L. BC
Donc la distance cherché^ BC= 1124». 66.
Lxi. Exemple IV. Trois points A , B , G, ëtant donnés sur ^g- 9la carte d'un pays , on propose de déterminer la position d*un quatrième point M , d*oà on aurait mesuré les angles AMB, AMC; les quatre points étant supposés dans le ifiême plan.
Sur AB décrivez un segment AMDB , capable de l'angle donné BM A ; sur AC , décrivez pareillement un segnient AMC capable de l'angle donné AMC ; les deux arcs se couperont en A et M, et le point M sera le point requis. Car les points de l'arc AMDB sont les seuls d'où l'on puisse voir AB sous un angle égal à AMB ; ceux de l'arc AMC sont les seuls d'où l'on puisse voir AC sous un angle égal à AMC ; donc le point M , intersection de ces deux arcs , est aussi le seul d'où l'on puisse voir à la fois AB et AC sous les angles AMB , AMC. Il s'agit maintenant de calculer trigonométriquement la position du point M , d'après cette construction.
Soient les données AB = 2500», AC = 7000», BC =
9000-», AMB = 30» BC, AMC= 12P 40'. Dans le triangle
ABC 9 ou l'on connaît les trois cotés , on déterminera l'angle
«A^* , i. , . . A T. 6780.2250 , „ , BAC* par la formule #m«^ A=R' . ^^^^ ^q^^ ; d'où l'on * ï^vir.
tire 2%5m7A = 19.9S844BS, log «m ^A'r= 9.9692241 , i A =76«âl' .5, et enfin A=152o 63'. Tirez le diamètre AD et joignez DB ; dans le triangle BAD rectangle en B , on aura le côté BA=:2500, et l'angle opposé BDA = BMA
TRIGOIfOHtTBII
«=rM» 80'; d'où résulte rhypothénase AD=z
5S74". 6. Tirant de même le diamètre AE et joignant CE, on aura an triangle rectangle GAE dans lequel on connaît le c6të AG=7000, et l'angle adjacent GAE=AMC-
100«=21« W: d'où l'on conclnra AE= -î--7^==:741ô-.
eoê GAË
Maintenant si l'on tire MD et ME, les deux angles AMD, AME, étant droits, la ligne DME sera droite. Il reste donc à résondre le triangle DAE dans lequel la ligne AM, dont il faut déterminer la grandeur et la position , est perpendicnlaire à DE. Or, dans ce triangle on a les côtés donnés AD = 5374 .6, AE = 7415, et l'angle compris DA£=: BAG+GAE— DAB=:104«83'. De là on conclnra l'angle ADEs=56»9S' ; et enfin par le triangle rectangle DAM on aura AM=4190'». 8S. Gette distance et l'angle BAM= lis® 27' déterminent entièrement la position du point M.
Nota. Si on Tent calculer les mêmes exemples an moyen des tables construites suiTant Tancienne division du cercle, il faudra changer comme il suit l'expression des angles donnés on calculés ; du reste toutes les valeurs logarithmiques et celles des i^tés resteront les mêmes.
Exemple i. Angle donné BCE= 4P 4' 33". 6 , ou simplement BC£=: 4P4'30'', cardans ces sortes d'opérations, quelques secondes de plos ou de moins dans les angles , n'influent pas sensiblement sur les distances qu'on veut déterminer.
Exemple ii. Angles donnés BA])=:103« 55' 55"'. 2 , BDA=36* 4' 19^'. 2, ABD = 39» 59' 45". 6, CAB = 35<> 15' 10". 8 , ADC = 119" 32^ -49". 2.
JSxemple m. Angle donné BAC =68» 40^ 44". 4,
Angle conclu i (B + C) = 55» 39' 37". 8.
Angles calculés ^ (B— C) = 29» 8' 24". 7 B=84»48'2".5, C=26»31' 13". 1.
Exemple it. Angles donnés AMB=27» 43' 12", AMC=109» 15' 36", angles calculés Ar=137^ 22' 1". 2, DAE = 94» 20' 49", 2» BAli = 1010 2' 34". a
Principes pour la résolution des triangles sphériques rectangles.
Lxii. Dans tout triangle sphérique rectangle, le rayon est au sinus de l'hypothénuse , comme le sinus d'un des angles obliques est au sinus du côté opposé.
Soit ABC le triangle sphérique proposé , A son angle fig. i<h droit , B et C les deux autres angles que nous appellerons angle* oblique», et qui cependant pourraient être droits Tun ou l'autre , ou tous les deux ; je dis qu'on aura la pro* portion B. : iin BG :: sin B : êin AG.
Du centre de la sphère , menez les rayons QA, OB, OG ; prenez ensuite OF égal au rayon des tables , et du^ point F menez FD perpendiculaire sur OA ; la ligne FD sera perpeDdiculaire au plan OAB, puisque, par hypothèse, l'angle A est droit , et qu'ainsi les deux plans OAB , OAG sont perpendiculaires entre eux. Du point D menez DE perpendiculaire sur OB , et joignez EF ; la ligne EF sera aussi perpendiculaire sur OB , et ainsi, l'angle DËF mesurera l'inclinaison des deux plans OBA, OBG, et sera égal à l'angle B du triangle ABG. Gela posé, dans lé triangle DEF rectangle en 1>, on a R:«nDEF:;EF : DF; or l'angle DEF=B , et puisque OF==R , on a EF=#m EOF==:#*« BG, DF =sin AG. Donc R : 9in B :: êin BG : sin AG , ou R : êin BG :: #*nJB : êin AC.
Si on appelle a l'hypothénuse ou le côté opposé à l'angle droit A , 3 le c6té opposé à l'angle B , c le côté opposé à. l'angle G , on aura donc
R : êin a :: êin B : sin h :: êin G : êin e , ce qui fournit déjà deux équations entre les parties du^ triangle sphérique rectangle.
LXin. Dans tout triangle sphérique rectangle le rayon est au cosinus d'un angle oblique, comme la tangente de l'hypoténuse est à la tangente du côté adjacent à cet angle.
326 TBlGOROStra»
ig. 10. Soit toujoars ABC le triangle proposé rectangle en A , je dis qu'on aura R : c0# B :: tang BC : iang AB.
Car en faisant la môme construction que ci-dessus , le triangle rectangle B£F donne la proportion R : coê D£F : : EF : ED. Or, on a DEF=B , EF=#m BC, QiE=eos BC , et
dans le triangle OED rectangle en E, on a DE= ^^ tan^ DOE
coê BC iang AB , . co* BC tanq AB = ; donc R : eoê B :: #i« BC : g-2
R BC ^ ^ . ffifgg ^ enfin
COê oKa
R : A)# B :: tang BC : tang AB.
Si on fait coitame ci-dessus BC=a et ABa=c on aura
•n T> ^ ^ ^ ^tangc tangeeoia
R : co# B :: tang a : tang e, ou cos B= —= — ^ .
tang a 11
Le même principe appliqué à Tangle C , donnera ce* C
'Si tang b tang h eot a
tang a R
Lxiv. Dans tout triangle sphérique rectangle le rayon est au cosinus d'un côté de l'angle droit j comme le cosinus de l'autre côté est au cosinus de l'hypoténuse. fg. 10. Soit ABC le triangle proposé rectangle en A , je dis qu'on aura R : co9 AB :: co$ AC : coê BC.
Car la construction étant la même que dans les deux
propositions précédentes , le triangle ODF rectangle en D,
où Ton a l'hypoténuse OF=R, on aura OD = co9 DOF =
cos AC; ensuite le triangle ODE rectangle en E, donnera
OD eos DOE cos AC AB - . , , ^ . , 0E= = ^5 . Mais dans le triangle
rectangleOEF, onaOE=(?o#BC; donc<?MBC=^^^ — — , ou 9 ce qui revient au même,
R : cos AC :: cos AB : cos BC.
Ce troisième principe s'exprime par l'équation "l^cosa^ eos b cos c; il n'est pas susceptible d'en fournir une seconde , comme les deux précédents , parce que la permutation faîte entre beXc n'apporte aucun changement à l'équation.
SPHtBIQUl. Sâ7
tXY. Au moyen de ces trois principes généraux , on en peut trouver trois autres nécessaires pour la résolution des triangles sphériques rectangles. Ces derniers principes pourraient se démontrer directement chacun par une construction particulière ; mais il est préférable de les déduire des trois premiers par Yoie d'analyse, ainsi qu'on xfi le faire.
X ' A' . T> sin h >, R '«^V ^1
Les équations nn B = — : , coê C=-— — — donnent
êtn a tang a
. 1. . . coê C tanq h Min a eoê a s . .
par leur dmsion . ^-rr / ^ . = = (suivant
9tn la 9tn b tang a cos à
le troisième principe) On a donc ce quatrième principe
sin B : C0# C :: B. : cm e ,
duquel résulte aussi par la permutation des lettre» sin C leosBii'R: coê 6,
Le premier et le second principe donnent êtn B : =
Btançc , . «nB tançB êtnhtanqa
eosB= —■ — —i de la on déduit -on ^
tang a cos B K êtn a tang c
= = (en vertu du d°*' principe) — ; :;
coêatange m. m. f co$ b C09 û tang a
tang b ^ j^q^^ç, qu a pour cinquième principe Téquation
tanq B= ^ ^ , OU l'analogie ^ 8tn c
R : tang B :: sin e : tangb;
d'où résulte aussi par la permutation des lettres :
R : tang G :: sin b : tang e.
Enfin ces deux formules donnent
^ , ^ R' tang b tang c R^ . ^
tang B tang G = — : — ^ = ; = (en vertu
*' sin b sm c cas ù cos c
du troisième principe) ^ . lDoncK^=cosatang'BtangCf ou coi B cot C=Ji cos a, ou
tang B : cotCiiB: cos a.
TllGOROSÉTBII
C'est le sixième et dernier principe : ii n'est pas susceptible de fournir une autre équation, parce que la permutation entre G et B n'y produit aucun changement.
Voici la récapitulation de ces six principes dont quatre donnent chacun deux équations :
