III. R eo8 a = co« 6 coac

lY. R cos B = «tfi G coa 6» R coa C=sainB coa c y. R tang 6= ain c tang B , R iang c=ain b fang G VI. R coa a=zcot B coi C.

Il çn résulte dix équations contenant toutes les relations qui peuvent exister entre trois des cinq éléments B , C , a, b, c; de sorte que deux de ces quantités étant connues avec l'angle droit , on connaîtra immédiatement la troisième par son sinus , son cosinus , sa tangente ou sa cotangente.

Lxvi. Il est à remarquer que lorsqu'un élément sera déterminé par son sinus seulement , il y aura deux valeurs de cet élément , et par conséquent deux triangles qui satisferont à la question. Car le même sinus qui convient à un angle ou à un arc , convient aussi à son supplément. Il n'en est pas de môme lorsque l'élément inconnu sera déterminé par son cosinus , sa tangente ou sa cotangente. Alors on pourra décider, par le signe de cette valeur, si l'élément dont il s'agit est plus grand ou plus petit que 100° ; l'élément sera plus petit que 100°, si son cosinus , sa tangente ou sa cotangente a le signe + ; il sera plus grand que 100°, si l'une de ces lignes a le signe — • On pourrait aussi établir sur ce sujet des préceptes généraux qui ne seraient que des conséquences des six équations démontrées.

Par exemple, il résulte de l'équation R cos a=cos b €08 Cj que les trois côtés d'un triangle sphérique rectangle sont tous moindres que 100°, ou que des trois côtés deux sont plus grands que 100°, et le troisième moindre. Aucune autre combinaison ne peut rendre le signe de cas b cos c pareil à celui de cos a, comme cette équation l'exige.

De même l'équation R tony c=zs£n b tang C, où sin h est toujours^ positif, prouve que tang C a toujours le même

SPHËBIQUE.

signe que iang e* Donc dan* tout triangle sphérique rectan gle un angle oblique et le eôtè qui lui est opposé , sont toujours de la même espèce^ c'est-à-dire, sont tous deux plus grands ou tous deux plus petits que 100®.

Résolution des triangles spheriqtœs rectangles.

LXYiT. Un triangle sphériquë peut avoir trois angles droits, et alors ses trois côtés sont de 100<*; il peut avoir deux angles droits seulement , alors les côtés opposés sont tous deux de lOO"*, et il reste un angle avec le côté opposé qui sont mesurés l'un et l'autre par le même nombre de degrés. Ces deux sortes de triangles ne peuvent , comme on voit , donner lieu à aucun problème ; on peut donc fairç abstraction de ces cas particuliers , pour ne considérer que les triangles qui ont un angle droit seulement.

Soit A l'angle droit , B et G les deux autres angles qu'on appelle angles obliques, soit a l'hypoténuse opposée à l'angle A , & et c les côtés opposés aux angles B et G. Étant données deux des cinq quantités B, G, la résolu-

tion du triangle se réduira, toujours à l'un des six cas suivants.

PRBMIEB CAS.

Lxviii. Étant donnés l'hypoténuse a êt un côté b , on

trouvera les deux angles Bet C et le troisième côté c par

tes équations

. R sin b itang b cot a R cos a

sin B = — : , cos G=! — "^-rr , eose= ;-.

sm a R cos 6

L'angle G ne peut laisser aucune incertitude, non plus que le côté c ; quant à l'angle B , il doit être de même espèce que le côté donné 3.