R ~ 2DE.DF
Or.ÔË— DËWrâ'etÔF— ÔDFsaÔD, on a donc
OE.OF;«>*EOF— ÔD.R
DÊJDF ^
Il ne s'agit plus que de substituer dans cette équation les valeurs relatives au triangle sphérique : or on a ËDF = G .
tur— AD=<?, j^j^, — ^^.^ — ^^.^ ^, — ^^.^ j^Qj, —
' R OD go#DOE eo#^ 0D cos DOF eo# a îTTa' LÉ^sin DOE'^lhH' DF~w»DOF""«n a* R' c — R co* a cos b
coê C=
sin a sin b
Ce principe, qui, étant appliqué successivement aux trois angles , fournit trois équations, suffit pour la résolution de tous les problêmes de la trigonométrie sphérique : il a, par rapport aux triangles spbériques , la même généralité que le principe de Tart. xlv , par rapport aux triangles plans. En effet, puisqu'on a toujours trois éléments donnés par le moyen desquels il faut déterminer les trois autres , il est clair que ce principe doune les équations nécessaires pour résoudre le problème ; équations qu'il appartient à l'analyse de développer ultérieurement , pour en tirer, suivant les différents cas, les formules lés plus simples et les mieux adaptées au calcul logarithmique.
Lxxvn. Puisque le principe dont nous parlons est absolument général , il doit renfermer tous les autres principes relatifs aux triangles spbériques, et notamment le principe du n*» Lxxv. C'est ce qu'il est facile de vérifier.
^ fl- 4 r . ^. ^ R' CM c — R CM a cos b
En effet l équation cos C = =
stn a stn b
donne R' — cos' C ou sin' C ==
R' sin' a sin' 5-R" cos' a cos' b + 2R^ cos a cos b cos c-R4 cos' c sin' a sin' b
SPHÊRIQVE. S83
Or, a êin-" h = (R»— co9^ a) (R«— cos^ *)=R4— R« cos^ a — R» eog* b^eoê^ a coê* 6. Donc en substituant et extrayant la racine , on aara
sin a 1^'^''*'^— I^'^^*'*--I^'^^''<H-2RcMa 6 cos c) . Soit pour abréger Z=
|/(R4— R=« a— R» cos^ R« cm" c +2R a cm b cos c). on aura donc
. ^ RZ sinQ RZ
#i« t»= : — i, ou-
sin a sin h* sin c sin a sin b sin c' Les valeurs de cos A et de cos B donneraient semblablement
TttnA RZ sinB RZ
êtn a sin a sin b sin c sin b sin a sin b sin c car la quantité Z ne change pas, lorsqu'on fait la permutation entre deux des quantités a, b, ci donc on a — ^=
sin a sin h
*înC . . . . ,
principe du n" ixxv.
Lxxvin. Les valeurs que nous Tenons de trouver pour cos Cet *m C, peuvent servir à trouver les angles d'un triangle sphérique dont on connaît les trois côtés; mais il existe d'autres formules plus commodes pour le calcul logarithmique.
En effet , si dans la formule R' — RcosC = ^ sin^ ^ C, on substitue la valeur de cos C , on aura
2 sin^ ~ C • j cos C cos a cos b + sin a sin b — R cos c
^ R=* ~~ R"~ sin a sin b *
Le numérateur de cette expression se réduit à R cos [a — b) — R cos or, d'après la formulé R cos q — R cosp=^sin ^ (p + q) sin^ (p—q)*^ on trouve R cos (a — b) — R cos = 2*tn ^ {c — 5+ a) sin f (c — a+b)] donc
Hn'jG K-T->H-T-;
R' sin a sin b '
i. c+b — a . c + a — b\ stn — s sm — f 2 2 \.
sin a sin b ]
d36 TmoaOHÉTRIE
Il est éTidept qu'on aurait des formules semblables ponr exprimer iin 7 A et sin 7 B , par le moyen des trois côtés a, e.
ixxix* Le problême général de la trigonométrie sphérique consiste, comme nous l'avons déjà dit, à déterminer. trois des six quantités A , B, G , par le moyen des trois
autres. 11 est nécessaire, pour cet objet , d'avoir des équations entre quatre de ces quantités , prises de 4oate8 les manières possibles ; or , six quantités combinées quatre à
quatre ou deux à deux , donnent --^ ou 15 combinaisons,
ainsi il y aura quinze équations à former ; mais si on ne considère que les combinaisons essentiellement différentes, ces quinze équations se réduisent à quatre.
En effet , on a , la combinaison ahck , qui conaprend , par la permutation des lettres ahck^ a^B, ahcC ;
La combinaison o^AB , d'où résultent a5AB, ^BG ,
La combinaison dbkQ , qui comprend les six a^AC, o^BC, otAB, acBC, ^cAB, feAG ;
4*> Enfin, la combinaison aABG, qui comprend les trois «ABC, ^ABG, eABG-
n y a donc en tout quinze combinaisons, mais il n'y en a que quatre essentiellement différentes.
. cos a — "Rcosbcogc
Lxxx. L équation cos A = : — t — : , repre-
^ êtn sin c
sente déjà la première combinaison abck et celles qai en
dépendent.
Pour former l'équation qui répond à la combinaison aMB, il faut éliminer c des deux forinules qui donnent les valeurs de cog A et co# B ; mais l'élimination a déjà été faîte (lxxtii),
et le résultat est ^ = ^^î^;
sm a sin à
La troisième combinaison se forme de la relation entre a, A, G ; pour cela ayant les deux équations
cog A gin h gin tf = R' cog a — R cog h cog <r, cog G gin h gin a = cog c — R cos h cog a ,
8PHÉBIQUK. m
on en éliminera d'abord eos c, ce qui donnera R coê A sin c
+COS C sin a eos ^ = R cos a sin 6 : mettant ensuite dans
