REMARQUE

Lxxiv. Le triangle sphériqae dont A, B, C, sont lës angles , et a, b ,c lea côtés opposés, répond toujours à un triangle polaire .dont les angles sont suppléments des côtés a, h y Cy et les côtés suppléments des angles A, B, G; de sorte qae si on appelle A', B', G', les angles du triangle polaire , et a', h\ c\ les côtés opposés à ces angles , on aura A'=200»— a, B'=200»— C'=200'*— g a'=200o— A, *'=200»— B, é?'=200'> — G.

Gela posé , si un triangle sphérique a un côté a égal au quadrant , il est visible que l'angle correspondant A' du triangle polaire sera droit, et (ju'ainsi ce triangle sera rectangle. Donc les deux données qu'on doit avoir, outre le côté de 100°, pour résoudre le triangle proposé, serviront à trouver la solution du triangle polaire , et par suite celle du triangle proposé. On pourrait tirer de là des formules semblables aux précédentes pour résoudre directement les triangles spbériques qui ont un côté de 100°.

Un triangle isoscèle se partage en deux triangles rectangles égaux dans toutes leurs parties , ainsi la résolution des triangles sphériques isoscèles dépend encore de celle des triangles sphériques rectangles.

Soit ABC un triangle sphérique, tel que les deux côtés AB, fig. BG soient suppléments l'un de l'autre ; si on prolonge les côtés AB , AC jusqu'à leur rencontre en D , il est èlair que BC et BD seront égaux comme étant suppléments d'un même côté AB ; d'ailleurs il est visible que les parties du triangle BGD étant connues , on connaît celles du triangle ABC qui est le reste du fuseau AD , et vice versâ. Donc la résolution du

833 TRlGQNOHtTlIE

* triangle ABC , dans lequel deux côtés font ensemble 20(y*, se réduit à celle du triangle isoscèle BGD , ou à celle du triangle rectangle BDE qui est la moitié de GBD.

Lorsque les deux côtés âB, BG, sont suppléments l'un de l'autre , il faut que les angles opposés AG6 , BAC , soient aussi suppléments l'un de l'autre ; car BGD est supplément de BGA ; or BGD=D=5 A. Donc on ne peut avoir a + c=200**, sans avoir en môme temps A + G=âOO'*, ce qui est réciproque.

De là on voit que la résolution des triangles sphériques rectangles comprend , 1^ celle des triangles sphériques qui ont un côté égal au quadrant ; 2** celle des triangles sphériques isoscèles; S** celle des triangles sphériques dans lesquels la somme de deux côtés est de 200», ainsi que celle des deux angles opposés.

Principes povr la résolution des triangles sphé- • riques en général.

LXXV; Dans tout triangle sphérique les sinus des angles sont comme les sinus des côtés opposés. fig. i3. Soit ABG un triangle sphérique quelconque , je dis qu'on aura «m B : sin G :: sût AG : ùn AB.

Du sommet A abaissez l'arc AD perpendiculaire sur le côté opposé BG, les triangles rectangles ABD, AGD donneront les proportions

•in B : R :: #m AD : sin AB R : sin G :: sin AG : sin AD.

Multipliant ces deux proportions par ordre et omettant les facteurs communs , on aura

sin B : sin G :: sin AG : sin AB.

fig. i4- Silaperpendiculaire AD tombait au dehors du triangle ABC, on aurait les deux mêmes proportions dans l'une desquelles sin G désignerait sin AGD ; mais comme l'angle AGD et l'angle AGB sont suppléments l'un de l'autre , leurs sinus sont égaux ; ainsi on] aurait toujours sin B : sin G : : sin AG : sin AB.

Soient les côtés opposés aux angles A, B, C,

8PHÉR1QUE. 3â8

chacan à chacun, on aura, suiyant cette proposition, êin A : »in a :: sin B : tin h :: sin G : êin ce qui donne la double équation :

êin A êin B G «n a *t» ^ êin e'

LxxYi. Jians tout triante sptiérique le cosinus d'un angle est égal au carré du rayon multiplié par le cosinus du côté opposé y moins le produit du rayon par les cosinus des côtés adjacents y le tout divisé par le produit des sinus de ces mêmes côtés : c'est-à-dire qu'on a pour

- cos c — f^cos a cos b

r angle C, par exemple, cos C = : : — ^ .

^ ^ ^ ^ ' sin a stn b

On aurait semblablement pour les deux autres angles ^

R' cos a — R cos b cos c

cos A:

et cos'& =

sin b sin c '

R' cosb — R cos a cos c

stn a stn c

Soit ABG le triangle proposé dans lequel on fait BG= a , fig. i5c AC= ^, AB = Du point 0, centre de la sphère , tirez les droites indéfinies OA, OB, OG ; prenez OD à volonté, et par le point D, menez DE dans le plan OCA et DF dans le plan OGB , toutes deux perpendiculaires à OD , lesquelles rencontrent en £ et F les rayons OA , OB , prolongés , enfin joignez EF.

L'angle D du triangle EDF est par construction la mesure de l'angle que font entre eux les plans OGA , OGB ^ ainsi l'angle EDF est égal à l'angle G du triangle sphérique AGB : or dans les triangles DEF, OEF, on a * - txv.

coê EDF DE + DF — Éf ' R 2DE.DF

coê EOF ÔË + 6f — ÊF * R ~ 20E.0F

Prenant dans la seconde la valeur deEF, et la substituant

TBIQOnOHftTBIl

dans la première où aura

— » —a —a — « ^COS EOF

«wEDF DE+DF — OE — 0F+20E.0F— ^