III. Si du cône SCDB on retranche, par une section pa

OÉOMÉTIKII.

rallèle à la base, le cône SFKH, le solide restant GBHF s'appelle cône tronqué on tronc do cône.

On peut supposer qu'il est dëerit par la réyolution da trapèse ABHG , dont les angles A et' G sont droits , autour du côté AG« La ligne immobile AG ' s'appelle l'ose ou la hauteur du tronc y les cercles BDG, HFK, en sont lee haees, et BH en est le côté.

IV. Deux cylindres Ou deux cônes sont eemblableê lorsque «leurs axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases. .

«g. s5i. ^ y. Si, dans le cercle AGD qui sert de base à un cylindre, on inscrit un polygone ABCDE, et que sur la base AJBGDE on élève un prisme droit égal eu bauteur au cylindre , le prisme est dit ineerit dans le eyUndre, ou le cylindre écrit au priéme.

Il est clair que les arêtes AF, BG, CH, etc., du prisme, étant perpendiculaires au plan de la base , sont comprises dans la surface oonTCxe du cylindre ; donc le prisme et le cylindre se touchent suivant ces arêtes.

YI. Pareillement, si ABGD est un polygone circonscrit à fig. M. la base d'un cylindre , et que sur la base ABGD on construise un prisme droit égal en bauteur au cylindre, le prisme est dit eireomcrii au ç^lindre, ou le cylindre ineerit dans lej^eme, t

Soient M, N , etc. , les points de contact des côtés AB , BG , etc. , et soient élevées par les points M , N , etc. , les perpendiculaires litX , NY , etc., au plan de la base ; il est olair que ces perpendiculaires seront i la fois dans la surface du cylindre et dans celle du prisme circonscrit; donc elles seront leurs lignes de contact.

B, Le cylindre, le cône, et I« iphère, sont les tnriê corps fondé dont oa t'occupe dans les élànents.

II TRI Vin.

Lemmes préliminaires ntr les surfaces.

Une surface plane OABCD est plus petite que toute fig. a54. autre surface PABCD, terminée au mémecontour ABCD.

Cette ]5ro()osition est assez évidente pour être i^angëe au nombre des axiômes ; car on pourrait supposer que le plan est parmi les surfaces ce que la ligne droite est parmi les lignes : la ligne droitè est la plus courte entre deux points donnés . de même le plan est la surface la plus petite entre toutes celles qui ont un même contour. Cependant comme il convient de réduire les axiômes au plus petit nombre possible , voici un raisonnement qui ne laissera aucun doute sur cette proposition.

Une surface étant une étendue en longueur et en largeur, on ne peut concevoir qu'une surface soit plus grande qu'une autre , à moins que les dimensions de la première n'excèdent dans quelques sens celles de la seconde ; et s'il arrive que les dimensions d'une surface soient en tous sens plus petites que les dimensions d'une autre surface, il est évident que la première surface sera la plus petite des deux. Or, dans quelque sens qu'on fasse passer le plan BPD , qui coupera la surface plane sùivant BD, et l'autre surface suivant BPD, la ligne droite BD sera toujours plus petite que BPD ; donc la surface plane OABCD est plus petite que la surface environnante PABCD.

Toute surface convexe OABCD est moindre qu^une fig. a55. autre surface quelconque qui envelopperait la première en s' appuyant sur le même contour ABCD.

!Nous. répéterons ici que nous entendons par surface con^ vexe une surface qui ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points : et cependant il est possible

qu'une ligne' droite s'applique exactement dans un certain sens sur une surface conyexe ; ou en voit des exemples dans les surfaces du cône et du cylindre. Nous observerons aussi que la dénomination de surface convexe n'est pas bornée aux seules surfaces courbes; elle comprend les surfaces polyédrahê ou composées de plusieurs plans , et aussi les surfaces en partie courbes , en partie polyédrales.

Gela posé , si la surface OABGD n'est pas plus petite que toutes celles qui l'enveloppent , soit parmi cell«s-ci P ABGD la surface là plus petite qui sera au plus égale à OABGD. Par un point quelconque 0, faites passer un plan qui touche la surface OABGD sans la couper ; ce plan rencontrera la surface PABGD , et la partie qu'il en retranchera sera plus * itm. I. grande que le plan terminé à la même surface * : donc, en conservant le reste de la surface PABGD , on pourrait substituer le plan à la partie retranchée, et on aurait mie nouvelle surface qui envelopperait toujours la surface OABGD, et qui serait plus petite que PABGD.

Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypothèse *; donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc la surface convexe OABGD est plus petite que toute autre surface qui envelopperait OABGD, et qui serait terminée au même contour ABGD.

Scholie, Par un raisonnement entièrement semblable on prouvera ,

«g. a56. lo Que , si une surface convexe terminée par deux contours ABG, DEF, est enveloppée par une autre surface quelconque terminée aux mêmes contours, la surface enveloppée sera la pliis petite des deux.

a5^- V Que , si une surface convexe AB est enveloppée de toutes parts par une autre surface MN , soit qu'elles aient des points , des lignes ou des plans communs , soit qu'elles n'aient aueun pDint de commun , la surface enveloppée sera toujours plus petite que la surface enveloppante.

Gar parmi celles-ci il ne peut y en avoir aucune qui soit la plus petite de toutes, puisque dans tous les cas on pourrait toujours mener le plan GD tangent à la surface con-

^ lem.i. ?ete, lequel plan serait plus petit que la surface GAn)"";

et ainsi la surface €ND serait plas petite que MN, ce qui est contraire à l'hypothèse que MN est la plus petite de toutes. Donc la surface conrexe AB est plus petite que toutes celles qui Penveloppent.

PROPOSITION PREMIÈRE

THÉOltÈfil.

La solidité cTun cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Soit GA le rayon de la base du cylindre donné , H sa fig* aSS. hauteur ; représentons par surf. CA la surface du cercle dont le rayon eist GA; je dis que la solidité du cylindre sera €urf. GA X H. Gar , si surf. GA x H n'est pas la mesure du cylindre donné, cé produit sera la mesui^e d'un cylindre plus grand ou plus petit. Et d'abord supposons ^qu'il soit la mesure d'un cylindre plus petit, par exemple,. du cylindre dont GD est le rayon de la base/et H la hauteur.

Girconscrivez au cercle dont le rayon est GD , un polygone régulier GHIP dont les côtés ne reucontrent pas la circonférence dcmt G A est le rayon imagines ensuite un * io> 4. priame droit qui ait pour base le polygone GHIP, et pour hauteur H, lequel prisme sera circonsorit au cylindre dont GD est le rayon de la base. Gela posé, la solidité du prisme* * i4> est égale à sa base GHIP , multipliée par la hauteur H; la base GHIP est plus petite que le cercle dont GA est le rayon : àfi(nc la solidité du prisme est plus petite que surf. GA X H. Mais suff- GA x H es^ , par hypothèse, la solidité du cylindre inscrit dans le prisme ; donc le prisme serait plus petit que le cylindre : or, au contraire , le cylindre est plus petit qùe le prisme, ^luisqu'il y est contenu ; donc il est impossible que surf. GAxH soit la mesure du cylindre dont GD est le rayon de la base et H la hauteur ; ou , en ternies plu« généraux , le produit de la hase d'un cylindre par sa hauteur ne peut mesurer un cylindre plus petit.

Je dis en second lîèu que ce même produit ne peut mesurer un cylindre plus grand : car, pour ne pas multiplier les figures , soit GD le rayon de la i)ase du cylindre donné

SIS, ftftOHtTI».

et 8oit , s'il est possible , 9wrf. CD x H la mesure d'an cylindre plus grand, par exemple, du cylindre dont G A est le rayon de la base et H la bautenr.

Si on fait la même construction que dans le premier cas, le prisme circonscrit au cylindre donné aura pour mesure GHIPxH : l'aire GHIP est plus grande que turf. CD; donc la solidité du prisme dont il s'agit est plus grande que 9urf^ GDxH : le prisme serait donc plus grand que le cylindre de même hauteur qui a pour base surf. G A. Or, au contraire, lé prisme est plus petit que le cylindre, puisqu'il y est contenu ; donc il est impossible que la hase d'un cylindre multipliée par sa hauteur soit la mesure d*un cylindre plus grand.

Donc enfin, la solidité d'un cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire I. Les cylindres de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, et les cylindres de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

Corollaire II. Les cylindres semblables sont comme les cubes des hauteurs, ou comme les cubes des diamètres des bases. Car les bases sont comme les carrés de leurs diamètres ; et puisque les cylindres sont semblables, les diamètres * dér. 4. des bases sont comme les hauteurs : donc les bases sont comme les carrés des hauteurs ; donc les bases multipliées par les hauteurs , ou les cylindres eux-rmémes, sont comme les cubes des hauteurs.

SchoUe, Soit B. le rayon de la base d'un cylindre, H sa " la, 4- hauteur, la surface de la base sera irR'"^, et la solidité du eylindre sera irR* X H, ou irR'H.

PROPOSITION IL

LEMMl,

La surface convexe d'un prisme droit est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur. iig. aSa. Car cette surface est égale à la somme des rectangles AFGB , BGHC; CHU), etc., dentelle est composée : or les

MVBB VIIÏ.

hauteurs AF, BG, CH, etc., de ees rectangles sont égales à la hauteur du prisme ; leurs hases AB, BG, CD, etc., prises ensemble, font le përinïètre de la base du prisme. Donc la somme de ces rectangles ou la surface convexe du prisme est égale au pérjmètre de sa base multiplié par sa hauteur.

Corollaire. Si deux prismes dreits ont la même hauteur, les surfaces convexes de ces prismes seront entre ellescomme les périmètrei» de leurs bases.

PROPOSITION: III

LEIÎMB.

La surface convexe du cylindre est plus grande que la surface convexe de tout prisme inscrit y et plus petite que la surface convexe de tout prisme circonscrit.

Car la surface «opvexe du cylindre et celle du prisme fig. inscrit ABCDEF peuvent être considérées comme ayant même longueur, puisque toute section fsiite dans Tune et dans Vautre parallèlement à AF est égale à AF ; et si pour avoir les largeurs de ces surfeces on les coupe par des plans parallèles à la base ou perpendiculaires de l'arête AR, les- sections seront égales ^ Tune à la circonférence de la base, l'autre au contour du polygone ABGDE plus petit que cette circonférence : donc , puisqu'à longueur égale la largeur de la surface cylindrique est plus grande que celle de la surface priàmatique , il s'ensuit que la première surface est plus grande que la seconde.

Par un raisonnement entièrement semblable on prou* figf. 353^ vera que la surface convexe du cylindre est plus petite que celle de tout prisme circonscrit BCDKLH.

PROPOSITION IV

THÉOBÈM-E.

La surface convexe d'un cylindre est égale à la circonférence de sa base mulltpliée par sa hauteur.

Soit GA le rayon de la base du cylindre donné, H sa hauteur ; si on représente par cire. CA la circonférence qui a fîg. a58v

poar rayon CA, je dis que eire. GA X H sera la surface convexe de ce cylindre. Car, si on nie cette proposition, il faadra que eire. CA x H sott la sorlace d'un cylindre plus grand ou plus petit ; et d*abord supposons qu'elle soit la surface d*un cylindre plus petit, par exemple, du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur.

CireonscriTes au cercle dont le rayon est GD dn polygose régulier GHIP, dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a G A pour rayon; imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour hauteur H, et pour hase le polygone GfilP. La surface convexe de ce prisme sera égale au contour da a. polygone GHIP multiplié par la hauteur H * : ce contour est plus petit que la circonférence dont le rayon est CA; donc la surface convexe du prisme est plus petite que cire. CAxH. Mais être. GAxH est, par hypothèse*, la surface convexe du cylindre dont CD est le rayon de lahase^ lequel cylindre est inscrit dans le prisme ; donc la surface convexe du prisme serait plus petite que celle du cylindre 3. inscrit. Or, au contraire, elle doit être plus grande donc l'hypothèse d'où l'on est parti est absurde : donc, 1** la etrconférence de la haee d'un cylindre multipliée par ea hauteur " ne peut mesurer la eutfacè convexe d*un cylindre plue petit» Je dis en second lieu que ce même produit ne peut mesurer la surface d'un cylindre plus grand. Car, pour ne pas changer de figure ^ soit CD le rayon de la base du cylindre donné, et soit, s'il est possible, cire. CD x H la surface convexe d'un cylindre qui , avec la même hauteur , aurait pour base un cercle plus grand, par exemple, le eercle dont le rayon est CA. On fera la même construction que dans la première hypothèse , et la surface convexe da prisme sera toujours égale au contour du polygone GHIP multiplié par la hauteur H. Mais ce contour est plus grand que cire, CD; donc la surface du prisme serait plus grande que cire. CD x H , qui , par hypothèse , est la surface du cylindre de même hauteur dont CA est lé rayon de la base. Donc la surface du prisme seràit plus grande que eelle de ce cylindre. Mais , quand même le prisme serait inscrit dans le cylindre , su surface serait plus petite que celle du

Liyit VIII,

cylindre *; à plas forte rwon est-elle plus petite lorsque * ^. le priaine ne s'étend pas jusqu'au cylindre. Donc la seconde hypothèse ne saurait avoir lieu ; donc â** la ctreonfirence de la Base d'un cylindre multipliée par ea- hauteur ne peut meeurer la surface d'un cylindre plue grand.

Donc enfin là surface convexe d'un cylindre est é^le à la circonférence de sa base multipliée pàr sa hauteur.

PROPOSITION V

THÉOatHB.

La solidité d'un cône est égale au produit de sa base ' ' par le tiers de sa hauteur^ ' ^ , •

Soit SO la hauteur du cône donné , AO le rayon de la fig. aS> baçe ; si on désigne par su?f, AQ la surface de la base , je dis que la solidité de ce cône sera égale à eutfi AO x |$0.

En effet , supposons l** que eurf. AO x jSO sott la solidité d'un cône plus grand , par exempîe ^ du cône dont SO est toujours la hauteur, mais dont OB , plus grand que AO, est le rayon de la basé.

Au cercle dont le rayon est AO circonscrivez un polygone régulier MNPT qui ne rencontre pa« la circonférence dont le rayon est OB * ; imaginez ensuite une pyraiàidé qui * lo, 4^ ait pour base .le polygone et pour sommet le point S. La solidité de cette pyramide * est égale à l'aire du polygone * 19. 6i MNPT multipliée par le tiers ^ de la hauteur SO. Mais le polygone est plus grand que le cercle inscrit représenté par eurf, AO; donc la pyramide est plus grande que surf. AOxjSO, qui, par hypothèse, est la mesure du cône dont S est le sommet et OB le rayon de la base. Or , au contraire , la pyramide est plus petite que le cône, puisqu'elle y est contenue; donc 1° il est impossible que la base d'un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un cône plus grand.

Je dis â^* que ce même produit ne peut être la mesure d'un cône plus petit. Car, pour ne pas changer de figure, soit 06 le rayon de la base du c^e donné , et soit, s'il est

GtOBÉTElt.

possible, êurf. OBxjSO la solidité do côno qui a pour hauteur SO et pour base le cercle dont AO est le rayon. On fera la môme construction que ci-dessus , et la pyramide SMNPT aura pour mesure Faire MNPT multipliée par f SO. Mais l'aire MNPT est plus petite que 9urf. OB ; donc la pyramide aurait une mesureplus petite que suff. OB x fSO, et pàr conséquent elle serait plus petite que le cône dont AO est le rayon de la base et SO la hauteur. Or, au contraire, la pyramide est plus grande que le cône , puisque le cène y est contenu : donc 2<> il est impossible que la base . d*un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un cône plus petit.

Donc enfin la solidité d'un cône est égale au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Corollaire * Un cône est le tiers d'un cylindre de même bàse et de même hauteur ; d'où il suit ,

1» Que les cônes d'égales hauteurs sont entre eux comme leurs bases ; .

Que les cônes de basôs égales sont entre eux comme leurs hauteurs ;

S® Que les cônes semblables sont comme les^ cubes des diamètres de leurs bases , ou comme les cul>es de leurs hauteurs.

Seholiê. Soit R le rayon de la base d'un cône , H sa hauteur; la solidité du cône sera itR" x-^H ou juR^H.

PROPOSITION VI

THÉORtHB.

aCo. Le cône tronqué ADEB, dont AO, DP sont les rayons des bases et PO la hauteur ^ a pour mesure ^w. OP.,

(âô+dp+aoxdp).

Soit TFGH une pyramide triangulaire de même hauteur que le cône SAB , et dont la base FGH soit équivalente à la base du cône. On peut supposer que ces deux bases sont placées sur un même plan; alors les sommets S et T seront à égales distances du plan des bases , et le plan EPD pro-

LIYRE riii. 217

longé fera dans }a pyramide la section IKL. Or je dis qi^e cette section IKL est équivalente à la base DE ; car les bases AB, DE, sont entre elles comme les carrés des rayons AO, DP * 5 ou comme les carrés des hauteurs SO, SP ; lès * n, 4. triangles FGH , IKL , sont entre eux comme les carrés de ces mêmes hauteurs*; donc les cercles AB, DE, sont entre • i5. 6. eux comme les triangles FGH^ IKL. Maïs, par hypothèse, le triangle FGH est équivalent au cercle AB ; donc le triangle IKL est équivalent au cercle DE.

Maintenant , la base AB multipliée par |S0 est la solidité du cône SAB , et la base FGH multipliée par j SO est celle de la pyramide TFGH ; donc ^ à cause des bases équivalentes , la solidité de la pyramide est égale à celle du cène. Par une raison semblable , la pyramide TIKL est équivalente au cône SDË; donc le tronc de cône ADEB est équivalent au tronc de pyramide FGHIKL. Mais la base FGH , équivalente au cercle dont le rayon est AO , a pour mesure

ic X AO ; de même la base IRL= « X DP , et la moyenne proportionnelle entre w X AO et « x DP est « x AO x DP ; donc la solidité du tronc de pyramide p ou celle du tronc de cône , a pour mesure iOPx(icxXÔ+5rxDP + *x AOxDP)*, •ao,6. qui est la même chose que | ît X OP x (ÂÔ + DP + AO X DP).

PROPOSITION VIL

THÉORÈHB.

La surface convexe d'un cône est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté.

Soit AO le rayon de la base du cône donné, S son som- fig. 359. met, et SA son côté; je dis que sa surface sera cire, AO x 7SA. Car soit, s'il est possible , eirc, AO x 7 SA , la surface d'un cône qui aurait pour sommet le point S et pour base le cercle décrit du rayon OB plus grand que AO.

Circonscrivez au petit cercle un polygone régulier MNPT, dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a pour rayon OB; et soitSMNPT la pyramide régulière, qui

GÉOMiTtlt.

parallèle à AB , et IM parallèle à AF ; on démontrera comme ci-dessus que IM = cire. IK. Mais le trapèze ADHF = ADxIMs=sADx<7<re. IK. Donc on peut dire encore que la surface d'un tronc de cène est égale à son côté muitiplié par la circonférence d'une section faite h égale distance des deux hases,

Scholie. Si une ligne AD , située tout entière d'un même

éàié de la ligne OG et dans le même plan , fait une ré^ola-

tion autour de OG , la surface décrite par AD aura pour

/cire, AO-^- cire, "DCS mesure AD x f ^ ) » ^ >

les lignes AO , DG , IK , étant des perpendiculaires abaissées des extrémités et du milieu de la ligne AD sur TaxeOG.

Car si on prolonge AD et OG jusqu'à leur rencontre mutuelle en S , il est clair que la surface décrite par AD est celle d'an cône tronqué dont OA et DG sont les rayons des bases, le cône entier ayant pour sommet le point S. Doiu: cette surface aura la mesure mentionnée.

Gette mesure aurait toujours lieu , quand même le point D tomberait en S , ce qui donnerait un cône entier, et aussi quand la ligne AD serait parallèle à l'axe , ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier cas DG serait nulle , dans le second DG serait égale à AO et à IK.

PROPOSITION IX

LSHMS.

6g. %6%. Soient AB , BC , CD , plusieurs côtés successifs d'un polygone régulier, G son centre y et 01 le rayon du cercle inscrit; sï on suppose que la portion de polygone ABGD, située tout entière d'un même côté du diamètre FG, fasse une révolution autour de ce diamètre y la sur^ face décrite par ABGD aura pour mesure MQxcfVc. CI, MQ étant la hauteur de cette surface ou la partie de Vaxe comprise entre les perpendiculaires AM, DQ- Le point I étant milieu dé AB , et IK étant une perpen-

UVHK YIII.

à un cône égal , la surface des deux pyramides enveloppera celle des deux cônes , et par conséquent sera la plus * grande. Donc il est impossible que la circonférence de la hase d'un cône donné multipliée par la moitié de son côté mesure la surface d*un cône plus petit. ^

Donc enfin la surface convexe d*un cône est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté.

Sehalie^ Soit L le côté d'un cône , R le rayon de sa base , la circonférence de cette base sera S'ttR, et la surface du * cône aura pour mesure 2IitR x 7L, ou ttRL.

PROPOSITION VIIL

TiltOBÈXB.

La surface convexe du tronc de cône ADEB est égale fig. a6i. à son côté AD multiplié par la demi-somme des circon-férences de ses deux bases AB , DE.

Dans le plan S AB qui passe par l'axe SO , menez perpendiculairement à SA la ligne AF , égale à la circonférence qui a pour rayon AO ; joignez SF , et menez DH parallèle a AF.

A cause des triangles semblables SAO , SDG , on aura AO : DC :: SA : SD; et à cause des triangles semblables SAF , SDH , on aura AF : DH :: SA : SD ; donc AF : DH :: AO : DC, ou : : cire. AO : cire. DG*. Mais par construction • n, 4. AF^ cire. AO; donc DR = cire. DC. Cela posé, le triangle SAF , qui a pour mesure AF x f SA , est égal à la surface du cône SAB qui a pour mesure cire. AO x 7 SA. Par une raison semblable le triangle SDH est égal à la surface du cône SDE. Donc la surface du tronc ADEB est égale à celle du trapèze ADHF. Celle-ci a pour mesure* AD x *7» 5- /AF4-DH\

/ ^ ] ; donc la surface du tronc de cône ADEB est

égale à son côté AD multiplié par la demi-somme des circonférences de ses deux bases.

Corollaire. Par le point I , milieu de AD , menez IKL

fitOHiTtlt.

parallèle à AB , et IM parallèle à AF; on démontrera comme ci-dessas que IM = cire. IK. Mais le trapèze ADHF = ADx IM=ADx<7/re. IK. Donc on peut dire encore que la surface d'un tronc de cène est égale à son côié midtiplié par la circonférence d'une eeetion faite a égale distance de» deux haeee.

Scholte, Si une ligne AD , située tout entière d'un même èôté de la ligne OG et dans le même plan , fait une révolution autour de OG, la surface décrite par AD aura pour

/rire?. AO + c/rc. DC\ „ mesure AD x f ^ J » ou AD x cire. IK j

les lignes AO , DG , IK , étant des perpendiculaires abaissées des extrémités et du milieu de la ligne AD sup raxeOG.

Car si on prolonge AD et OG jusqu'à leur rencontre mutuelle en S , il est clair que la surface décrite par AD est celle d'un cône tronqué dont OA et DG sont les rayons des bases, le cône entier ayant pour sommet le point S. Donc cette surface aura la mesure mentionnée.

Cette mesure aurait toujours lieu , quand même le point D tomberait en S , ce qui donnerait un cône entier, et aussi quand la ligne AD serait parallèle à Taxe , ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier cas DG serait nulle , dans le second DG serait égale à AO et à IK.

PROPOSITION IX

LSHMS.

6g. a6a. Soient AB , BC , CD , plusieurs côtés successifs d'un polygone régulier, son centre, et 01 le rayon du cercle inscrit; s£ on suppose que la portion de polygone ABGD, située tout entière d'un même côté du diamètre FG, fasse une révolution autour de ce diamètre y la surface décrite par ABCD aura pour mesure "SlQxct'rc. 01, MQ étant la hauteur de cette surface ou la partie de l'axe comprise entre les perpendiculaires AM, DQ^ Le point I étant milieu dé AB , et IK étant une perpen-

LiTHi vnt.

diculaire à Taxe abaissée du point I , la surface décrite par A 6 aara pour mesure AB X cire* IK*. Menez AX parallèle *8. à Taxe, les triangles ABX, OIK, auront les côtés perpendiculaires chacun à chacun , savoir 01 à AB , IK a AX , et OK à BX ; donc ces triangles sont semblables et donnent la proportion AB : AX ou MN :: 01 : IK , ou :: cire. 01 : cire, IK; donc AB Xi?/rc. IK = MNx<fire. OL D'où Fou Toitque la surface décrite par ABest égale à sa hauteur MN multipliée par la circonférence du cercle inscrit. De même la surface décrite par BG , = NP x cire. 01 , la surface décrite par GD,=PQ X cire. 01. Donc la surface décrite par la portion de polygone ABGD, a pour mesure (MN-4-NP-4-PQ) x cire. 01, . ouMQ X cire. 01; donc elle est égale à sa hauteur multipliée par la circonférence du cercle inscrit»

Corollaire. Si le polygone entier est d'un nombre de côtés pair, et que l'axe FG passe par deux sommets opposés F et G, la surface entière décrite par la révolution du demi-polygone FAGG sera égale à son axe FG multiplié par la circonférence du cercle inscrit. Cet axe FG sera en même temps le diamètre du cercle circonscrit.

PROPOSITION X

THiORtHlé

La surface de la sphère est égale à son diamètre inultiplié par la circonférence d'un grand cercle.

Je dis 1^ que le diamètre d'une sphère ,\ multipUé par la circonférence de son grand cercle, ne peut mesurer la surface d'une sphère plus grande. Gar soit, s'il est possible, AB X cire. AG la surface de la sphère qui a pour rayon GD, fig. a65.

Au cercle dont le rayon est GA , circonscrivez un polygone régulier d'un nombre pair de côtés qui ne rencontre pas U circonférence dont CD est le rayon; soient M et S deux sommets opposés de ce polygone ; et autour du diamètre MS faites tourner le demi- polygone MPS. La surface d^nte par ce po^fgone aura pour mesure MS xctrc. AG* rpaais "9- MS est plus grand que AB; donc la snrfoce ^jyto fi^ ^

âSâ GtOMtTMB.

polygone, est plus grande que ABx cire, AC,. et par conséquent plus grande que la surface de la sphère dont le rayon est CD. Or, au contraire, la surface de la sphère est pins grande que la surface décrite par le polygone, puisque la première enyeloppe la seconde de toutes parts. Donc le diamètre d'une sphère, multiplié par la circonférence de son grand cercle, ne peut mesurer la surface d'une sphère plus grande.

Je dis que ce même produit ne peut mesurer la surface d'une sphère plus petite. Car soit, s'il est possible, DE X cire. CD la surface de la sphère qui a pour rayon GA. On fera la çième construction que dans le premier cas , et la surface du solide engendré par le polygone sera toujours égale à MSxûirc, Â^C, Maiâ MS est plus petit que DE , et être. AG plus petité que eire, CD ; donc , par ces deux raisons , la surface du solide décrit par le polygone serait plus petite que DE x cire, GD, et par conséquent plus petite que la surface de la sphère dont le rayon est AG. Or, au contraire, la surface décrite par le polygone est plus grande que la surface de la sphère dont le rayon est AG , puisque la première surface enveloppe la seconde ; donc 2° le diamètre d*une sphère multiplié par la circonférence de son grand cercle ne peut mesurer la surface d'une sphère plus petite^

Donc la surface de la sphère est égale à son diamètre multiplié par la circonférence de son grand ce.^cle.

Corollaire. La surface du grand cercle se mesure en multipliant sa circonférence par la moitié du rayon ou le quart du diamètre ; donc la surfaee de la êphire est quadruple de eélle d'un grand cercle»

Scholie. La isurface de la sphère étant ainsi mesurée et comparée à des surfaces planes, il sera facile d'ayoir la valeur absolue des fùseaux et triangles sphériques dont on a déterminé ci-dessus le rapport avec la surface entière de la sphère.

D^f bord le fuseau dont Fangle est A , est à la surface de 7. la sj^ère comme l'angle A est à quatre angles droits'^ , ou eonÀne Tare de grand cercle qui mesure l'angle A est à la

UVBB TUI. 228

circonférence de ce même grand cercle. Mais la surface de la sphère est égale à cette circonfésence multipliée par le diamètre ; donc la surface du fuseau est égale à Tare qui mesure l'angle de ce fuseau multiplié par le diamètre.

£n second lieu , tout triangle sphérique est équivalent à un fuseau dont l'angle est égal a la moitié de l'excès de la somme de ses trois angles sur deux angles droits*. Soient * 33,7. donc P, Q , R, les arcs de grand cercle qui mesurent les trois angles du triangle ; soit € la circonférence d'un grand cercle, et D son diamètre ; le triangle sphérique sèra équivalent au fuseau dont l'angle a pour mesure ^"^Q*^^ —

et par conséquent sa surface sera D x ^^^Q"^^ — *9^ ^

Ainsi , dans le cas du triangle tri-rectangle , chacun des arcs P , Q , R , est égal à J-C, leur somme est |C, Texcès de cette somme sur 7 G est , et la moitié de cet excès= j G ; donc la surface du triangle tri-rectangle = ^G X D , ce qui est la huitième partie de la surface totale dç la sphère.

La mesure des polygones sphériques suit immédiatement de celle des triangles, et d'ailleurs elle est entièrement déterminée par la prop. xxiv, Ht. tu , puisque l'unité de mesure, qui est le. triangle tri^rectangle, Tient d'être éTaluée en surface plane.

PROPOSITION XI

THtORÈHE.

La surface d'une zâne sphérique quelconque est égale à la hauteur de cette zâne multipliée par la circonférence d'un grand cercle^

Soit £F un arc quelconque plus petit ou plus grand que fig. 369. le quart de, circonférence ,^ et soit abaissée FG perpendicu* laire sur le rayon £G ; je dis que la z6ne à une base, décrite . par la réTolutibn de l'arc EF autour de £G, aura pour mesure £G x cire, £G.

Car supposons d'abord que cette zône ait une mesure

atOHftTRlS«

plus petite, et soit, s'il est possible , cette mesure = Ëû X eire,Ck. InscnTez dans l'arc £F une portion de polygone régulier BMNOPF dont les côtés n'atteignent pas la circonférence décrite du rayon C A, et .abaissez CI perpendiculaire sur EM; la surface décrite par le polygone ËMF tournant *9* autour de £G, aura pour mesure EGxcirc, Gl*.« Cette quantité est plus grande que ËG X cire. AC , qui , par hypothèse, est la mesure de la zone décrite par Tare ËF. Donc la surface décrite par .le polygone EMNOPF serait plus grande que la surface décrite par Tare circonscrit ËF ; or, au contraire , cette dernière surface est plus grande que la première , puisqu'elle l'enyaloppe de toutes parts ; donc 1° la mesure de toute zone sphérique à une base ne peut être plus petite que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cerôle.

Je dis en second lieu que la mesure de la même zone ne peut être plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle. Car supposons qu'il s'agisse de la zone décrite par l'arc AB autour de AC , et soit, s'il est possible, zône AB> AD x ciro. AC. La surface entière de la sphère composée des deux zones AB , BH , a • 10. pour mesure AH x cire. AC*,[ou AD X cire, AG-»-DH x cire, AC; si donc on a zone AB^ADx cire, AC, il faudra qu'on ait zone BH<DH Xtf/rr. AC ; ce qui est contraire à la pre» roière partie déjà démontrée. Donc la mesure d'une zone sphérique à une base ne peut être plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.

Donc enfin toute zone sphérique à une base â pour mesure la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.

Considérons maintenant une zone quelconque , à deux 6g. aao. bases , décrite par la révolution de l'arc FH autour du diamètre DE , et soient abaissées les perpendiculaires FO, HQ, sur ce diamètre. La %one décrite par l'arc FH est la diffé* rence des deux zones décrites parles arcs DH et DF; celles-ci ont pour mesures DQ x cire. CD et DO x cire. CD j donc la

LlTftl Vin.

Sâ5

ïone décrite par.FH a pour mesare (DQ — "DO) x cire, CD on OQxwrc.CD.

Donc toute zone sphérique à une on à deux baees, a pour mesure la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un gfrand cercle.

C^rollairê. Deux zones prises dans une même sphère ou dans des sphères égales, sont entre elles comme leurs hauteurs , et une zone quelconque est à la surface de la sphère comme la hauteur de cette zone est au diamètre.

PROPOSITION XII

THtORÈHB.

Sï le triangle BAC et le rectangle BCEF, de même base ^^i a65? et de même hauteur y tournent simultanément autour de la base commune BC , le solide décrit par la révolution du triangle sera le tiers du cylitidre décrit par la révolution du rectangle.

Abaissez sur Taxe la perpendiculaire AD; le cône décrit fig. 364. par le triangle ABD est le tiers du cylindre décrit par le rectangle AFBD*, de même le cône décrit par le triangle * 5. ADG est le tiers du cylindre décrit par le rectangle ADCE ; donc la somme des deux cônes ou le solide décrit par ABC est le tiers de la somme des deux cylindres ou du cylindre décrit par le rectangle BCEF.

Si la perpendiculaire AD tombe au-dehors du triangle, fig. a65. alors le solide décrit par ABC sera la différence des cônes décrits par ABD et ACD.; mais en même temps le cylindre décrit par BCEF sera la différence des cylindres décrits par AFBD, AECD. Donc le solide décrit par la révolution du triangle sera toujours le tiers du cylindre décrit par la révolution du i^ectangle de même base et de même hauteut.

Scholie. Le cercle dont AD est le rayon a pour sûr-^ face TT X AD ; donc ir x AD x BC est la mesure du cylindre, décrit par BCEF, et x AD X BC est celle du solide décrit par le triangle ABC.

GtOEtTMB.

PROPOSITION XIII

PROBIÈMB.

fig. Le triangle CAB étant supposé faire une révolution autour de la ligne CD , menée comme on voudra hors du triangle par son sommet G , trouver la mesure du solide ainsi engendré.

Prolongez le côté AB jusqu'à ce qu'il rencontre l'axe CD en D, des points A et B abaissez sur Taxe les perpendiculaires AM y BN.

*is. Le solide décrit par le triangle CAD a pour mesure* \k X AM 'x CD; le solide décrit par le triangle CBD a pour mesure y 7 X BN X CD ; donc la difierence de ces solides ou le solide décrit par ABC aura pqur mesure -^ir. (aM— BN ) X CD.

On peut donner à cette expression une autre forme. Du point I , milieu de AB , menez IK perpendiculaire à CD , et par le point B menez BO parallèle à CD, on aura * 7. 3. AM + BN == 2IK* et AM — BN = AO ; donc , ( AM + BN J x

• 10, 5. (AM— BN), ou AM— BN =aiK x AO *. La mesure du solide dontil s'agit est donc exprimée aussi par f t x 1K x AO x CD. Mais si on abaisse CP perpendiculaire sur AB, les triangles ABO, DCP, seront semblables, et donneront la proportion AO : CP : : AB : CD ; d'où résulte AO x CD = CP x AB ; d'ailleurs CP x AB est le double de l'aire du triangle ABC ; ainsi on a AO x CD = âABC ; donc le solide décrit par le triangle ABC a aussi pour mesure |t x ABC x IK, ou, ce qui est la même cbose, ABC x f cire, IK (car cire. IK=2r. IK). Donc U /solide décrit ^ar la révolution du triangle ABC, a pour mesure Vaire de ce triangle multipliée par les deux tiers de la circonférence que décrit le point 1 milieu de sa^baee.

«g. aô;. Corollaire, Si le côté AC= CB , la ligne CI sera perpendiculaire à AB, l'aire ABC sera égale à ABx^CI, et la solidité X ABC x IK deviendra f « x AB x IK X CI. Mais les triangles ABO, CIK , sont semblables et donnent la proportion AB : BO ou MN : : CI : IK; donc AB >^ IK=MN x CI

LlVBl VIH. 227

donc le solide décrit par le triangle isoscèle ABC aura pour

mesure | a- x MN x CI.

Scholie. La solution générale parait supposer que la ligne AB prolongée rencontre Taxe ; mais les résultats n'en seraient pas moins vrais , quand la ligne AB serait parallèle à l'axe.

£n effet, le cylindre décrit par AMNB a pour mesure H-

ir. AM* MN, le cône décrit par ACM= jjt.Âm'cM, et le

cône décrit par BGN=:ji?. AM. GN. Ajoutant les deux premiers solides et retranchant le troisième ^ on aura pour

le solide décrit par ABC, ^. ÂM.*{MN + |CM — j^N) : et puisque CN — CM = MN , cette expression se réduit à

^ . AM . jMN , ou I îT .CP.MN , ce qui s'accorde avec les résultats déjà trouvés.

PROPOSITION XIV

THÉORÈME

èoïent AB, BC, CD, plusieurs côtés successifs d'un fig. 26a. poÙ/gone régulier ^ G son centre , et 01 le rayon du cercle inscrit; ^i on imagine que le secteur polygonal AOD , situé d'un mène côté du diamètre FG , fasse une révolution autour de ce diamètre y le solide décrit aura pour

mesure . 01 . MQ , MQ étant la portion de l'axe terminée par les perpendiculaires extrêmes AM, DQ.

En effet , puisque le polygone est régulier, tous les triangles AOB, BOC, etc., sont égaux et isoscèles. Or, suivant le corollaire de la proposition, précédente, le solide produit

par l€ triangle isoscèle AOB a pour mesure |iç.OI .MN; le

solide décrit par le triangle BOC a pour mesure jit .01 . NP , et le solide décrit par le triangle COD a pour mesure

j'Tc .01 .PQ ; donc la somme de ces solides , ou le solide entier décrit par le secteur polygonal AOD, aura pp4^ mesure

I ^ . Ôïl ( MN + NP +PQ ) ou |tc . OÎ'. MQ.

GiOBtTRIB.

PROPOSITION XV

TBtOlBMB.

Tout secteur sphërique a pour mesure la zone qui tut sert de base multipliée par le tiers du rayon, et la sphère entière a pour mesure sa surface multipliée par le tiers du rayon.

169. Soit ABC le secteur circulaire qui, par sa révolation autour de AG , décrit le secteur sphérique; la zone décrite

is. par AB étant AD X cire. AG ou 3T.AG .AD"", je dis que le sectéur sphérique aura pour mesure cette tone multipliée

par^AG, ou Iît.AgIaD.

En effet, V supposons, s*il est possible, que cette quantité ^ir.AG.AD soit la mesure d'un secteur sphérique plus grand , par exemple , du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire EGF semblable à AGB.

Inscrivez dans l'arc EF la portion de polygone régulier

EMNF dont les côtés ne rencontrent pas l'arc AB, imaginez

ensuite que le secteur polygonal ENFG tourne autour de EG

en même temps que le secteur circulaire EGF. Soit CI le

rayon du cercle inscrit dans le polygone, et soit abaissée FG

perpendiculaire sur EG. Le solide décrit par le secteur poly-

i4- gonal aura pour mesure .EG* : or, GI est plus grand que AG par construction, et EG est plus grand que AD { car, joignant AB, EF, les triangles EFG, ABD, qui sont semblables, donnent la proportion EG : AD :: FG : BD :: GF : GB; donc EG>AD.

Par cette double rais<^n jt.GI.EG est plus grand què

jit . GA . AD : la {Première expression est la mesure du solide décrit par le secteur polygonal , la seconde est par hypothèse celle du secteur sphérique décrit par le éecteur circulaire EGF ; donc le solide décrit par le secteur polygonal serait plus grand que le secteur sphérique décrit par le secteur circulaire. Or, au contraire , le solide dont if s'agit est moindre que se/cteur sphérique, puisqu'il' y est

LITBB Vin.

contenu ; donc l'hypothèse d'où on est parti ne saurait subsister ; donc 1<* la zone ou base d'un secteur sphérique, multipliée par le tiers du royon, ne peut mesurer un secteur sphérique plus grand.

Je dis â° que le même produit ne peut mesurer un secteur s sphérique plus petit. Car , soit CEF le secteur circulaire qui, par sa révolution, produit le secteur sphérique donné,

et supposons, s'il est possible, que ^tt .CE «EGsoit la mesure d'un secteur sphériquQ plus petit , par exemple, de celui qui provient du secteur circulaire ACB.

La construction précédente restant la même, le solide décrit par le secteur polygonal aura toujours pour mesure

f ir . CI .EG. Mais CI est moindre que CE ; donc le solide est moindre que -|ir» CE. ËG, qui, par hypothèse, est la mesure du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire ACB. Donc le solide décrit par le secteur polygonal serait moindre que le secteur sphérique décrit par ACB. Ôr, au contraire, le solide dont il s'agit est plus grand que le secteur sphérique « puisque celui-ci est contenu dans l'autre. Donc il est impossible que la zone d'un secteur sphérique multipliée par le tiers du rayon soit la mesure d'un secteur sphérique plus petit.

Donc tout secteur sphérique a pour mesure la zone qui lai sert de base multipliée par le tiers du rayon.

Un secteur circulaire ACB peut augmenter jusqu'à devenir égal au demi-cerde ; alors le secteur sphérique décrit par sa révolution est la sphère entière. Donc la solidité de la iphèrv est égale à sa surface multipliée par le tiers de son rayon .

Corollaire^ Les surfaces des sphères étant comme les carrés de leurs rayons, ces surfaces multipliées par les rayons sont comme -les cubes des rayons. Donc les èolidité» de deux sphère* sont comme les cubes de leurs rayons , ou comme les cubes de leurs diamètres,

Scholie. Soit R le rayon d'une sphère , sa surface sera -i^R», et sa solidité 4wR^ X-jR, ou|,rR3. Si on appelle D le diamètre , on aura R = ^D , et R^ i= | D^ ; donc la solidité s^expriraera aussi par J w X ^ D^ , ou i| D^.

fitOEtTBIl.

PROPOSITION XVI

THtOBÈEB«

La surface de la sphère est à la surface totale dn cylindre circonscrit {en y comprenant ses bases) comme 2 est à 3. Les solidités de ces deux corps sont entre elles dans le même rapport, ûg. 970. Soit MPNQ le grand cercle de^ la sphère , ABCD le carré circonscrit; si on fait tourner à la fois le demicercle PMQ et le demi-carré PADQ autour du diamètre PQ, le demi-cercle décrira la sphère; et le demi-carré décrira le cylindre circonscrit à la sphère.

La hauteur AD de ce cylindre est égale au diamètre PQ, la base du cylindre est égale au grand cercle , puisqu'elle a pour diamètre AB égale à MN ; donc la surface convexe *4- du cylindre'*' est égale à la circonférence du grand cercle multipliée par son diamîètre. Cette mesure est la même que

* 10. celle de la surface de la sphère'*' : d'où il suit que la surface

de la sphère est égale à la surface convexe du cylindre circonscrit.

Mais la surface de la sphère est égale a quatre grands cercles ; donc la surface convexe du cylindre circonscrit est égale aussi à quatre grands cercles : si on ^ joint les deux bases qui valent deux grands cercles, la surface totale du cylindre circonscrit sera égale à six grands cercles; donc la surface de la sphère est a la surface totale da cylindre circonscrit comme 4 est à 6 , ou comme 2 est à S. C'est le premier point qu'il s'agissait de démontrer.

En second lieu , puisque la base du cylindre circonscrit est égale à un grand cercle et sa hauteur au diamètre , la solidité du cylindre sera égale au grand cercle multiplié par * T. le diamètre^. Mais la solidité de la sphère est égale à quatre

* 16. grands cercles multipliés par le tiers du rayon'*' , ce qui

revient à un grand cercle multiplié par ^ du rayon, ou \ du diamètre ; donc la sphère est au cylindre circonscrit comme 2 est à 3 , et par conséquent les solidités de ces deux corps sont entre elles comme leurs surfaces.