LIVRE YIII

Seholie. Si OD imagine un polyèdre dont tontes le» faces touchent la sphère, ce polyèdre pourra être considère comme composé de pyramides qui ont toutes pour sommet le centre de la sphère , et dont les bases sont les différentes faces du. polyèdre. Or, il est clair que toutes ces pyramides auront pour hauteur commune le rayon de la sphère , de sorte que chaque pyramide sera égale à La face du polyèdre qui lui sert de base , multipliée par le tiers du rayon : donc le polyèdre entier sera égal à sa surface multipliée par le tiers du rayoïl de la sphère inscrite.

On voit par là que les solidités des polyèdres circonscrits à la sphère sont entre elles comme les surfaces de ces mêmes polyèdres. Ainsi, la propriété que nous. avons démontrée pour le cylindre circonscrit est commune à une infinité d'autres corps.

Ou aurait pu remarquer également que les surfaces des polygones circonscrits au cercle sont |ntre elles comme leurs contours..

PROPOSITION XVU.

PROBLÈME

Le segmeni circulaire BMD étant supposé faire une fig. révolution autour ilun diamètre extérieur à ce^ segment ^ trouver la valeur du solide engendré.

Abaissez sur Taxe les perpendiculaires BË, DF; du centre G menez CI perpendiculaire sur la corde BD , et tirez les rayons GB, CD.

Le solide décrit par le secteur BGA=f w. CB.AE*; le * i

solide décrit par le secteur DCA=| w.CB .AF; donc la différence de ces deux solides , ou le solide décrit par le secteur BCB=:|ir.CB' (ÀF—AE)=|7p.Gb!eF. Mais le solide

décritpar le triangle isoscèleDGBapourmesurefir.GI.EF*; * i donc le solide décrit par le segment BMD = j9c.EF.

( CB — CI ). Or, dans le triangle rectangle GBI, on a

CB — CI = BI* = j BD 5 donc le solide décrit par le seg^

322 GtOMÉTBIB.

ment BMD aura pour mesure f ^ .EF. J BD* ou i^-BD^EF. Sckolie. Le solide décrit par le segment BMD est à la

sphère qui a pour diamètre BD, comme ^«.BD.EF est

àftr.BD^u ::EF:BD.

PROPOSITION XVIIL

THtOBÈHI. <

Tout segment de sphère, compris entre deux plans pa^ rallèles, a pour mesure la demi-somme de ses bases multipliée par sa hauteur y plus la solidité de la sphère dont cette même hauteur est le diamètre.

fg. ayi. Soient BE, DF, les rayons des bases du segment, EF sa hauteur, de sorte que le segment soit produit par la révolution de l'espace circulaire BMDFE autour de Taxe FE.

*i7 Le solide décrit par le segment BMD'*' =^17 -BD. £F, *6. le tronc de cône décrit par le trapèze BDFE*=|ir.EF.

(bE+DF+BE.Df); donc le segment de sphère qui est

lasomme de ces deux solides =| 17 .EF. (3BE+3DF+3BE.

BF + BD ) . Mais, en menant BO parallèle à EF, on aura DO

*9, 3. =DF— BE,1dO=DF— aDF.BE+BÊ*, et par conséquent

BdV==b5+d5=1f+Df1-- 2DF x BE+BE * Mettant cette

valeur à la place BD dans Texpression du segment, et effaçant ce qui se détruit , on aura , pour la solidité du segment ,

^ sr . EF . ( 3 BE + 3 DF +ÊF* ) , expression qui se décompose en deux parties ; l'une

i „ ,EF -(sBËV SDÏ ')i ou EF . ^^'^^'"^^'^^ ^est lademi-

somme des bases multipliée par la hauteur ; l'autre ^17 .EF • i5 scb. représente la sphère dont EF est le diamètre : donc tout segment de sphère, etc.