LIVRE TU

aura pour mesure la demi^rconférence moins le côté flg< 227. opposé dans Vautre triangle.

, Soient prolongés, s'il est nécessaire, les côtés ÂB, ÂG, jusqu'à la rencontre de £F en G et H; paisqae le point Â est le pôle de Tare GH, l'angle A aura pour mesure l'are GH. Mais l'arc £H est un quadrant ainsi que GF, puisque £ est le pôle de AH ^et F le pôle de AG; donc £H + GF vaut une demi-'oirconférenee. Qr EH+GF est la même chose que £F+GH; donc l'arc GH qui mesure l'angle A est égal à une demi circonférence moins le côté EF de môme l'angle B aura pour mesure 7 eirc. — DF et l'angle G, i«fv.— J>E.

Cette propriété doit être réciproque entte les deux triangles, puisqu'ils se décrirent de la même manière l'un par le moyen de Tautre. Ainsi on trouTcra que les angles D, E, F, du triangle DEF, ont pour mesures respectiTement^e/re*

— BG, ^€ire.'-kC,\eire, — AB. En effet l'augleD, par exemple, a pour mesure l'arc MI; or MI+BCssMC+BI =s^c^rp« : donc l'arc MI , mesure de l'angle D, t=s&{eirc.

— BC, et ainsi des autres,

Sekuliê. Il faut remarquer qu*outre le triangle DEF on eu fig. »aS. pourrait former trois autres par l'intersection des trois arcs DE9 EF, DF. Mais la proposition actuelle n'a lieu que pour le triangle central, qui est distingué des trois autres en ce que les deux angles A et D sont situés d'un môme côté de fig. 397. BC, les deux Bet E d'un mème câléde AG, et les deux G et F d'un même côté de AB.

On donne différens noms aux deux triangles ABC, DEF; nous les appellerons /r<an^^#|9o/afrp#.

PROPOSITION XI

LIMHE.

Étant donné le triangle ABC, si du pôle A et de l'in- fig. 329. terval/e AG on décrit l'arc de petit cercle DEC ; si du pâle B et de l'intervalle BC on décrit pareillement l'arc DFC, et que du point D, oii les arcs DEC , DFC , se cou*

OÉOHÉTMR.

petit, an mène ks arcs de grtmds cercles AD, DB; je dis que le triangle ADB ainsi formé aura ses parties égales à celles du triangle AGB.

Car par construction le côté AD = AG, DBc=BC, AB est commun; donc ces deux triangles ont les côtés égaux chacun à chacun. Je dis maintenant que les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

En effet, si le centre de la sphère^ est supposé en 0, on peut concevoir un angle solide lorkné au point par les ^is angles plans AOB, AOC, BOC ; on- peut concevoir de même un second angle solide formé par les trois angles plans AOB, AOD, BOD. Et puisque les côtés du triangle ABC sont égaux à ceux du triangle ADB , il s'ensuit que les angles plans qui forment un de ces angles solides sont égaux aux angles plans qui forment l'autre angle solide , , ' 5. chacun à chacun : mais dans ce cas il a été démontré * que les plans dans lesquels sont les angles égaux sont également inclinés entre eux; donc les angles du triangle sphérique DAB sont égaux à ceux du triangle GAB, savoir DAB = BAG, DBA=:ABC, et ADB=AGB; donc les côtés et les angles du triangle ADB sont égaux aux côtés et aux angles du triangle AGB.

Seholie. L'égalité de ces triangles n'est cependant pas une égalité absolue ou de superposition, car il serait impossible de les appliquer l'un sur l'autre exactementy à moins qu'ils ne fussent isoscèles'. L'égalité dont il s'agit est ce que nous avons déjà appelé une égalité par symétrie, et par cette raison nous appellerons les triangles AGB , ADB , triangles ' symétriques,

PROPOSITION XII

iTHÉORÈHI.

Deuis triangluMÊÊSib sur la même sphère, ou sur des sphf^res égaies y ^ont égaua: dans toutes leurs parties, lorsqu ils (mâji^imgîe égal compris entre côtés égaux

Soit le cètë AB=£F, le côté AG=EG, et l'angle BAC fig. a3Q. =FEGy le triangle £FG pourra être placé sur' le triangle ABC ou -sur son symétrique ASD , de la même manière * qu'on superpose deux triangles rectilignes qui ont un angle égal compris entre côtés égaux. Donc toutes les parties du triangle EFG seront égales à celles du triangle ABC, c'estr' à-dire qu'outre les trois parties qui sont supposées égales , on aura le côté BCs==FG, l'angle ABC = EFG, et l'angle ACB=EGF,

> PROPOSITION XIII

THÉORÈMB.

Deux triangles situés sur h même sphère^ ou sur des sphères égales j sont égaux dans toutes leurs parties ^ lorsqu'ils ont un c^té égcU adjacent à deux angles égaux chacun, à chacun.

Car l'un de ces triangles peut être placé sur l'autre ou sur son symétrique , comme on le fait daiis le caa pareil des triangles rectiligneç. F'oyez prop^ VII, liv. /.

PROPOSITION XIV

THÉORt».

Si deux triangles situés sur la même sphère , ou sur des sphères égales , sont équilatéraux entre eux , ils seront aussi équianglesy et les angles égaux seront opposés aux côtés é^aux.

Cela est manifeste par la proposition xi , où l'on a tu fig. aag. qu'avec trois côtés donnés AB , AC , BG , on ne peut faire que deux triangles ACB, ABD, differens quant à la position des parties, mais égaux quant à la grandeqr de ces mêmes parties. Donc deux triangles équilatéraux entre eux sont ou absolument égaux , ou au moins égaux par symétrie ; dans l'un et l'autre cas ils sont équiangles , et les angles égaux sont opposés aux côtés égaux.

GiOlÉTMIKt

PROPOSITION XV

THioRkn.

Dans tout triangle sphérique ùtoscèk les angles oppo^ sés aux côtés égaux sont égaux; et réciproquement , si deux angles d'un triangle sphérique sont égaux, le triangle sera isoscèle.

fi' a3i. V Soit le côté ÀB=AG ; je dis qu'on aura l'angle G==B : car si du sommet A au point D, milieu de la base, on mène Tare AD , Jes deux triangles ABD , ADG , auront les trois côtés égaux chacun à chacun ; savoir, AD commun, BD = DG , et AB = AG : donc , par le théorème précédent , ces triangles auront ^les angles égaux , et on aura BsG.

%^ Soit l'angle B = G ; je dis qu'on aura AG= AB : car si le côté AB n'est pas égal à AG, soit AB le plus grand des deux , prenez BO s= AG, et joignez OG. Les deux côtés BO, BG, sont égaux aux deux AG , BG ; l'angle compris par les premiev OBC est égal à l'angle compris par les seconds AGB. Donc les deux triangles fiOG, ACB, ont les autres * «I. parties égales et on a l'angle OGB=ABG : mais l'angle ABG, par hypothèse, =AGB; donc on aurait OGB^bAGB, ce qui est impossible; donc on ne peut supposer AB différent de AG; donc les côtés AB, AG, opposés aux angles égaux B et G , sont égaux.

Seholie. La même démonstration prouve que l'angle BAD s=sDAG, et que l'angle BDA=ADG. Donc ces deux derniers sont droits ; donc Varc mené du sommet d'un triangle sphé-^ rique ieoeehle au milieu de ea haee eet perpendiculaire à cette base, et divise l'angle du sommet en deusù partie* égales,

' PROPOSITION XVI

THtORtHB.

^g- a32. Dans un triangle sphérique ABG, si l'angle A est plus grand que l'angle B, le côté BG ^)posé à l'angle A sera plus grand que le côté AC\ opposé à f angle B;

LIYHE VIT. 187

réctproquemeniy si le côté BC est plus grand que CA , l'angle A sera plus grand que l'angle B.

1» Soit l'angle A>B, faites l'angle BAD=B, vous aurez AD=DB * : mais AD+DG est plus grand que AG; à la * i5. place de AD mettant DB, on aura DB+DG ou BG>AG.

2° Si on suppose BC>AG, je dis que l'angle BAC sera plus grand que ABG : car, si BAC était égal à ABC, on aurait BG— AG; et si on avait BAG<^A]BG, il s'ensuivrait, par ce qui vient d'être démontré , qu'on a BG^ AG ; ce qui est <sontre la supposition. Donc l'angle BAC est plus grand que ABC. >

PROPOSITION XVII

Si les deux cétés AB, AG, du triangle spkérique ABG fig- ^33 ^sont ^auœ aux deux côtés DE, DF, du triangle DElP tracé sur une sphère égale y si fn même temps l'angle A est plus grand que l'angle D, je dis que le troisième côté BG du premier triangle sera plus grand que le ïroisième EF du second.

La démonstration est absolument semlulable à celle de la prop. X, livre i.

PROPOSITION XVIII

THiORÈHK.

Si deux triangles tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont équiangles entre eux y ils ser^ont aussi équilatéraux .

Soient A et B les deux triangles' donnés , P et Q leurs triangles polaires. Puisque /les angles sont égaux dans les, triangles A et B, les côtés seront égaux dans les polaires P et Q : mais de ce que les triangles P et Q sont équilaté- * lo. raux entre eux , il s'ensuit qu'ils sont aussi équiangles *\ * i4<. enfin, de ce que les angles sont égaux dans les triangles P et Q , il s'ensuit * que le» côtés sont égaux dans leurs po- * la.

188 GiOHtTMB.

laires A et B. Donc les triangles équiaogles A et Q sont en même temps équilatëraux entre eux.

On peut encore démontrer la même proposition sans le secours des triangles polaires de la manière suivante : 994- Soient ABC, DEF, deux triangles ëquiangles entre eux , de sorte qu'on ait A =D, B = £, G = F ; je dis qu'on aura le côté AB=DE, AC =DF, BC=EF.

Sur le prolongement des côtés AB , AC, prenez AG=PE , , et AH = DF; joignez GH et prolongez les arcsBG , GH, jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en I et K.

Les deux côtés AG , AH , sont par construction ^ux aux deux DF, DE; l'angle compris GAH = BAC=EDF;

* la. donc* les triangles AGH, DEF» soiht égaux dans toutes leurs

parties , donc l'angle AGH =:DEF = ABC , et l'angle AHG =DFE=ACB.

Dans les triangles IBG, KJBG ^ le côté BG est commun , l'angle IGB»=GBK ; et puisque IGB-f BGK est égal à deux droiU , ainsi que GBK+IBG, il «'ensuit que BGKb=IBG.

* i3. Donc le^ triangles IBG, GBK, sont égaux *, donc IG=fBK,

et IB=GK.

Pareillement, de ce que l'angle AHGssACB» on conr dura que les triangles ICH , HCR , ont un côté égal adjacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux ; donc IH= CK,etHK=IC.

Maintenant, si des égales BK, IG, on retranche les égales CK , IH , les restes BC , GH , seront égaux. D'ailleurs l'angle BCA=AHG, et l'angle ABC=:AGH. Donc les triangles ABC, AHG, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux : mais le triangle DEF est égal dans toutes ses parties au triangle AHG ; donc il est égal aussi au triangle ABC , et on aura AB=D£ , AC =DF, BC=EF ; donc , si deux triangles spbériques sont équiangles entre eux , les côtés opposés aux angles égaux seront égaux.

Seholie. Cette proposition n'a pas lieu dans les triangles rectilignes , où de l'égalité des angles on ne peut conclure que la proportionnalité des côtés. Mais il est aisé de rendre compte de la différence qui se trouTC à cet égard entre les

LIVBE VU.

triangles rectilignes et les triangles sphériques. Daus la propositîoii présente , ainsi (jue dans les propositions xn , xnï , XIV et xYii , où il s'agît de la comparaison des trianglefi^, il est dit expressément qne ces triangles sonjt tracés sur la même sphère ou sar des sphères égales. Or les arcs semblables sont proportionnels aux rayons; donc, snr des sphères égales , denx triangles ne peavent être semblables sans être égaux. Il n'est donc surprenant que l'égalité des angles entraine l'égalité des côtés.

Il en serait autrement si les triangles étaient tracés sur des sphères inégales ; alors les angles étant égaux , les triangles seraient semblables , et les côtés homologues seraient entre eux comme les rayons des sphères.

PROPOSITION XIX. ' • :' : '

. La somme des angles de tout triangle sphén'que est moindre que six et plus grande que deux angles droits.

Car \^ chaque angle d'un triangle sphérique est moindre qne deux angles droit» ( voyez le scholie ci-après ) ; donc la somme des trois angles est moindre que six angles droitu.

2^ La mesure de chaque angle d'un tringle sphérique est égale à la demi-circonférence moins le côté correspon- -dant du triangle polaire * ; donc la somme des trois angles * a pour mesure trois demi-oii'conférences moins la somme des côtés d'un triangle polaire. Or cette dernière somme est plus petite qu'une circonférence * ; donc , en la retran- * chant de trois demi-circpnférences , le reste sera plus grand qu'anedemi-circonférence, qui est la mesure de deux angles, droits- ; donc 2^ la somme de trois angles d'un triangle sphérique est plus grande que deux angles droits.

Corollaire I. La somme des angles d'un triangle sphérique n'est pas constante comme celle des triangles rectiligneB ; elle varie depuis deux angles droits jusqu'à six, sans pouvoir être égale à l'une ni à l'autre limite. Ainsi deux angles donnés ne font pas connaître le troisième.

GÉOmÉTRlI.

CoroUairê IL Un triangle sphërique peut avoir deux ou trois angles droits , deux ou trois angles obtus*

fig. a35. Si le triangle ABC est hi-reciangU j c'est-à-dire , s'il a deux angles droits B et G , le sommet A sera le pMe de la * 6. base BC * ; et les côtés AB , AC , seront des quadrants.

«Si en outre Tanglé Aest droit, le triangle ABC sera trirectangle, ses angles seront tous droits et ses côtés des quadrants. Le triangle tri-rectimgle est contenu huit fois dans la surface de la sphère ; c'est ise que l'on Tmt par la fig. en supposant Farc MN égri à un quadrant. "

Seholie. Nous avons supposé dans tout ce qui précède, et conformément à la définit, vi, que les triangles sphériqoes ont leurs côtés toujours plus petits que la demi-circonfé* rence ; alors il s'ensuit que les «angles sont toujours plus

6g. aa4- petits que deux angles droits : car, si le côté AB est moindre que la demi-circonférence , ainsi que AG , ces arcs doivent être prolongés tous deux pour se ^ncontrer en D. Or les deux angles ABG , GBD , pris ensemble , valent deux angles droits; donc l'angle ABG tout seul est moindre que deux angles droits.

Nous observerons cependant qu'il existe des triangles sphériques dont certains côtés sont plus grands que la démî-circonférence , et certaine angles plus grands que deux angles droits. Car,' si on prolonge le côté AG en une circonférence entière AGE , ce qui reste , en retranchant de la demi sphère le triangle ABGj est un nouveau triangle, qu'on peut désigner aussi par ABG , et dont les côtés sont AQ , BC, AEDG. On voit donc que le côté AEDG est plus grand que la demi-circonférence AED ; mais en même temps l'angle opposé en B surpasse deux angles droits de la quantité GBD.

Au reste , si on a exclu de la définition les triangles dont les côtés et les angles sont si grands , cW que leur résolu* tion ou la détermination de leurs parties se réduit toujqurs à celle des triangles renfermés dans la définition. En eSet, on voit aisément que si on connaît les angles et les côtés du triangle ABC, on connaîtra immédiatement les angles et les côtés du triangle de même nom qui est le reste de la demi-sphère.

LIVBK.VII. 10S

qui ont les côtés égaux chacun à chacun , sont en même temps isoscèles , on Terra qu'ils peuvent s'appliquer l'un sur l'autre ; car, ayant placé PA sur son égal QF, le côté PC tomhera sur son égal QD , et ainsi les deux triangles seront confondus en un seul : donc ils sont égaux , donc la surface DQFbb APC. Par une raison semblable la surface FQE = CPB , et la surface DQE= APB; donc on a DQE +FQÊ — 1)QE = APC + CPB — APB; ou DFE=ABC; donc les deux triangles symétriques ABC , DEF, sont égaux en surface.

Seholie. Les pôles P et Q pourraient être situés au-dedans des triangles ABC , DEF ; .alors il faudrait ajouter les trois triangles DQF, FQE, DQE, pour en composer le triangle DEF, et pareillement il faudrait ajouter les trois triangles APG , GPB, APB , pour en composer le triangle ABC ; d'ailleurs la démonstration et la conclusion seraient tougours les mêmes.

PROPOSITION XXII

THiORft».

Si deux grands cercles AOB , COD , se coupent comme fig. m voudra dans l'hémisphère AOGBD, la somme des triangles opposés AOC, BOD, sera, égale au fuseau dont r angle estHOT^.

Car, en prolongeant les arcs OB, OD^ dans l'autre hémisphère jusqu'à leur rencontre ep N , OÇN sera une demicirconférence, ainsi que AOB; retranchant de part et d'autre OB , on aura BN === AO. Par une raison semblable on a DN = GO , et BD =s= AC ; donc les deux triangles AOG, BDN , ont les trois côtés égaux ; d'ailleurs leur position est telle qu'ils sont symétriques l'un de l'autre ; donc ils sont égaux len surface /^ ét la somme des triangles AOG , BOD , * aiest équivalente au fuseau OBNDO dont l'angle est BOD.

Seholie^ Il est clair aussi que les deux pyramides sphériquès qui ont pour bases les triangles AOG , BOD , prises ensemble , équivalent à l'onglet sphérique dont l'angle est BOD.

OtOMÉTRlE*

PROPOSITION XXIII

TRioRftn.

La surface d'un triangle sphérique quelconque a pour mesure l'excès de la somme de ses trois angles sur deux angles droits.

«39. Soit ABC le triangle proposé ; prolongez sei côtéi jasqa'à oe qu'ils rencontrent le grand cercle DEFG , mené comme on voudra hors du triangle. En vertu du théorème précédent , lea deux triangles ADE , A6H , pris ensemble , équivalent au fuseau dont l'angle est A , et qui a pour mesure

* Èo. %Â* : ainsi on aura ADE-f AGH^^sSA ; par une raison sem-

blable BGF + BID B SB , CIH + GFE =s SG. Mais la somme de ces six triangles excède la demi-sphère de deux fois le triangle ABC, d'ailleurs la demi-sphère est représentée par 4; donc le double du triangle ABC est égal à 2A+2B+SC— 4, et par conséquent ABC» A + B + G — 2; donc tout triangle sphérique a pour mesure la somme de ses angles moins deux angles droits.

Corollaire I. Autant il y aura d'angles droits dans cette mesure , autant le triangle proposé contiendra de triangles tri-rectangles ou de huitièmes de sphèlre qui sont l'unité de

* ao. surface *. Par exemple , si les angles sont égaux chacun

aux \ d'un angle droit, alors les trois triangles vaudront A angles droits, et le triangle proposé^ sera représenté par 4 — 9 ou 9; donc il sera égal à deux triangles tri-rectanglfs ou au quart de la surface de la sphère.

Corollairê II. Le triangle sphériquQ ABC est équivalent A4-B+G

au fuseau dont l'angle est • ■ '1; de même la pyramide sphérique dont la base est ABG , équivaut à l'onglet sphérique dont l'angle est ^ ■ — 1 .

Seholiê* En même temps qu'on compare le triangle sphérique ABC au triangle tri-rectangle, la pyramide sphérique qui a pour base ABG se compare avec la pyramide trirectaâgle, ^t il en résulte là même proportion. L'angle solide

au sommet de la pyramide se compare de même avec l'angle solide aii sommet de la pyramide tri-reetangle : en effet la Comparaison s'établit par la coïncidence des parties. Or, si les basés des pyramides coïncident , il est évident que les pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi qae les angles solides à lear sommet. De la résultent plusieurs conséquences.

lo Deux pyramides triangulaires sphériques sont eiitrê elles comme leurs bases ; et , puisqu'une pyramide poly-^ gonale peut se partager en plusieurs pyramides triangu* laires , il s'ensuit que deux pyramides spbériques quelconques sont entre elles comme les polygones qui leur serrent de bases.

2<> Les angles solides au sommet des mêmes pyramides sont également dan» la proportion des bases ; donc, pour comparer deux angles solides quelconques , il faut placer leurs sommets au centre de deux sphères égales, et ces angles solides seront entre eux cotnme les polygones sphé-^ riques interceptés entre leurs plans ou faces. •

L'angle au sommet de la pyramide tri-rectangle est formé "^par trois plans perpendiculaires entre eux ; cet angle, qu'on ^eut appeler an^le solide droit, est très-propre à sertii* d'unité de mesure aux autres angles solides. Gela posé , le même nombre qui donne l'aire d'un polygone sphérique donnera la mesure de l'angle solide correspondant. Par exemple, si l'aire du polygone.sphérique est f , c'est-à-dire, s'il est les I du triangle tri^rectangle , l'angle solide correspondant sera aussi les | de l'angle solide droit.

PROPOSITION XXIV

THtORtHI.

La surface d'un polygone sphérique a pour mesure la somme dè ses angles, moins te produit de deux angles droits pùr le nombre des côtés du polygone moins deux.

D'un même sommet soient menées à tous les autres fig. a4o. sommets les diagonales AG, AD; le polygone ABGDE sera

194 GÉOMÉTRIE é

PROPOSITION XXIII

TRÉORftn,

La surface d'un triangle sphértque quelconque a pouf mesure l'excès de la somme de ses trois angles sur deux angles droits.

fig. 339. Soit ABC le triangle proposé ; prolongez ses côtés jasqu'à oe qu'ils rencontrent le grand cercle DEFG , mené comme on voudra hors du triangle. En vertu du théorème précédent , lea deux triangles ADE , A6H , pris ensemble , équi-^ valent au fuseau dont l'angle est A , et qui a pour mesure

* «o. SA"*" : ainsi on aura ADE -f AGH :^2A ; par une raison sem-

blable BGF+BlDa=sSB, aH + GFE=aG. Mais la somme de ces six triangles excède la demi-sphère de deux fois le triangle ABC, d'ailleurs la demi^sphère. est représentée par 4; donc le double du triangle ABC est égal à 2A+âB+3€— 4, et par conséquent ABC» A + B + G — 2; donc tout triangle sphérique a pour mesure la somme de ses angles moins deux angles droits.

Corollaire I. Autant il y aura d'angles droits dans cette mesure , autant le triangle proposé contiendra de triangles tri-rectangles ou de huitièmes de sphèlre qui sont l'unité de

* ao. surface Par exemple , si les angles sont égaux chacun

aux \ d'un angle droit, alors les trois triangles vaudront X angles droits, et le triangle proposé^ sera représenté par 4 — 2 ou S ; donc il sera égal à deux triangles tri-rectangles ou au quart de la surfiice de la sphère*

CorçUairê IL Le triangle sphérique ABC est équivalent A + B + G

au fuseau dont l'angle est ■ ".^ ^1; de même la pyramide sphérique dont la base est ABG , équivaut à l'onglet sphérique dont l'anglé est ^"^^^^ — 1.

SehoHê* En même temps qu'on compare le triangle sphérique ABC au triangle tri-rectangle , la pyramide sphérique qui a pour base ABG se compare avec la pyramide trirectaâgle, et il en résulte là même proportion. L'angle solide

LIVUB VII i

au sommet de la pyramide se compare de même ayec l'angle solide au sommet de la pyramide tri-rectangle : en effet la bomparaison s'établit par la coïncidence des parties. Or, si tes basés des pyramides coïncident , il est évident que les pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi qae les angles solides à tear sommet. De la résultent plusieurs conséquences.

1® Deux pyramides triangulaires spbériques sont eiitré eUes comme leurs bases ; et , puisqu'une pyramide poly-^ gonale peut se partager en plusieurs pyramides triangulaires, il s'ensuit que deux pyramides spbériques queïcon* ques sont entre elles comme les polygones qui leur servent de bases.

2<» Les angles solides au sommet des mêmes pyramides sont également dan» la proportion des bases; donc, pour comparer deux angles solides quelconques, il faut placer leurs sommets au centre de deux sphères égales, et ces angles solides seront entre eux cotnme les polygones spbériques interceptés entre leurs plans ou faces. *

L'angle au sommet de la pyramide tri-rectangle est formé par trois plans perpendiculaires entre eux : cet angle, qu'on jpeut appeler angh solide droit, est très-propre à sertii* d'unité de mesure aux autres angles solides. Gela posé , le même nombre qui donne l'aire d'un' polygone spbérique donnera la mesure de l'angle solide correspondant. Par exemple , si l'aire du polygone.spbérîque est f , c'est-à-dire, s'il est leè I du triangle tri-rectangle , l'angle solide correspondant sera aussi les { de l'angle solide droit.

PROPOSITION XXIV

THtoaft».

La surface d'un polygone sphérique a pour mesure la sofnme dè ses angles, moins te produit de deux angles droits pùr le nombre des côtés du polygone moins deux.

D'un même sommet A^. soient menées à tous les autres fig. 340. sommets les diagonales AG, AD; 1q polygone ABGDE sera

GiOltTftlI.

partagé en autatit "dé triangles moins deux qu'il a de côtés. Mais la surface de chaque triangle a pour mesure la sottiriie de ses angles moins deux angles droits, et il est clair que la somme de tous les angles des triangles est égale à la somme des angles du polygone : donc la surface du polygone est égale à la somme de ses angles diminuée d'autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux.

&holtê. Soit ê la somme dès angles d'un polygone sphérique, n le nombre de ses côtés ; l'angle droit étant supposé l'unité, la surface du polygone aura pour mesure # — 2 (n — 2)on# — Sn+4.

PROPOSITION XXV

THÉOaÈHI.

Soii S h nombre des angles êolides d'un polyèdr»y H le nombre de ses/aoeê, A I9 nombre dê ses arêtes; Je die qu'on aura toujours S + H = A + 2 .

Prenex au-dedans du polyèdre un point d'où tous mènerez des lignes ' dfoites aux sommets de tout ses angles ; imagines ensuite que du même point comme centre on décrive une surface sphérique qui soit rencontrée par toutes cer lignes en autant de points ; joignez ces points par des arcs de grands cercles , de manière à former sur la surface de la sphère des polygones correspondants et en même nombre ayec les "fig. i4o* faces du polyèdre. Soit \fiGDE un de ces polyigones et soit n le nombre de ses côtés; sa surface sera s — 2ii-f-4, s étant la somme des angles A/B, B. Si on évalue semblablement la surface de chacun des autres polygones sphériqueà , et qu'on les ajoute toutes ensemble , on en conclura que leur somme , ou la surface de la sphère représentée par 8, est égale à la somme de tous lés angles des polygones I moins deux fois le nombre de leurs cdtés^ plus' 4 pris autant de fois qu'il y a de faces. Or, comme tous les angles qui s'ajustent autour d'un même point A valent quatre angles droits j la somme de tous les angles des polygones est égale à 4 pris autant de fois qu'il y a d'angles solides; elle est àonc égale à 4S. Ensuite le double du nombre des côtés AB , BC, CD, etc., etft égal au quadruple du nombre des arêtes ou=4A, puisque la même arête sert de côté i deux- faces : donc on aura 8 = 4S — 4A-f-^n{ OU) en prenant le quart de chaque membre, 2=S — A+H; doncS+H=A + 2.

Corollaire, Il suit de ^ que la somme des angles plans qui forment les angles solides d*un polyèdre est égale à autant de fois quatre

LIVRK

angles droiU qu'il y a d'unités dans S — 2, 6 étant le nombre des angles sçlides.. du polyèdre.

jlSar si on considère une face dont le nombre des côt^s est n , la somme des angles de cette face sera 2» — 4 angles droits*. Mais la * ^5, i. somme de tous les 2n , ou le double du noàibre des côtés de toutes les faces , = 4A, et 4 pris autant de fois qu'il y a de faces =4H ; donc la somme des angles de toutes les faces =4A'—4H. Or, par le théorème qu'on vient de démontrer, on a A — H = S — 2, et par consé<|qeiit 4A — 4H = 4 (S — 2). Donc la somme des angles plans, etc.

PROPOSITION XXVI

THÉOfi&IlB.

iDan* iouê hê triangUê êphériqueê forméë avec daux eSléê donnéê GB, CA , et un troisième à volonté, le plus grand ^li^^^ âBG eêt celui dans lequel Vangle G , eompriê par Ué côté* èmnéêj eêt égal à la êomme des deux autres angles AeiB,

Prolonges les deux côtés AG, AB, jusqu'à leur rencontre en D, tous aures un triangle sphérique BGD , dans lequel l'angle BBC sera aussi égal à la somme des deux autres angles BDG , BGD : car BGD + BGA étant égal à deux angles droits , ainsi que CBA GBD , on a BGD BCA=:GBA+ GBD j ajoutant de part et d'autre BDG=BAG, on aura BCD-fBGA4.BDG = GBA-f.GBD4.BAG. Or, par hypothèse , BGA=: GBA + BAG ; donc GBD = BGD + BDG.

Henes BI qui fasse l'angle GBI=BGD, et par suite IBD=BDG; les deux triangles IBG, IBD, seront isoscèles, et on aura IG=:IBr=ID. Donc le point I , milieu de DG , est à égale distance des trois points B, C , D : par une raiaon semblable le point Q, milieu de AB, sera également distant des trois points A , B , G.

Soit maintenant GA'ssGA et l'angle BGA'>BGA ; si l'on joint A'fi, et fig. ^7 fi qu'on' prolonge les arcs A'G , AfBj jusqu'à leur rencontre en D', l'arc D'GA' sera une demi-circonfécsnoe aiinsi que DCA ; donc puisqu'on a GA'=:GA, on aura aussi GD'aGD. Hais dans le triangle GID'^ on a CI+ID'>.CD'>, donc ID'>CD-C!, ou ID'>ID.

Dans le triangle isoscèle GIB divisons l'angle du sommet I. en deux également par l'arc £IF qui sera perpendiculaire sur le milieu de BC Si on prend un point I4 entre I et £ , la distance BL , égale à LC , sera moindre que BI ; car on peut démontrer, comme dans la prop. ix, Ut. i, qu'on a BL-I* l'G'^BI-f'IG j <lonc en prenant les moitiés de part et d'autre , on aura BL<BI. Hai9 dans le triangle D'LG on a Da.>D'G— GL, et à plus forte raison Da>DG--GI, o^ Da.>DI, ou D'I<>BI; donc D'L^BL. Donc si on cherche- sur l'arc £JF un point également distant des trois points B , G , D', ce point ne saurait se trouver que sur le pro* longement de £1 vers F. Soit V le point cherché, en sorte qu'on ait

108 GtoitTin.

DT = Br=Gr ; lei triangles rCB, l'GD', TBDS étant iioicèles, oi| aura les angles égaux VBCzsVCb, l'BB'srD'B, rCDsFD'G. Mais les angles D'BG+GBA' Talent deux angles droits, ainn que D'GB-|-BGA^; donc

D'BI'+rBG-fGBA'=2, , BGK— rGD'+BGA'=2.

Ajoutant les deux sommes et observant qu'on a l'BGisBGr et D'BI^— rGD'= BD'I'— l'D'G = GD'B=: CA'B , on aura

2I'BCr+CA'B+GBA'4-B.GA'c=4.

Dono GAfB+GBA'+BGA'— 2 (mesure de l'aire du triangle A'BG)=:2— < 2I'BG ; de sorte qu'on a aire A'BG z=2 — 2 0119/0 l'BG; semblablement dans le triangle ABG , on aurait aiffs ABG = 2 — 2 angh IBG. Or, on a démontré que Tangle l'BG est plus grand que IBG; donc Taire A'BC est plus petite que ABG.

fig. S73. La même démonstration et la même conclusion auraient lieu , si, en prenant toujours Tare CA'=:GA, on faisait Tangle BGA'<^BGA; donc ABG est le triangle le plus grand entre toui ceux qui ont deux côtés donnés et le troisième A volonté.

6g. 941. Scholiê I. Le tringle ABG, le plus grand entre tous ceux qui oui deux côtés donnés GA, GB, peut être iiiscrit dans un deminoercle dont la corde du troisième côté AB serH le diamètre ; car étant le milieu de AB , on a TU que les distances OG , OB , sont égales ; donc la circonférence de petit cercle décrite du point comme pôle etde Tinterralle Op passera par les troi« poii^ts A, B , G. De plus la ligne droite BA ett . un diamètre de ce petit cercle ; car le cei^e qui doit se trouver à U cor 4! ^* P^*^ P®^^ cercle et dans le plan de Tare de grand cercle * BOA , se trouvera nécessairement dans Tintersection de ces deux plan< qui est la droite B^ » et ÛAsi BA âera un diamètre.

SchoUe n. Dans le triangle ABG , Tangle G étant égal à la somme des deux autres A et B, il s'ensuit que la somme des trois angles est double de Tangle G. Mais cette somme est toujours plus grande que deux

* >9* angles droits* ; donc l'angle G est plus grand qu'un droit.

Sckçli9 ni. Si l'on prolonge les oôtés GB, GA , jusqu'A leur rencontre en £ , le triangle BA£ sera égal au quart de la surface de la sphère. Car l'angle EssGssABG^-GAa ; donc les trois* angles du triangle BAE équivalent aux quatre ABG , ABI^ , GAB , BA£ , dont la soname est égale

* M* A quatre angles droits; donc la surface du triangle BA£*=4 — 2=2,

qui est le quart de la surface de la sphère.

SekoH^ Vf, Il n'y aurait pas lieu à tnasûnws»^ si Is somme des deux oôtés donnés GA , GB , était égale ou plus grande que la demi-çirconférenée d'un giead cercle.. Gar puisque le triangle ABG doit être inscrit dans un demi-cerele de la sphère, la sonune des deux côtés GA, GB , * 3. tere moindre que la demi -circonférence BGA*, et par leonséquent moindre que la demi-circoiiférenee d'un grand cercle.

LIVRB Vil.

ha raison pourquoi il n'y a pas de maximum , lojrsque la sonune des deux côtés donnés est plus grande que la demi-circonférence d'un grand cercle , c'est qu'alors le triangle augmente de plUs en plus à mesure que l'angle compris par les côtés donnés est pl^s grand ; enfin , lorsque cet angle sera égal à deux droits, les trois côtés seront dans un même plan , et formeront une circonférence entière ,* le triangle s|)hérique deviendra donc égal à la demi-sphère , mais il' cessera alors d'être triangle.

PROPOSITION xxm

THtOltiU.

De touê Uê triangUê sphériques /orméê avec un cèté donné et un périmktre donné y le plue grand eei, celui éane lequel les deux côtée non déterminée eont égaux»

Soit AB le côté donné commun aux deux triangles AGB, ADB, et soit fig< ^4^ AG-|-CB =AD-j^DB ; je dis que le triangle isoscèje ACB, dans lequel AG= GBj-est plus grand que le noib>isoscèle ADB.

Car ces triangles ayant la partie commune AOB , il suffit de fair^e Toir que le triangle BOD est plus petit que AOG. L*angle CBA égal A GAB est plus grand que OAB ; ainsi le côté AO est plus grand que OB* ; * preneft OIsOB, faites OK = OD, et joignes Kl; le triangle OKI sera égal à DOB. Si on nie maintenant que le triangle BOB ou son éf^al KOI soit plus petit que OAG , il faudra qu'il soit égal QU plus grand ; dans l'un et l'autre cas , puisque le point I est entre les points A et 0, il faudra que le point K soit sur OG prolongé , sans quoi lé triangle OKI; serait contenu dans le triangle CAO , et par conséquent plus petit. Gela posé, le'plus court chemin de G en A étant CA, on a GK-f-KI-j*IA^ GA.MaisGK:=OD'>CO, AlasAO^OB, KlassBD; donc OD — G0 + A0--OB+BD>GA, et en réduisant AD^GB-fBD>GA, ou AD -f BD>AG-fGB. Or cette inégalité est contraire A l'hypothèse AD-}- BD=AG-^GB, donc le point K ne peut tomber si^r le prolongement de OG ; donc iî tombe entre et G , et par conséquent le triangle KOI , on son égal OBB, est plus petit que AGO ; donc le triangle isoscèle AGB est plus grand que le non-isoscèle ADB dé même base et de même périmètre.

Scholie. Ges deux dernières propositions sont analogues aux propositions I et m de l'appendice au liv. i>t ; ainsi 6n peut en tirer, par rapport aux polygones sphériques, les conséquences qui ont lieu pour les poly- ' gones rectilignes.

▼oici les principales :

V De fouê lea polygones sphériqueè iaopérimhtreê et d'un même nombre de céiéa, le piua gmnd eat un polygone équilatéml, Hême démonstration que pour la prop. II de l'appendice aù livre }V.

eÉoiiTEii.

2<> De tous les polygones êphériquee formée avec dee côtés donnée et M» dernier à volonté, le plue grand est celui qu*on peut inecrirm dan* un demi-cercle dont la corde du côté non déterminé eera le diamètre,

La démonstraiioii se déduit de la prop. XXVI , comme on Va tu dans la prop. IT de l'appendice cité ; .il faut pour reziitence du maximum , que la sonune dei côtés donnés soit moindre que la demi-circonférence d'un grand cercle.

Le plue grand dee polygones ephériquee formée avec dee côtés donnée, eet celui gu*onpeut inscrire dane un cercle de la sphère.

Même démonstration que pour la prop. TI de l'appendice au livre IV.

4^ Le plus grand dee polygpnes sphériques qfti ont le même périmètre et le même nombre de côtés, eet celui qui a see anglee égaux et ses côtée égaux.

C'est oe qui résulte des corollaires 1 et 3 qui précèdent.

Nota, Toutes les propositions de maximum concecnani les polygones sphériq^s s'appliquent aux angles solides dont ces polygt)i,9es son^ la mesure.