. De là résulte * BDi=BC+CD+2BCxCD. • 8. Ajoutant de part et d'autre AD et faisant les réductions comme dans le théorème précédent , on en conclura AB =BC+ÂC+JBCxCD.

66 CtOHiTRIB.

Seholie. Le triangle rectangle est le seul dans lequel la somme des carrés de deux côtés soit égale au earré du troisième ; car si Tangle compris par ces cètés est aigu , la , somme de leurs carrés sera plus grande que le carré du côté opposé ; s'il est obtus , elle sera moindre.

PROPOSITION XIV

THiOBÈKB.

fig. lia. Dans un triangle quelconque ABC, si on mène du sommet au milieu de la base la ligne AE , je dis qu'on

flwra AB+AC=2 IË+2BÊ'.

Abaisser la perpendiculaire AD sur la base BG , le triangle AEG donnera par le théorème xii,

aS=IÊ + EC— a EG X ED.

^ Le triangle ABE donnera par le théorème xiii , Ib=AE+ÊB+ÎEB X ED.

Donc y en ajoutant et observant que £B=EG, on aura ,

15+Tc=2"ÂE+2iÊB!

Corollaire, Donc , dane tout parallélogramme , la somme des carrée des eôtée eet égale à la eomme des carrée dee dia- * gonalee*

fig. ii3. Gar les diagonales AG, BD, se coupent mutuellement ' 3i, I. en deux parties égales au point E * ; ainsi le triangle ABC donne ,

ÂB+BC=2ÏË+2BE-

Le triangle ADG donne pareillement ,

ÂD + DC=2lÊ+2DÊ!

Ajoutant membre à membre , en observant que BEsDE , on aura ,

AB+ 15 + DC + BC = 4ÂE + k DÊ!

Mais 4 AÉ est le carré de âAE ou de AG ; 4DË est le

LIYBt III.

carré de BD; donc la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.

PROPOSITION XV

TBÉORÈn.

La ligne DE, menée parallèlement à la base (Tun fig. 114. triangle ABC , divise les côtés AB , AG , proportionnellement; de sorte qu'on a AD : DB : : A£ : £G.

Joignez BE et DC , les deux triangles BDE, DEC, ont même base DE ; ils ont aussi même iiantenr, puisque les sommets B et G sont situés sur une parallèle à la base ; donc ces triangles sont équivalents * >:

Les triangles ADE , BDE , dont le sommet commun est E , ont même bauteur et sont entre eux comme leurs bases AD, DB * ; ainsi on a , * 6.