ADE:DEC::AE;EC

Mais le triangle BDEsDEC ; donc , à cause du rapport. / commun dans ces deux proportions , on en conclura AD : DB::AE:EC.

Corollaire l. De là résulte componendo AD+DB : AD :: AE+EG : AE , ou AB : AD :: AC : AE , et aussi AB : BD - :: AG : CE.

Corollaire 11. Si entre deus droites AB , CD, on mène tant fig. ii5. de parallèles qu'on voudra AG, EF, GH, BD, etc., ces droites seront coupées proportionnellement, et on aura AE : GF :: EG : FH : : GB : HD.

Car soit le point de concours des droites AB , CD ; dans le triangle OEF, où la ligne AC est menée parallèlément à la base EF, on aura OE r AE :: OF : CF, ou OE : OF : : AÉ : GF. Dans le triangle OGH , on aura seiùblablement OE : EG : : OF : FH , ou OE : OF : :EG : FH ; donc ,

68 OtOMlTBIl.

a cause du rapport comman , OE : OF, cet deas proportions donnent AE : CF : : EG : FH. On démontrera de la môme manière que EG : FH : : GB : HD , et ainsi de snite i donc les lignes AB , CD , sont coupées proportionnellement par les parallèles EF, GH , etc.

PROPOSITION XVI

TBtOliMB.

iig. ii6. Réciproquement sites côtés AB , AG , sont coupés proportionnellement par la ligne DE , en sorte qu'on ait AD : DB : : AE : EC , je dis que la ligne DE sera parallèle à la base GB*

Car si DE n*est pas parallèle à BC , supposons que DO en soit une ; alors , suivant le théorème précédent , on aura AD : BD : : AO : OC. Mais, par hypothèse , AD : DB :: AE : EG ; donc on aurait AO : OG : : AE : EG ; proportion impossible , puisque d'une part l'antécédent AE est plus grand que AO , et que de l'autre le conséquent EG est plus petit que OC ; donc la parallèle à BC menée par le point D ne peut différer de DE ; donc DE est cette parallèle.

Scholtê.Lsi même conclusion aurait lieu si on supposait la proportion AB : AD : : AG : AE. Car cette proportion donnerait AB — AD : AD :: AG — AE : AE , ou BD : AD ; : CE : AE.

PROPOSITION XVII

THtORfeHB.

fig- 1 17* La ligne AD , qui divise en deux parties égales l'angle BAC d'un triangle, divisera la base BC en deux seg^ ments BD, DG , proportionnels aux côtés adjacents AB , AG ; de sorte qu'on aura BD : DG :: AB : AG.

Par le point G menez CE parallèle à AD jusqu'à la rencontre de BA prolongé.

Dans le triangle BGE , la ligne AD est parallèle a la base • i5. CE ; ainsi on a la proportion *,