LIVIE VII

angles que leurs plans font entre eax sont les angles du triangle.

VU. Un triangle sphérique prend le nom de rectangle y Uoêceh, iqtdlatéraly dans les mêmes cas qu'un triangle rectiligne.

VIII. PolygofiB tfhériqme est une partie de la surface de la sphère terminée par plusieurs arcs^de grands cercles.

IX. FiAs&au est la partie de la surface de la sphère comprise entre deux demi-grands cercles qui se terminent à un diamètre commun.

X. J'appellerai m» ou onglet spkériquÊ la partie du solide de la sphère comprise entre les mêmes demi-grands cercles , et à laquelle le fuseau sert de base.

XI. Pyramide sphérique est la partie du solide de la sphère comprise entre les. plans d'un angle solide dont le sommet est au centre. La hmee de la pyramide est le polygone sphérique intercepté par les mêmes plans.

XII. On appelle tome la partie de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles ^ui en sont les haeee* L'un de ces plans peut être tangent à la sphère, alors la zone n'a qu'une base.

XIII. SegfMwl ephèrique est la portion du solide de la sphère comprise eiitre deux plans parallèles qui en senties bases.

^ L'un de ces plans peut être tangent à U sphère , alors le segment sphérique n'a qu'une base.

XIY. La kayieur d'if,ne eane ou d'un segment est la dis- 69. aao. tance des deux plans parallèles qui smit les bases de la sone ou du segment.

XV. Tandis que le demi-cercle DA£ tournant autour du diamètre DE décrit la sphère, tout secteur circulaire, comme DGF ou FCH, décrit un soUde qu'on appelle eecieur spkàrique.

PROPOSITION PREMIÈRE

THfiORÈaB.

Toute section de la sphère, faite par un plan, est un , cercle.

GÉOKftTRiK.

iig. an. Soit AMB la section faite par un plan dam la sphère dont le centre est G. Du point G menés la perpendiculaire GO sur le plan AMB , et différentes lignes GM, GM , à différents points de la courbe AMD qui termine la section.

Les obliques GM, CM', CB, sont égales, puisqu'elles sont des rayons de la sphère, elles sont donc également éloî- 5. gnées de la perpendiculaire^ GO'*'; donc toutes les lignes OM , OM', OB , sont égales ; donc la section AMB est un cercle dont le point est le centre.

Corollaire I. Si la section passe par le centre de la sphère, son rayon sera le rayon de la sphère ; donc tous les grands cercles sont égaux entre eux.

Corollaire II. Deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales \ car leur intersection commune , passant par le centre , est un diamètre.

Corollaire IIL Tout grand cercle divise la sphère et sa surface en deux parties égales ; car si , après avoir séparé les deux hémisphères , on les applique sur la base commune en tournant leur convexité du même c6lé, les deux surfaces coïncideront l'une avec l'autre, sans quoi il y aurait des points plus près du centre les uns que les autres.

Corollaire IV, Le centre d'un petit cercle et celui de la sphère sont sur une même droite perpendiculaire au plan du petit cercle.

Corollaire Y» Les petits cercles sont d'autant plus petits qu'ils sont plus éloignés du centre de la sphère; car plus la distance GO est grande, plus est petite la corde AB, diamètre du petit cercle AMB.

Corollaire YI. Par deux points donnés sur la surface d'une sphère , on peut faire passer un arc de grand cercle ; car les deux points donnés et le centre de la sphère sont trois points .qui déterminent là position d'un plan. Si cependant les deux points donnés étaient aux extrémités d'un diamètre, alors ces deux points et le centre seraient en ligne droite , et il y aurait une infinité de grands cercles qui pourraient passer par les deux points donnés.

LIVEE VU,

PROPOSITION II

ntÉORÈHB.

bans tout triangle sphérique ABC , un côté queicoh- 6g. a^, que est plus petit que la somme des deux autres.

Soit le centre de la sphère , et soient menés les rayons OA , OB , OC. Si on imagine les plans AOB , AOG , COB , ces plans formeront au point nn angle solide , et les angles AOB, AOG, COB, auront pour mesure les côtés AB , AC, fie , du triangle sphérique ABC. Or, chacun des trois angles plans qui composent l'angle solide est moindre que la somme des àeux autres'"; donc un côté quelconque * si, 5. du triangle ABC est moindre que la somme des deux autres.

PROPOSITION III

THÉOaftHK.

Le plus court chemin d'un point à un autre, sur la surface de la sphère, est l'arc de grand cercle quijoitU les deux points donnés.

Soit ANB l'arc de grand cercle qui joint les points A et ûg. i^a. B, et soit hors de cet arc, s'il est possible, M un point de la ligne la plus courte entre A et B. Par le point M menez les arcs de grands cercles MA, MB, et prenez

BN:t=:MB.

Suivant le théorème précédent l'arc ANB est plus court que AM+MB; retranchant de part et d'autre BN=BM , il reàtera AN^AM. Or, la distance de B en M , soit qu'elle se confonde avec l'arc BH, ou qu'elle soit toute autre ligne, est égale à la distance de B en N ; car en faisant tourner le . plan du grand cercle BM autour du diamètre qui passe par B , on peut amener le point M sur le point N , et alors la ligne la plus courte de M en B , quelle qu'elle soit , se confondra ayec celle de N en B ; donc les deux chemins de A en B , l'un en passant par M , l'autre en passant par N , ont une partie égale de M en B et de N en B. Le premier chemin

GiOHiTEIB.

est, par hypothèse, le plus court ; donc la distance de A en M est plus courte que la distance tie A en ce qui serait ahsurde , puisque Tare AM est plus grand que AN ; donc aucun point de la ligne la plus courte entre A et B ne peut être hors de Tare ANB ; donc cet arc est lui-même la ligne la plus courte entre ses extrémité.

PROPOSITION IV-

THtOlfe».

La somme des trois côtés dCun triangle sphérique est moindre que la circonférence d'un grand cercle. fig. aa4. Soit ABC un triangle sphërique quelconque; prolongez les côtés AB , AG , jusqu'à ce qu'ils se rencontrent de nouveau en D. Les arcs ABD , ACD , seront des demi-circonférences , puisque deux grands cercles se coupent toujours

* t. en deux parties égale»*; mats dans le triangle BÇD on a le

* 1. côté BG<BD+GD*; ajoutant de part et d'autre AB+AG ,

on aura AB+AG+BG<ABD-(-AGD, c'est4-dire, plus petit qu'une circonférence.

PROPOSITION V

THioafcn.

La somme des côtés de tout polygone sphérique est moindre que la circonférence d'un grand cercle. «9.-as5. Soit , par exemple , le pentagone ABGDE : prolongea les côtés AB, DG, jusqu'à leur rencontre en F; puisque BG est plus petit queBF+GF, le contour du pentagone ABGDË ^ • est plus petit que celui du quadrilatère AEDF. Prolongez de nouveau les côtés A£, FD, jusqu'à leur rencontre en G, on aura ED<EG+GD; donc le contour du quadrilatère AEDF est plus petit que celui du triangle AFG; celui-ci est plus petit que la circonférence d'un grand cercle; donc a fortiori le contour du polygone ABGDE est moindre que cette même circonférence.

Scholie, Gette proposition est au fond la même que la

LlVRt Vil.

du livre v } car, si est le centre de la sphère , on peat imaginer au point O an angle s<didd formé par les angles plans AOB, BOG, GOD, etc.» et la somme de ces angles dmt être plos petite que quatre angles droits ^ ce qui ne difTère pas de la proposition présente. La démonstration que nous Tenons de donner est différente de oalle du Uvre v ; l'une et l'autre supposent que le polygone ABGDE est oonvexé y ou qu'aucun côté prolongé ne coupe la figure.

t»ROPOSITION VL

TBÉOaiUlB.

Si on mène le diamètre IfE perpendiculaire au plan fig. a^o. du grand cercle AMB , les extrémités J) etE de ce diamètre seront les pâles du cercle AMB , et de tous les petits cercles, comme FNG, qui lui sont parallèles.

Car DG étant perpendiculaire au plan AMB , est perpen* dicujaire à toutes les droites GA, CM , GB , etc., menées par son pied dans ce plan; dcmc tous les arcs DA, DM, DB , etQ. , sont des quarts de circonférence : il en est de même des arcs EA, EU , EB, etc.; donc les points D et Ë scmt cliacun également éloignés de tous les points de la circonférence AMB ; donc ils sont les pôles de cette ciroonférehce *. * déf. 5.

En second lieu, le rayon DG, perpendiculaire au plan AMB, est perpendiculaire i son parallèle FNG; donc il passe par le centre O du cercle FNG'*' ; donc si on tire les * i. obliques DF, DN , DG , ces obliques s'écarteront également de la perpendiculaire DO et seront égales. Mais les cordes étant égales , les arcs sont égaux ; donc tous les arcs DF » DN, DG, etc., sont égaux entre eux ; donc le point D est le pôle du petit cercle FNG » et par la même raison le point E est l'autre pôle.

Cerothire L Tout arc DM mené d'un point de l'arc de grand cercle AMB à son pôle est un quart de eirconférenée, que nous appellerons pour abréger un quadrant, ou un quadrant , et ce quadrant fait en môme temps un angle

«tOHteftII.

droit avec Tare AM. Car la ligne DC étant perpendiculaire an plan AMG , toat plan DMC qui passe par la hfçne DC 6. est perpendiculaire an plan AMC" ; donc l'angle de ces plans , on , suivant la déf . vi , l'angle AMD , est an angle droit.

Corollaire IL Ponr trourer le pôle d'un arc donné AM , menefc l'arc indéfini MD perpendiculaire à AM, prenez MD égal à un quadrant , et le point D sera un des pôles de l'arc MD ; ou bien menez aux deux points A et M les arcs AD et MD perpendiculaires à AM , le point de concours D de ces deux arcs sera le pôle demandé.

Corollaire III. Réciproquement, si la distance du point D à chacun des points A et M est égale à un quadrant , je dis que le point D sera le pôle de l'arc AM , et qu'eu même temps les angles DAM , AMI) , seront droits.

Car soit C le centre de la sphère , et soient menés les rayonj G A , CD , CM : puisque les angles AGD , MCD , sont droits, la ligne GD est perpendiculaire aux deux droites CA , CM ; donc élle est perpendiculaire à leur plan ; donc le )i)oint D dst le pôle de Tare AM; et par suite les angles DAM , AMD , sont droits.

SehoUe, Les propriétés des pôles permèttent de tracer sur la surface de la sphère des arcs de cercle avec la même facilité que sur une surface plane. On voit, par exemple , qu'en faisant tourner l'arc DF ou tonte autre ligne de même intervalle autour du point D , l'extrémité F décrira le petit cercle FNG ; et si on fait tourner le quadrant DFA autour du point D , l'extrémité A décrira l'arc de grand cercle AM.

S'il faut prolonger l'arc AM , ou si on ne donne que les points A et M par lesquels cet arc doit passer, on déterminera d'abord le pôle D par l'intersection de deu^^ arcs décrits des points A et M comme centres avec Un intervalle égal au quadrant. Le pôle D étant trouvé, on décrira du point D , comme centre et avec le même intervalle, l'arc AM et son prolongement.

Enfin , s'il faut du point donné P abaisser un arc perpendiculaire sur l'arc donné AM , on prolongera celui-ci en S

LIVBE VII.

jusqu'à ce que l'interralle PS soit égal à un quadrant ; ensuite du pôle S et du même interyalle on décrira l'arç PMI, qui sera l'arc perpendiculaire, demandé.

PROPOSITION VIL

THiORÈHE.

Tout plan perpendiculaire à r extrémité d'un rayon, est tangent à la sphère.

Soit FAGun plan perpendiculaire à l'extrémité du rayon fig. aa6. OA; si on prend un point quelconque M sur ce plan , et qu'on joigne OM et AM, l'angle OAM sera droit, et ainsi la distance ÔM sera plus grande que OA. Le point M est donc hors de la sphère; et, comme il en est de même de tout autre point du plan FAG, il s^ensuit que ce plan n'a que le seul point A commun avee la surface de l|i sphère ; donc il est tangent à cette surlace '^i * àéî. 4.

SchoUe. On peut prouve? de même que deux sphères n'ont qu'un point commun, et sont par conséquent tangentes l'une à l'autre : lorsque la distance de leurs centres est égale à la somme ou à la différence de leurs rayons , alors les centres et le point de coiitact sont en ligne droite.

PROPOSITION VIIL

THÉORÈHÈ.

II angle BAC que font entre eux deux are9 de grands fig- aa6. cercles AÇ , AC , est égal à V angle FAG , formé par les tangentes de çes arcs au peint A : ai/ a aussi pour mesure l'arc DE , décrit du point A comme pâle entre lès côtés AB, AC^ prolongés s'it est nécessaire*

Car la tangente AF, menée dans le plan de l'arc AB, est perpendiculaire au rayon AO; la tangente AG, menée dans le plan de l'arc AG, est perpendiculaire au même rayon AO. Donc l'angle FAG est égal à l'angle des plans OAB, OAG'^, * 17. s. qui est celui des arcs AB, AG, et qui se désigne par BAG.

Pareillement, si l'arc AD est égal à un quadrant ^ ainsi

GÉOltTMIE.

qae A£/les H^pes OD,.OE, feront perpendiculaires a AO, et ranf^e DOE sera encore ëfçal à l'angle des plans AOD , AOE ; donc l'arc DE est la mesure de l'angle de ces plans , on la mesore de l'angle GAB.

CoroUairê. Les an^es des triangles sphëriques penvent se comparer entre eux par les arcs de grands cercles décrits de leurs sommets comme pôles et compris entre leurs côtés : ainsi il est facile de faire un angle ^;al à un àngl^ donné.

«g. »38. SchoUe. Les angles opposés an sommet , tels que AGO et BGN , sont égaux \ car l'un ou l'antre est toujours l'angle formé par les deux plans AGB, OCN.

On Yoit aussi que dans la rencontre de deux arcs ACB, OGN, les deux angles adjacents AG(X, 0GB, pris ensemble , Talent toujours deux angles droits.

PROPOSITION IX

THtOEÈKE.

fig »>7- Étant donné h triangle ABC, si des points A, B, C , comme pâles, on décrit les ares EF, FD, DE, qui forment le triangle D£E*; réciproquement les trois points D, £, F, seront les pôles des côtés BC, AC, AB.

Car le point A étant le pôle de l'arc EF, la distance AE est un quadrant; le point C étant le pôle de l'arc DE, la distance CE est pareillemènt un quadrant ; donc le point E est éloigné d'un quadrant de chacun des points A et C ; «6, cor. 3. donc il est le pôle de l'arc AG On démontrera de même que D est le pôle de l'arc BG, et F celui de l'arc AB.

CoroBairê. Donc le triangle ABG peut être décrit par le moyen de DEF, comme DEF par le moyen de ABC.

PROPOSITION X

THÉOaftXI.

les mêmes choses ^t posées que dans le thtà^rême précédent, chaque angle de l'un des triangles ABC , DEF ,